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1、第七单元 数学广角教材分析：“找次品问题”是数学中一类经典的智力问题，吸引着众多数学爱好者孜孜不倦地寻求一般性的解决方法。“找次品问题”又细分为许多类型，有的类型解决起来相当复杂。人教版数学五年级下册的“数学广角”选择了比较简单的一类作为例题，即“n个从外表看完全相同的零件，已知其中一个是次品，次品比合格品重一些。现有一架标准天平，使用这架天平，最少用几次就一定能找出这个次品？”这里，“次品比合格品重一些”是已知的；若这一条件未知，解决起来的繁难程度将大大增加。对于这一问题，一般性的解决方法是把这n个零件尽可能平均分成3份，其中至少有2份的数量是同样多的（对于任何一个不小于3的自然数n，若n是
2、3的倍数，如n=3m，则可分为m，m，m；若比3的倍数多1，如n=3m+1，则可分为m，m，m+1；若比3的倍数多2，如n=3m+2，则可分为m+1，m+1，m）。把数量同样多的2份放在天平两端进行称量，最多存在两种可能性：天平平衡或天平不平衡。如果是第一种情况，那么次品在天平外的那份中；如果是第二种情况，那么次品在下沉的一端。不管是哪种可能性，接下来都是把包含次品的那一份零件按照上述方法再尽可能平均分成3份，然后一步一步依次往下称量“找次品”是新教材向学生渗透数学思想方法方面作出的新的尝试。教材以学生熟悉而又感兴趣的找次品等生活场景为依托，将学习活动置于模拟实际生活的情境中，给学生提供操作和
3、活动的空间，感受排除法在生活中的应用，为学生理解优化的数学思想奠定良好的基础。学生通过观察、猜测以及实验的方法可以从一些物品中找出 次品，再通过操作、验证、讨论、概括等活动逐步理解优化的数学思想，培养学生解决问题的策略性。学情分析：找次品的现象虽然在日常生活生产中比较常见，但学生接触得却比较少，这是小学阶段学生第一次接触这类问题，为此教学中要根据学生认知规律的特点，模拟实际生活的情境中，给学生提供操作和活动的空间，注意 研究学生思维，体现教师引导下学生的主动探究过程，培养学生解决数学问题的意识和能力，同时渗透“优化”这一重要的数学思想方法，以有效地提高学生分析和解决问题的能力。教学方法1.加强
4、学生的试验、操作活动。本节课内容的活动性和操作性比较强，可以采取学生动手实践、小组讨论、探究的方式教学。先多给学生一些时间，让他们充分地操作、试验、讨论、研究，找到解决问题的多种策略。活动完成后再让学生分组汇报结果。2.重视培养学生的猜测、推理能力和探索精神。引导学生从纷繁复杂的方法中，从简化解题过程的角度，找出最优的解决策略。引导学生逐步脱离具体的实物操作，转而采用列表、画图等方式进行较为抽象的分析，实现从具体到抽象的过渡。教学时间：2 课时第一课时 找次品（当被测物能平均分3份时）教材分析：找次品是人教版数学五年级下册第七单元数学广角的内容。现实生活生产中的“次品”有许多种不同的情况，有的
5、是外观与合格品不同，有的是所用材料不符合标准等。这节课的学习中要找的次品是外观与合格品完全相同，只是质量有所差异，且事先已经知道次品比合格品轻（或重），另外在所有待测物品中只有唯一的一个次品。“找次品”的教学，旨在通过“找次品”渗透优化思想，让学生充分感受到数学与日常生活的密切联系。优化是一种重要的数学思想方法，运用它可有效地分析和解决问题。本节课以“找次品”这一操作活动为载体，让学生通过观察、猜测、试验等方式感受解决问题策略的多样性，在此基础上，通过归纳、推理的方法体会运用优化策略解决问题的有效性，感受数学的魅力，培养观察、分析、推理以及解决问题的能力。新课程标准中指出：培养学生良好的数学思
