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1、用辩证思想方法指导高等代数教学刍议 第 20卷第 6期 南都学坛 自然科学版 Vol. 20 No162 0 0 0 年 11 月 Academic Forum of Nan Du Natural Sciences Edition Nov. 2000用辩证思想方法指导高等代数教学刍议马淑云 徐少贤南阳师范学院 数学系 ,河南 南阳 473061 摘要 :分析了高等代数中的辩证思维的思想方法 ,探讨了在该课程教学中如何利用这些素材来培养学生分析、 认识、 解决问题的能力。关键词 :高等代数 ;辩证思维 ; 思想方法中图分类号 : G 642141 ,O151 文献标识码 :A 文章编号 :100
2、2 - 6320 2000 06 - 0071 - 03 高等代数课程内容抽象、 逻辑严密 ,是现代数 条件 ,转化为系数行列式不等于零且不影响原方程学、 物理、 工程、 经济等学科的基础。它包含了许多 组的解的新方程组。为此把方程组的每个方程的现代数学的基本观点和一般方法原则 ,肩负增长学 系数及常数项写成向量形式。找出向量组的线性生的数学知识 ,为后继课程学习建立基础的使命。 关系 ,说明在何种情况下这样的方程组会有无穷多教授高等代数 ,就要使学生掌握该课程的内 解 ,在何种情况下会无解。把这里向量组的线性关容、 思想方法、 基本技巧。但高等代数课程具有独 系推广到 n个向量 ,就得到 n
3、个向量的向量组线性特的理论体系和解题技巧 ,欲透彻掌握且运用自如 相关、 线性无关的定义。却非易事。教师在教学中 ,若将辩证思维的思想方 这样讲授使新概念形成地自然 ,学生接受着顺法与教材有机结合和运用 ,对提高教学质量和学生 利 ,掌握起来就容易。素质是非常有益的。本文谈谈用辩证思想方法指 2 剖析知识内容 ,便于理解掌握导高等代数教学的肤浅认识 ,以求同行赐教。 数学是关于现实世界数量关系和空间形式的1 创设恰当意境 ,引入新概念 科学 ,现实世界是遵循不以人们意志为转移的辩证古人云 :“学起于思 ,思源于疑。 ”学习中有疑 规律运动发展变化的 ,因此数学必然充满着辩证问 ,就会激发求知欲
4、。因此 ,在引入新概念时 ,最好 法。在高等代数教学中将辩证思维表现出成对互设置学生已有知识解决不了的问题 ,把已知和未知 逆的思想方法与教材有机结合和辩证地应用 ,无疑的矛盾充分暴露在学生的面前 ,让学生处于“心求 会提高教学质量及学生素质。通而不得” 的情境时 ,就会积极地思维 ,力求解决矛 211 特殊与一般盾。这种旺盛的求知欲正是引入新概念的恰当意 人们认识事物总是“由特殊到一般 ,又由一般境。高等代数的很多概念都是用定义引入的 ,使学 到特殊”。线性空间的定义是高等代数中的一个较生感到抽象难懂。例如 ,向量组线性相关性概念 , 抽象的概念 ,在教学中运用由特殊到一般 ,从具体教学时就
5、应设“障” 立“疑” ,创设概念引入的恰当意 到抽象的认识规律。从学生熟知的数轴、 平面、 几境。在这里可先给出一、 两个方程个数与未知量个 何空间这些实例出发 ,总结它们都具有两种运算和数相等 ,但系数行列式为零的方程组 ,使学生利用 八条规律 ,在此基础上推而广之 ,就不难理解一般已学过的 Gramer 法则不能解决 ,这就把已知与未 线性空间定义的两种运算和八条规律了。知的矛盾暴露在学生面前。教师趁机分析矛盾 ,解 行列式一章的教学过程就是由特殊到一般的决提出的问题 ,从中抽象出新概念的本质属性 ,引 认识过程。可分为四步 : 一 基本概念 定义 ;入新概念。 二 特殊行列式 二、 三级
6、行列式、 上 下 三角形行前面给学生所举线性方程组不会解的症结在 列式 的计算 ; 三 研究行列式中一般向特殊转化于它们的系数行列式等于零。解决的思路是创造 的根据 性质 ; 四 解决一般行列式的计算。收稿日期 :2000 - 04 - 12作者简介 :马淑云 1955? ,女 ,河南方城县人 ,副教授 ,从事高等代数教学与研究。? 72 ? 南 都 学 坛 2000年第 6期高等代数的有些推理论证中常需反映任意性 , 2 由 AB 0 / A 0 或 B 0 ; 3 矩阵乘法不满足nxn nxn如 A P ,若对 PB P 都有 AB BA ,则 A 一 消去律 ,即由 AB AC / B
