高中数学经典例题、错题详解.doc

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1、高中数学经典例题、错题详解【例1】 设M=1、2、3，N=e、g、h，从M至N的四种对应方式，其中是从M到N的映射是（ ） 映射的概念:设A、B是两个集合，如果按照某一个确定的对应关系f，是对于集合A中的每一个元素x，在集合B中都有一个确定的元素y与之对应，那么就称对应f：AB为从集合A到集合B的一个映射。函数的概念：一般的设A、B是两个非空数集，如果按照某种对应法则f，对于集合A中的每一个元素x，在集合B中都有唯一的元素y和它对应，这样的对应叫集合A到集合B的一个函数。（函数的本质是建立在两个非空数集上的特殊对应）映射与函数的区别与联系：函数是建立在两个非空数集上的特殊对应；而映射是建立在两

2、个任意集合上的特殊对应；函数是特殊的映射，是数集到数集的映射，映射是函数概念的扩展，映射不一定是函数，映射与函数都是特殊的对应。映射与函数（特殊对应）的共同特点：可以是“一对一”；可以是“多对一”；不能“一对多”；A中不能有剩余元素；B中可以有剩余元素。映射的特点：（1）多元性：映射中的两个非空集合A、B，可以是点集、数集或由图形组成的集合等；（2）方向性：映射是有方向的，A到B的映射与B到A的映射往往不是同一个映射；（3）映射中集合A的每一个元素在集合B中都有它的象，不要求B中的每一个元素都有原象；（4）唯一性：映射中集合A中的任一元素在集合B中的象都是唯一的；（5）一一映射是一种特殊的映射

3、方向性上题答案应选 C 【分析】根据映射的特点不能“一对多”，所以A、B、D都错误；只有C完全满足映射与函数（特殊对应）的全部5个特点。本题是考查映射的概念和特点，应在完全掌握概念的基础上，灵活掌握变型题。【例2】 已知集合A=R，B=(x、y)x、yR,f是从A到B的映射fx：（x+1、x2）,（1）求在B中的对应元素；（2）（2、1）在A中的对应元素【分析】（1）将x=代入对应关系，可得其在B中的对应元素为（ +1、1）；（2）由题意得：x+1=2,x2=1 得出x=1， 即（2、1）在A中的对应元素为1【例3】 设集合A=a、b，B=c、d、e，求：（1）可建立从A到B的映射个数（ ）；

4、（2）可建立从B到A的映射个数（ ）【分析】 如果集合A中有m个元素，集合B中有n个元素，则集合A到集合B的映射共有 nm 个；集合B到集合A的映射共有 mn 个，所以答案为23=9；32=8【例4】 若函数f(x)为奇函数，且当x0时，f(x)=x-1,则当x0时，有（ ）A、f(x) 0 B、f(x) 0 C、f(x)f(-x)0 D、f(x)-f(-x) 0奇函数性质：1、图象关于原点对称；2、满足f(-x) = - f(x)；3、关于原点对称的区间上单调性一致；4、如果奇函数在x=0上有定义,那么有f(0)=0；5、定义域关于原点对称（奇偶函数共有的）偶函数性质：1、 图象关于y轴对称

5、；2、满足f(-x) = f(x)；3、关于原点对称的区间上单调性相反；4、如果一个函数既是奇函数有是偶函数,那么有f(x)=0；5、定义域关于原点对称（奇偶函数共有的）基本性质：唯一一个同时为奇函数及偶函数的函数为其值为0的常数函数(即对所有x，f(x)=0)。通常，一个偶函数和一个奇函数的相加不会是奇函数也不会是偶函数；如x + x2。两个偶函数的相加为偶函数，且一个偶函数的任意常数倍亦为偶函数。两个奇函数的相加为奇函数，且一个奇函数的任意常数倍亦为奇函数。两个偶函数的乘积为一个偶函数。两个奇函数的乘积为一个偶函数。一个偶函数和一个奇函数的乘积为一个奇函数。两个偶函数的商为一个偶函数。两个