6、维能力是数学教学要达到的重要目标之一。因而新课标教材系统而有步骤地渗透数学思想方法，尝试把重要的数学思想方法通过学生可以理解的简单形式，采用生动有趣的事例呈现出来。通过教学使学生受到数学思想方法的熏陶，形成探索数学问题的兴趣与欲望，逐步发展数学思维能力。教学内容：例1、例2及练习二十六第1、2题 教学目标：1、能够借助纸笔对“找次品”问题进行分析，归纳出解决这类问题的最优策略，经历由多样到优化的思维过程。2、以“找次品”为载体，让学生通过观察、猜测、实验、推理等活动，体会解决问题策略的多样性及运用优化的方法解决问题的有效性。3、感受数学在日常生活中的广泛应用，尝试用数学的方法来解决实际生活中的
7、简单问题，初步培养学生的应用意识和解决实际问题的能力。教学重难点 ：重点：寻找用天平找次品的“最优化”方案。难点：知识的拓展及用最优方法解决生活中的问题。教学过程：（一）、情境启发，明确目标：初步认识“找次品”的基本原理师：买了3瓶同样的木糖醇，其中有1瓶我吃掉了3粒，这瓶比其他的要怎么样？（轻一些）不小心将这瓶和另外两瓶混在了一起。怎样才能帮我把这少了3片的哪一瓶找出来？。学生介绍各种方法。（可以数数，用手掂一掂，用天平称）师：大家帮我找到了这么多方法解决问题，你认为哪种方法好，为什么？（用天平称好）师：既然大家认为用天平称是最好的方法，怎样用天平找出这瓶木糖醇？我们就用双手来模拟天平，谁愿
8、意到前边来说说自己的想法？学生汇报方案。师据生回答板书：3（1，1，1） 1次师：你们真聪明！在生活中我们常常会遇到这样的情况，在一些外观看似相同的物品中，混着一个质量不同轻一点或重一点的物品，需要我们想办法把它找出来，像这类问题我们把它叫做“找次品”，今天我们就一起研究如何使用天平来“找次品”。板书课题：找次品 设计意图：数学教学活动必须建立在学生的认知发展水平和已有的知识经验基础之上。在教学例1前，先以3个待测物品为起点，降低了学生思考的难度，能较顺利地完成初步的逻辑推理：那就是并不需要把每个物品都放上去称，3个物品中把2个放到天平上，无论平衡还是不平衡，都能准确地判断出哪个是次品。只有理
9、解了这些，后面的探究、推理活动才能顺利进行。（二）、合作探究，达成目标：从多种方法中，寻找“找次品”的最佳方案 1、教学例1：师：刚才大家很容易就从3瓶中找到了次品，如果是5瓶钙片，你还能用天平将那个次品找出来吗？请你把自己的想法借助学具摆一摆与同桌讨论交流。在交流时注意说清以下问题：A 出示：（1）你把待测物品分成几份？每份是多少？（2）天平两端各放几个？（3）假如天平平衡，次品在哪里？假如天平不平衡，次品又在哪里？（4）至少称几次就一定能找出次品来？B 学生汇报演示。师据生回答板书： 5 （2，2，1） 2（1，1） 2次 5 （1，1，1，1，1） 2次师：总结：刚才我们通过不同的方案找
10、到了次品。同时我们也感受到利用天平原理来找次品的时候，要考虑两种情况，一种是平衡另一种是不平衡，也就是说我们的推理要严密。用这样的方式记录方案比较清楚、简洁。2、教学例2在9个零件里有1个是次品，（次品重一些），用天平称，至少称几次就一定能找出次品来？（1）师：这次的次品有什么不同？（次品重一些）请各组同学可以用学具代替零件模拟用天平称一称，小组长在纸上记录你们的操作过程。还可以尝试画图的方法来记录分析，现在开始。（学生小组合作学习。）（2）师：谁愿意把你们小组的学习成果向同学们汇报一下？（生汇报方法及称的次数，教师填写下列表格） 零件个数分的份数和分法保证能找到次品的次数93，（4，4,1）
