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1、长链大分子 运动的数学建模方法探析引言长链大分子在我们生活中无处不在。我们在科学研究、工程技术和日常生活中遇到的长链大分子可以分为高分子材料和生物大分子。其中，高分子材料也称聚合物，它在人们的衣食住行中举足轻重。我们身着的衣物、居住的楼房、出行的汽车和使用的家电等，都因大量使用了高分子材料而具有美观的外表和优越的性能。而且，随着科技的发展，功能高分子1(如高分子半导体、电解质高分子、感光树脂等）和仿生高分子2(如固定酶和模拟酶等）不断研制开发，使得高分子化合物深入到尖端的科技领域。生物大分子则是构成一切生命形式的长链大分子，其结构、运动和变化，对我们认识生命的延续，疾病的成因与防治以及物种的改
2、良等都至关重要，是当今人类探索的重要内容。长链大分子的研究已经有半个多世纪的历史。其中的一项重要内容是大分子在流体中的动力学行为的研究。早期的研究主要针对聚合物。迄今为止，对聚合物分子在流体中的Brown动力学行为的研究已较为细致，聚合物分子的一些流变性质也有了较为深入的分析。聚合物在各流场中的迁移、运动及构形变化对流场的性质可以产生很大影响。大分子流动特性的研究在化学和生物学工程中是相当广泛的。在化学工程中，利用不同大分子在不同的流体中表现出来的不同特性来实现有效的分离等。因而对高分子聚合物等大分子链在流动中的运动迁移情况及其结构的变化进行研究具有重要的意义。遗传学的发展给生物大分子的研究3
3、1注入新的活力。在19世纪50年代，Watson和Criek证明了 DNA分子是双螺旋的链状结构的大分子。60年代到70年代之间，许多学者的进一步实验表明，DNA是一种直径约2纳米但长度达到数厘米的聚合长链分子D这些长链分子一方面呈现出宏观力学特性，如超螺旋、弹性结构等，另外在运动中还呈现出微观力学性质如在细胞液中的Brown运动等。因此人们分别利用分子生物学和弹性力学的方法对DNA等大分子进行了研究，取得了大量的成果45。这些成果在遗传工程和生物医学工程中得到应用。例如，通过对RNA和DNA在细胞核中的漂移、结合和分离过程的动力学分析，我们可以揭示生命的繁殖、变异和进化等过程所遵循的规律，发
4、现生命运动的动力和能量来源。研究DNA等运动的模拟还有助于我们去了解更多的微观信息，进而有助于设计出新的用来提取DNA分子的装置等。最近一段时间，较多大分子背景的学者开始致力于与生命科学相关联的生物高分子的研究，如对DNA分子、DNA链段及其多联体在流体中的扭结、解旋、缠绕等运动的分析。DNA等大分子在运动中受到所在环境中液体的作用。同时DNA自身带有静电，在自身缠绕接触时受到同种电荷的相斥作用。这些作用都对其结构和运动状态产生影响，也成为DNA等大分子运动的特有力场。Samuel等58铜8&1&6(等591研究了静电力的排斥作用及由于这种作用而造成的DNA弹性杆模型数据与实验
5、数据的差异。Goldstein等6G6iI， Shaqfeh62，刘延柱等63和X.D. Yang等研究了 DNA弹性杆在粘性介质中的运动和平衡问题。但由于DNA的直径是纳米级的，在细胞核溶液分子的随机碰撞下产生漂移，因此，Brown动力学模拟是常用的模拟方法。我们注意到，到目前为止，对DNA的宏观力学现象和微观的分子运动的研究是分别进行的，这样不能模拟其真实运动。因此，本文尝试将两种不同的研究方法结合在一起。为了实现这一目的，我们将随机力引入弹性杆的动力学方程，探索这一弹性细杆在随机力的作用下的运动特性。第一章相关知识.41.1 Ito随机过程.41.2随机微分方程相关结论.61.3随机微分
6、方程扩散项简化及结论.81.4圆截面弹性杆相关结果.9第二章WLC模型的数值算法.122.1 WLC模型.122.2模型的离散及一阶收敛算法.132.3随机模型的Fourier近似.172.4矩阵导数的分解.172.5数值模拟及结果.21第三章随机弹性杆的动力学模型及其数值.243.1弹性杆的动力学模型.243.2弹性杆的随机模型.283.3数值结果.33结论本文将宏观动力学和微观随机模拟结合起来，对DNA的动力学进行了研究。对WLC模型，运用Ito-Taylor展式离散，并采用Fourier方法对离散方程的扩散项近似，形成强一阶的数值算法，在该算法中采用了数学和数值技巧，使得强一阶算法更方便地应用于WLC模型的随机模拟，然后利用所导出的算法模拟了该模型在拉伸流中的随机运动，并给出相应的分析。同时，为了模拟DNA的随机漂移，我们随机模拟的方法应用于弹性杆的动力学模型，推导出弹性杆在液体环境中受到随机力作用的随机微分方程，采用伊藤泰勒展式对方程进行离散，模拟了弹性杆的随机漂移。由遗传学的快速发展，而DNA是揭幵遗传之谜的关键环节之一，因此DNA的研究仍是生物大分子学者研究的热点，同时将随机模拟与弹性杆的动力学模型结合起来为DNA大分子在液体环境中运动轨迹的仿真和分析提供了一类新的模型和方法。上述模型虽然精度比较高，但是随机模型的算法精度还有待提高。