6、奇函数的商为一个偶函数。一个偶函数和一个奇函数的商为一个奇函数。一个偶函数的导数为一个奇函数。一个奇函数的导数为一个偶函数。两个奇函数的复合为一个奇函数，而两个偶函数的复合为一个偶函数。一个偶函数和一个奇函数的复合为一个偶函数【分析】 f(x)为奇函数，则f(-x) = -f(x)，当X0时，f(x) = -f(-x) = -(-x) 1 = -x+10,所以A正确，B错误；f(x)f(-x)=（x-1）（-x+1）0，故C错误；f(x)-f(-x)= （x-1）-（-x+1）0,故D错误【例5】 已知函数f(x)是偶函数，且x0时，f(x)=，求：（1）f(5)的值；（2）f(x)=0时x的

7、值；（3）当x0时，f(x)的解析式【考点】 函数奇偶性的性质 【专题】计算题，函数的性质及应用【分析及解答】 （1）根据题意，由偶函数的性质f(x)= f(-x)，可得f(5)= f(-5)=（2）当x0时，f(x)=0 可求x，然后结合f(x)= f(-x)，即可求解满足条件的x，即当x0时，=0 可得x=1；又f(1)= f(-1)，所以当f(x)=0时，x=1（3）当x0时，根据偶函数性质f(x)= f(-x)=【例6】 若f(x)=ex+ae-x为偶函数，则f(x-1)的解集为（ ）A.（2，+） B.（0,2） C.（-，2） D.（-，0）（2，+）【考点】 函数奇偶性的性质 【

8、专题】转化思想；综合法；函数的性质及应用【分析及解答】 根据函数奇偶性的性质先求出a值，结合函数单调性的性质求解即可f(x)=ex+ae-x为偶函数，f(-x)=e-x+aex= f(x)= ex+ae-x，a=1，f(x)=ex+e-x在（0，+）上单调递增，在（-，0）上单调递减，则由f(x-1)=e+， -1 x-11， 求得 0 x 2 故B正确【点评】 本题主要考查不等式的求解，根据函数奇偶性的性质先求出a值是解题关键【例7】 函数f(x)=是定义在(-1,1)上的奇函数，且f()=，（1）确定函数f(x)的解析式；（2）证明f(x)在(-1,1)上为增函数；（3）解不等式f(2x-

9、1)+ f(x) 0【考点】 函数奇偶性与单调性的综合 【专题】函数的性质及应用【分析及解答】 （1） 因为f(x)为（-1,1）上的奇函数，所以f(0)=0，可得b=0，由f()=，所以=，得出a=1，所以f(x)= （2） 根据函数单调性的定义即可证明任取-1 x1x21，f(x1)f(x2)=因为-1 x1x21，所以x1-x20，1x1x20，所以f(x1)f(x2) 0，得出f(x1) f(x2)，即f(x)在(-1,1)上为增函数（3） 根据函数的奇偶性、单调性可去掉不等式中的符号“f”，再考虑到定义域可得一不等式组，解出即可：f(2x-1)+ f(x)= 0，f(2x-1) f(

10、x)，由于f(x)为奇函数，所以f(2x-1) f(x)，因为f(x)在(-1,1)上为增函数，所以2x-1x， 因为-1 2x-11，-1 x1，联立得 0 x，所以解不等式f(2x-1)+ f(x) 0的解集为（0，）【点评】 本题考查函数的奇偶性、单调性及抽象不等式的求解，定义是解决函数单调性、奇偶性的常用方法，而抽象不等式常利用性质转化为具体不等式处理。【例8】 定义在R上的奇函数f(x)在（0，+）上是增函数， 又f(-3)=0，则不等式x f(x) 0的解集为（ ）【考点】 函数单调性的性质 【专题】综合题；函数的性质及应用【分析及解答】 易判断f(x)在（-，0）上的单调性及f(