11、393，（3，3，3）299，（1，1，1，1，1，1，1，1，1）495，（2，2，2，2，1）397，（2，2，1，1，1，1，1）494,(2,2,2,3)396,(2,2,2,1,1,1)4（3）、观察分析，寻找规律。师：哪种方法最好？为什么？师：这种方法我们把被测物品分成几份？（分成三份），（4，4，2）也是分成了三份，与这种方法有什么不同？（每份同样多，是平均分）你能得出什么结论？结论：平均分成三份保证找到次品所用次数最少。师：对于他的结论你有什么质疑？（平均分三份的方法在其他数中也适合吗？）师：要想知道结论是否正确怎么办？（用其他数再试试）那我们就验证一下。还有哪些数也可以平均分
12、成三份？（12、15、18）为了验证方便，咱们来选12试一试。12可以分成几份？怎样分？（各组说说分法）请选择一种试一试至少需要称几次才能保证把次品找出来。师：哪组将12平均分成3份，至少需要称几次才能保证把次品找出来？板书：12 （4，4，4） （3次） ）有没有一种方法比3次更少。（没有）按照上面的猜想，将12平均分成3份，保证找到次品的方法是最好。大家同意吗？师引导：被测物品能分成3份时，怎样保证找出一个次品所用次数最少？学生总结（把被测物品平均分成三份）师：本节课我们找的次品都是几个？（1个）并且已知了次品重或轻，我们用了什么工具？（天平）当被测物能分成3份时，怎样做保证找出次品所用次
13、数最少？（平均分成3份）。出示小结：物品外观都相同，一个次品混其中，已知质量轻或重。若用天平称一称，数量平均分三份，次数最少保证行。设计意图：充分让学生展示解决问题的多样方法，再通过小组合作交流，培养学生的团结协作精神，让学生在实际操作中尝试“找次品”的各种方法，通过观察、比较，并从中优化平均分3份的方法是最好的。（三）、变式练习，检测目标：1、课本136页第1 题：2、课本136页第2题：有15盒饼干，其中的14盒质量相同，另有1盒少了几块，如果能用天平称，至少几次保证可以找出这盒饼干？3、6个外观一样的乒乓球中有一个是次品，次品比其他球轻一些，用天平最少秤（ . ）次4、有27个乒乓球，其
14、中有一个次品（质量略轻），现有一架无砝码的天平，至少称几次？请用图示方法说明；.（四）、总结评讲，升华目标：这节课我们研究的是什么问题？（板书：找次品）你有什么收获？还有什么疑问？（当被测物不能平均分3份时，怎么办？）大家想知道吗？课后你可以找到这样的数，继续试验。下节课我们一起来研究。第二课时 找次品（被测物体的总数不能平均分成3份时）教材分析：本节课带领学生研究当物品的总数不是3的倍数时，怎样分，保证用最少的次数找出其中的一个较轻的次品，完善学生对这类问题的构建，引导学生在解决问题的过程上中脱离具体的操作活动，学会用图示来分析和解决这类数学问题，从而培养学生的抽象思维能力。教学内容：当物品
15、的总数不是3的倍数时，怎样分，保证用最少的次数找出其中的一个较轻的次品。教学目标：1、通过分析教材分析：本节课带领学生研究当物品的总数不是3的倍数时，怎样分，保证用最少的次数找出其中的一个较轻的次品，进一步学会用图示来分析和解决这类数学问题，2、进一步培养学生的应用意识和解决实际问题的能力。3、进一步感受到这类问题在日常生活中的应用。教学过程：一、 情境启发，明确目标：1、 复习（被测物体个数能平均分成3份）引出新问题。师：上一节课中我们知道在9个零件里有1个是次品，（次品重一些），用天平称，至少称几次就一定能找出次品来？那零件再多一些，同学还会找吗？下面要比一比看谁的方法称的次数最少？27个