7、C。这样学生体会深定是数量矩阵。研究此问题的关键在于注意 B 的 刻 ,记得就牢固。任意性 ,它实质上恰恰要用各种特殊性来表现 ,即 类似地 ,说明矩阵的合同与数域有关 ,线性空间的判别都常用反例 ,有时反例更凑效。“矛盾的普遍性寓于矛盾的特殊性之中”。每一个特殊 B 对 A 相应有一种特殊的要求 ,将 B 取一些 214 现象与本质具有代表性的特殊矩阵 ,去揭示 A 满足这些特殊 事物的本质都是通过一定的现象来表现的 ,任何现象又都从某一侧面表现着事物的本质。认识矩阵所具有的特点 ,从而保证 A 满足 B 的任意性。由向量空间理论知 B 可取 E ,由 A E E A ,便可 分析何种事物“
8、 , 现象只能看作入门的向导 ,一进门ij ij ij得 A a 中元素满足 a a i , j 1 ,2 , ?, n 就要抓着它的本质。 ”因为事物的运动变化必然引ij nn ii jj起表面现象的某些变化 ,但在变化中存在着决定不a 0 i j ,故 A 为数量阵。ij变的东西 ,利用表面现象的变化求不变的实质 ,高212 有限与无限等代数中不乏这种例子。有限表现了可以穷尽 ,无限表示了不可穷尽。行列式的计算中 ,利用消法变换求值 ;解线性无限是由无数个有限构成 ,无限只有通过有限来存方程组中 ,对方程组进行初等变换 ,将其化为与之在。在高等代数中凡与无限相关的概念 ,都反映了同解的方程
9、组求原方程的解 ;为求矩阵的秩 ,对矩有限与无限的对立统一关系 ,只有从这一关系中才阵实施一系列初等变换化矩阵为阶梯形矩阵求秩 ;能认清概念的本质。对实二次型进行非退化线性变换求二次型的秩和例如 ,当线性空间 V 含有非零向量时 ,用线性正惯性指数等等 ,都是利用表面变化而求不变的实空间性质可推得 V 含有无限多个向量。当 V 存在质。有限个向量构成它的一组基时 , V 的无限个向量都高等代数中还有新与旧 ,数与形等对立统一关可用这有限个向量来表示。有限维线性空间基的系的素材 ,不再列出。定义不但反映了基这个“群体” 的内部特征 ,而且反3 因题而宜 ,探求不同的解题途径映了这个“群体”与 V
10、 中每个向量的关系 ,正是这数学发展的整个过程是一个不断提出问题和种关系把有限与无限联系起来。对线性空间的研解决问题的过程。就这个意义来讲 ,数学的真正组究也随着基的变化而深入。成部分是问题及解答。高等代数以其推理论证方在线性空间 V 的“有限”与“无限”这一对矛盾法严密难以掌握而令学生望而生畏。 “一切矛盾着中 ,只有抓着了“有限”这个主要的矛盾方面 ,才能的东西相互联系着 , ?,在一定条件下相互转化 ,这理解和掌握 V 中“无限” 的特征。就是矛盾的同一性的全部意义。 ”根据高等代数问213 正与反题的特点 ,用辩证思想分析具体矛盾 ,还应创造条正与反既是对立的 ,又是统一的。数学中命题
11、件 ,促使矛盾转化 ,探求不同的解题途径。正确性必须经过严密的论证 ,而要说明命题是错误311 逆向思维的利用的 ,常需举出与命题相悖的例子 称之为反例 即思维就是人的理性认识过程 ,根据思维过程的可。因这种反例具有直观、 明显、 生动等特点 ,决定指向 ,可将思维分为常规思维 正向思维和逆向思了它在数学教学中无可代替的作用。讲授高等代维。处理高等代数问题 ,在利用正向思维的同时 ,数 ,不仅要运用正面例子加以深刻阐明 ,常要通过注意逆向思维的利用 ,往往能使很多问题简化。合适的反例从另一侧面抓着其实质 ,便于学生理解例如 ,行列式按行展开公式 ,若 d | a | , A 表ij ij和掌握
12、有关概念 ,加强对知识的灵活运用 ,提高辨示 a 的代数余子式 ,则 d a A + a A + ?+ij i1 i1 i2 i2别能力。a A 1 当 i j 时 , a A + a A + ?+ a A 0in in i1 i1 i2 i2 in in例如“ , 数域 P上的一元多项式 f x是否可约22 ,证明 1 式是由行列式定义展开整理 ,再证得与数域有关”的结论 ,用例子 x + 2 在 R 上不可A 是元素 a 的代数余子式 ,学生易懂。 2 式的证ij ij约 ,在 C上可约就直观易懂。明是逆用 1 式 ,学生不习惯。应指明 1 式自左向又如 ,在讲授矩阵乘法的运算律时 ,举例 A 右看是行列式按第 i 行降级展开 ,自右向左看为升1 1 1 - 1, B , 经 计 算 AB 级或还原。依还原观点看 ,还原后的行列式第 i 行- 1 - 1 - 1 1元素依次为 A , A , ?, A 前的那些数 即 a , a ,0 0 2 2 i1 i2 in i1 i2, BA ,由此可见 1 AB BA ;?, a ,而其余各行元素由这些代数余子式所含0 0 - 2 - 2 in