11、x)图像所过特殊点，作出f(x)草图，根据图像可解不等式。解： f(x)在R上是奇函数，且f(x)在（0，+）上是增函数， f(x)在（-，0）上也是增函数，由f(-3)=0，可得- f(3)=0，即f(3)=0，由f(-0)=-f(0)，得f(0)=0 作出f(x)的草图，如图所示：由图像得：x f(x) 0或0x3或-3x0， x f(x) 0的解集为：（-3，0）（0，3），故答案为：（-3，0）（0，3）【点评】 本题考查函数奇偶性、单调性的综合应用，考查数形结合思想，灵活作出函数的草图是解题关键。【例9】 已知f（x+1）的定义域为-2,3，则f（2x+1）的定义域为（ ）抽象函数定

12、义域求法总结：（1）函数y=fg(x)的定义域是（a，b），求f（x）的定义域：利用axb，求得g（x）的范围就是f（x）的定义域；（2）函数y=f（x）的定义域是（a，b），求y=fg(x)的定义域：利用ag(x)b，求得x的范围就是y=fg(x)的定义域。【考点】 函数定义域极其求法 【分析及解答】 由f（x+1）的定义域为-2,3，求出 f（x）的定义域，再由2x+1在函数f（x）的定义域内求解x的取值集合，得到函数f（2x+1）的定义域。解：由f（x+1）的定义域是-2,3，得-1x+14 ；再由-12x+14 0x f（2x+1）的定义域是0，故选A【点评】 本题考查了复合函数定义域

13、的求法，给出函数fg(x)的定义域是（a，b），求函数f（x）的定义域，就是求x（a，b）内的g(x)的值域；给出函数f（x）的定义域是（a，b），只需由ag(x) b，求解x的取值集合即可。【例10】 已知函数f(x)=x7+ax5+bx-5，且f(-3)= 5，则f(3)= （ ） A. -15 B. 15 C.10 D.-10【考点】 函数的值；奇函数【分析及解答】 令g(x)= x7+ax5+bx，则g(-3)=解法1：f(-3)= (-3)7+ a(-3)5+b(-3)-5=-（37+a35+3b-5）-10=- f(3)-10=5，f(3)=-15解法2：设g(x)= x7+ax5

14、+bx，则g(x)为奇函数，f(-3)= g(-3)-5=- g(3)-5g(3)=-10, f(3)= g(3)-5=-15【例11】 已知二次函数f（x）=x2+x+a (a0)，若f（m）0，则f（m+1）的值为（ ）A.正数 B.负数 C.零 D.符号与a有关解法1：因为f(m)0 所以m2+m+a0.所以m2+m0，所以-1m0f(m+1)=m2+3m+2+a=(m+)2-+a.因为-1m， 所以f(m+1)0 答案为A解法2： f(x)=x+x+a=x(x+1)+a f(m)=m(m+1)+a0 m(m+1) -a ， a0，且mm+1 m0,m+10 (m+1) 0 即：f(m+

15、1)=(m+1)+(m+1)+a0 f(m+1)0 选A【例12】 函数f(x)= x2-2xm有两个零点，m的取值范围（ ）解：令f(x)= x2-2xm=0，则x2-2x=m，作y=x2-2x和y= m的图像要使f(x)= x2-2xm有两个零点，则图像y=x2-2x和y= m有两个交点【例13】已知函数f(x)和g(x)均为奇函数，F(x)=a f(x)+b g(x)+2在区间（0，+）上有最大值5，那么F(x)在区间（-，0）上的最小值为（ ）解法1：根据题意，得 af(x)+bg(x)在(0,+)上有最大值3, 所以，af(x)+bg(x)在(-,0)上有最小值-3,故F(x)=af

16、(x)+bg(x)+2在(-,0)上有最小值-1.解法2：F(x)=a f(x)+b g(x)+2是由G(x)=a f(x)+b g(x)向上平移2个单位得到，由题意G(x)=a f(x)+b g(x)在（-，0），（0，+）上是奇函数，在（0，+）上有最大值3，那么在（-，0）上有最小值-3，那么F(x)=af(x)+bg(x)+2在(-,0)上有最小值-1.【例14】对于每个实数x，设f(x)取y=x+1，y=2x+1，y=-x三个函数中的最大值，用分段函数的形式写出f(x)的解析式，求出f(x)的最小值为（ ）【例15】已知函数f(x)=x2+ax+3，（1）当xR时，f(x)a恒成立，

17、求a的取值范围；（2）当x-2,2时，f(x)a恒成立，求a的取值范围解（2）函数f(x)=x2+ax+3对称轴x=-a2，依题意得当-a2-2时，当x-2,2时，f(x)最小值a即：f(-2)=4-2a+3a，无解当-2-a22，当x-2,2时，f(x)最小值a即：f(-a2)a，得-4a2当-a22时，当x-2,2时，f(x)最小值a即：f(2)=4+2a+3a，得-7a-4综上所述得：-7a2解法2：【例16】下列各组函数表示相等函数的是（ ）A. y=与y=x+3 B. y=与y=x-1 C. y=x0(x0)与y=1（x0） D. y=2x+1（xZ）与y=2x-1（xZ）解：A.

18、y=x+3（x3）与y=x+3定义域不同，不是相等的函数；B. y=-1=|x|-1与y=x-1对应关系不同，不是相等的函数；C. y=x0=1（x0）与y=1（x0）是相等函数；正确D. y=2x+1，xZ与y=2x-1，xZ对应关系不同，不是相等函数【例17】函数y=4x2-mx+5在区间-2,+）上时增函数，在区间（-，2上是减函数，则f(1)=（ ） A.-7 B.1 C.17 D.25解：由已知中函数的单调区间，可得函数y=4x2-mx+5的图像关于直线x=-2对称，因为函数y=4x2-mx+5在区间-2,+）上时增函数，在区间（-，2上是减函数，故函数y=4x2-mx+5的图像关于

19、直线x=-2对称，故，m=-16，y=4x2+16x+5，f(1)=25【例18】判断下列各组中的两个函数是同一函数的为：_（1）、， （2）、（3）、， （4）、，（5）、，【例19】函数在区间-2，+）上递增，则a的取值范围_【例20】函数在区间(-，4上是减函数，则实数a的取值范围是（ ） A.a3 B.a3 C. a-3 D. a5 E. a-3【例21】已知是定义在（-2,2）上的减函数，并且0，求实数m 的取值范围【例22】若集合，则AB=（ ）A.x-1x1 B. x0x1 C. xx0 D.设是定义在R上的奇函数，当x0时，=2x2-x,则=（ ）A.-3 B. -1 C. 1

20、 D.3函数= 则的值为（ ）【例23】已知,那么等于（ ）【例24】已知集合，若BA=B，实数a的值为（ ）A.3 B. 6 C. 8 D.10【例25】函数的定义域为（ ）A.xx0 B. xx1 C. xx10 D. x0x1【例26】下列判断正确的是（ ） A.函数是奇函数 B.函数是非奇函数C.函数是偶函数 D.函数=1即是奇函数又是偶函数【例27】的单调区间是（ ）A.(-，- B.-，+) C.-4, - D. -，1【例28】设是奇函数，且在区间（0，+）内是增函数，又=0， 则 0的解集是（ ）A.x-3x0或x3 B.x0x3或x-3C. xx-3或x3 D. x-3x0或

21、0x【例29】函数，=7，则=_【思考】1、已知二次函数y=x2-2x-3，试问x取哪些值时y=0？代数法：求方程x2-2x-3=0的根，x1=-1 x2=3几何法：求函数函数y=x2-2x-3的图象与x轴的交点的横坐标（-1，3），此时，-1与3也称为函数y=x2-2x-3的零点 零点的定义：对于函数，我们把使=0的实数x叫做函数的零点。 注意：零点指的是一个实数！方程（a0）的根：0时，有两个不相等的实数根x1、x2，函数（a0）的图象与x轴有两个交点（x1、0），（x2，0），函数的零点为x1、x2；=0时，有两个相等的实数根x1=x2，函数（a0）的图象与x轴有一个交点（x1、0），函

22、数的零点为x1；0时，没有实数根，函数（a0）的图象与x轴没有交点，函数没有零点。（即：函数的零点就是方程的实数根，也就是函数的图象与x轴的交点的横坐标。方程有实根函数的图象x轴有交点函数有零点）函数零点存在性定理：如果函数在区间a,b上的图象是连续不断的一条曲线，并且有0，那么，函数在区间(a,b)内有零点，即存在c（a,b），使得=0，这个c也就是方程的根,即函数在（a，b）内有存在零点；但是函数在区间（a，b）上有零点，则不一定有0；同样，若函数在区间（a，b）上有零点，且有0，函数的零点个数是否唯一呢？答案是否定的，不一定唯一，零点个数唯一存在的条件：函数在（a，b）内存在唯一零点【例

23、题】求函数=lnx+2x6的零点个数。解：用计算器或计算机作出x，f(x)的对应表值（下表）和图象x12345678f(x)-4-1.3-1.13.45.67.81012由上表上图可知，f(2)0即f(2)f(3)0，说明这个函数在区间（2,3）内有零点，由于函数f（x）在定义域（0，+）内是增函数，所以它仅有一个零点。2、求函数=3x+2的零点 解：令，即3x+2=0，得x=，所以=3x+2的零点是3、已知函数=x2-2x+m有两个不同的零点，则m的取值范围是（ ）A.m1 C.m2 D.1m0，得出m1。4、函数=x3x的图象与x轴有（ ）个交点 A.1 B.2 C.3 D.45、函数的零

24、点所在的大致区间是（ ）A.（1,2） B.（2，3） C.3（3,4） D.（4,5）6、若方程2ax2-x-1=0在（0,1）内恰有一解，则a的取值范围是（ ）A.a1 C.-1a1 D. 0a0，即a时 有f(0)*f(1)0 即-1*(2a-2)1 于是有a1 ；当1+8a=0,即a=-1/8时 方程变形为1/4x2-x-1=0 即x2+4x+4=0 得x=-2 不合题意，（错）； 综上a17、若集合A=x12x+13，B=x(x-2)/x0，则AB=（ ）A. x-1x0 B. x00，x+13x，得出x1/2；当x0，x+13x，得出x1/2，所以解集为xx0的解集是全体实数的条件

25、时（ ）A.c1/4 D.c1/410、的定义域为_解： -2x2+12x-180，2x2-12x+180，（x-3）20，则X=3，即：定义域为311、若不等式ax2+bx+20的解集为 x-1/2x2，则实数a=_,b=_解：由题意方程ax2+bx+2=0的两个根为x1=-1/2，x2=2即a=-2，b=312、不等式ax2+bx+c0的解集为x-1/3x2，则不等式cx2+bx+a0的解集为（ ）解：由题意方程ax2+bx+c=0的两个根为x1=-1/3，x2=2即不等式cx2+bx+a0，转化为x2+(b/c)x+c/a0，即x2+5/2x-3/20，解得方程x2+5/2x-3/2=0

26、的两个根为x1=-3,x2=1/2），因为x2+(b/c)x+c/a0的解集为（-3,4），求b x2+2ax-c-3b0的解集14、关于x的不等式（1+m）x2+mx+mx2+1对xR恒成立，求实数x的取值解：由（1+m）x2+mx+mx2+1mx2+mx+m-10成立，则必有_ A. 在R上是增函数 B. 在R上是减函数 C.函数是先增加，后减少 D.函数是先减少，后增加解：利用函数单调性定义，在定义域上任取x1，x2R，且x10所以f(a)-f(b)f(1)，则f(x)在R上时减函数；（2）若f(x)满足f(-2)=f（2），则函数f(x)不是奇函数；（3）若函数f(x)在区间（-，0）

27、上是减函数，在区间（0，+）也是减函数，则f(x)在R上也是减函数；（4）若f(x)满足f（-2）=f(2)，则函数f(x)不是偶函数；其中正确的是_21、函数f(x)=xx-2，（1）求作函数Y=f(x)的图象；（2）写出函数f(x)的单调区间并指出在各区间上是增函数还是减函数？（不必证明）（3）已知f(x)=1,求x的值22、函数F(x)是定义域为R的偶函数，当x0 时，f(x)=x(2-x)，（1）画出函数f(x)的图象（不列表）；（2）求函数f(x)的解析式；（3）讨论方程f(x)-k=0的根的情况23、已知f(x)的定义域为-2,3，则f(2x-1)的定义域为（ ）A.0,5/2 B

28、.-4,4 C.-5,5 D.-3,724、已知函数且f(a)=10,则a=（ ）A.-4 B.-1 C.1 D.-4或125、已知函数f(x)=x7+ax5+bx-5,则f(3)=( ) A.-15 B.15 C.10 D.-1026、若函数f(x)=4x2-kx-8在区间5,8上是单调函数，则k的取值范围是（ ）A.(-,0 B.40，64 C.(- ,4064，+) D.(64,+ )27、已知二次函数f(x)=x2+x+a(a0)，若f(m)0,则f(m+1)的值为（ ）A.正数 B.负数 C.零 D.符号与a有关28、函数f(x)=x2-2x-m有两个零点，m的取值范围_29、已知函

29、数f(x)和g(x)均为奇函数，h(x)=af(x)+bg(x)+2,在区间（0，+）有最大值5，那么h(x)在区间（0，+）的最小值为_30、对于每个实数x，设f(x)取y=x+1,y=2x+1,y=-2x三个函数中的最大值，用分段函数的形式写出f(x)的解析式，求出f(x)的最小值由方程组y=x+1,y=2x+1,解得x=0,y=1,得到交点A(0,1)；由方程组y=x+1,y=-2x,解得x=-1/3,y=2/3,得到交点B(-1/3,2/3)；由方程组y=2x+1,y=-2x,解得x=-1/4,y=1/2,得到交点C(-1/4,1/2).由图像容易看出：1）x-1/3时，三直线的最大值

30、是y=-2x,所以在此时f(x)=-2x;2)-1/3x0时，三直线的最大值是y=x+1,所以此时的f(x)=x+1;3)x0时，三直线中最大值是y=2x+1,所以此时的f(x)=2x+1.所以f(x)=-2x；(x-1/3),x+1；(-1/3x0),2x+1.(x0)1)考察函数的图像（由射线线段射线组成的折线）可以看出函数的最小值是x=1/3时的y=2/3.31、已知函数f(x)=x2+ax+3，（1）当XR时，f(x)a恒成立，求a的取值范围；（2）当X-2,2时，f(x)a恒成立，求a的取值范围；（3）若对一切a-3，3，不等式f（x）a恒成立，那么实数x的取值范围是什么？1）f（x

31、）a即x2+ax+3-a0，要使xR时，x2+ax+3-a0恒成立，应有=a2-4（3-a）0，即a2+4a-120，解得-6a2；（2）当x-2，2时，令g（x）=x2+ax+3-a，当x-2，2时，f（x）a恒成立，转化为g（x）mina，分以下三种情况讨论：当-a/2-2，即a4时，g（x）在-2，2上是增函数，g（x）在-2，2上的最小值为g（-2）=7-3a，a4 7-3a0,解得a无解当-a/2-2，即a4时，g（x）在-2，2上是递减函数，g（x）在-2，2上的最小值为g（2）=7+a，a-4 7+a0 解得-7a-4当-2a/22时，即-4a4时，g（x）在-2，2上的最小值为-4a2，解得-4a2，综上所述，实数a的取值范围是-7a2；（3）不等式f（x）a即x2+ax+3-a0令h(a)=(x-1)a+x2+3，要使h(a) 0在-3,3上恒成立，只需 即 解得：x0或x-3