16、乒乓球中的有一个次品较轻，你利用图示的方法展示我们是怎么分，用的次数最少，保证找出其中一个重一些的次品的？学生展示反馈，教师板书：27平均分成3份，(9,9,9)，3 次师：还有哪些数据也可以这样来分的？它们有一个共同的特点是什么？师：如果不是3的倍数，那又怎么分呢？我们再来研究一些数据好吗？二、合作探究，达成目标：1、探究超市，自主研究：（1）、8个乒乓球中有一个次品较轻，怎样分？保证找出一个次品所用次数最少？（2）、7个乒乓球中有一个次品较轻，怎样分？保证找出一个次品所用次数最少？（3）、10个乒乓球中有一个次品较轻，怎样分？保证找出一个次品所用次数最少？（4）、11个乒乓球中有一个次品较
17、轻，怎样分？保证找出一个次品所用次数最少？（5）、13个乒乓球中有一个次品较轻，怎样分？保证找出一个次品所用次数最少？（6）、14个乒乓球中有一个次品较轻，怎样分？保证找出一个次品所用次数最少？请全班6个小组，选择一个问题进行解决，并尝试用我们上节课学到的图示方法，进行分析，可以小组内商量讨论，最后填写表格。学生小组活动，教师巡视。2、成果展示：师：谁愿意把你们小组的学习成果向同学们汇报一下？如零件的总个数是8，找其中一个次品： 零件个数分的份数和分法保证能找到次品的次数88（1，1，1，1，1，1，1，1）487，（2，2，1，1，1，1）484,(2,2,2,2)386,(2,2,2,1,
18、1,)383，（3，3，2）23、引导观察，感知规律：师：我们再来研究观察当被测物品的个数是7、8、10、11、13、14不是3的个数时，怎样分，保证找出其中一个较轻次品，所用次数最少？提炼分析分法：7（2、2、3）2次8（3、3、2）2 次10（3、3、4）3 次11（4、4、3）3次13（4、4、5）3次14（5、5、4）3次尽管零件的总数不是3 的倍数：还是尽可能平均分成3份，其中至少有2份的数量是同样多的，使最多的一份与最少的一份只相差1，然后一步一步依次往下称量这样保证用的次数是最少的。设计意图：带领学生经历由特殊到一般的数学分析模式，在此基础上使学生比较全面地感知找次品这类问题的基
19、本解决手段和方法。在这一环节中，让学生完全脱离具体的实物操作，实现从具体形象思维到抽象逻辑思维的过渡，但考虑到学生独立用图示法分析仍有难度，因而采用小组合作的方式进行。4、你知道这是为什么吗？你能不能对这个规律作出解释？设计意图：学生通过合作探索、归纳总结出了“找次品”的最优策略，解释这个规律能使学生对得出结论从感性认识上升为理性认识。要想用比较少的次数找到次品，那么每称一次都应该将次品锁定在一个尽可能小的范围内，因为天平有2个托盘，每称一次不但能对放上去的2份进行推理判断，还能对没放上去的1份进行推理判断，所以每称一次保证能锁定范围的最小值是待测物品的三分之一左右。三、变式练习，检测目标：1
20、、第135面做一做：2、有17个零件，有一件次品，次品质量略轻，其他6件质量相同，现在手中有一架无砝码的天平，至少称几次可以保证找出次品？用图示法表示。. 3、这里有15 瓶果味vc，其中1 瓶少了3粒，用天平设法把它找出来,至少需要几次找出少的那一瓶？用图示法表示。. 4、有23瓶水，其中12瓶质量相同，另外有1瓶是糖水，比其他略重一些，至少秤几次保证找出那瓶重的水？.用图示法表示；5、练习二十六第37题 四、总结评讲，升华目标：师：我们这节课学习了什么？师：同学们不仅能够顺利把次品找出来，还发现不少找次品的窍门。把你的发现告诉你的同桌，和别人分享吧。引导总结：出示小结：物品外观都相同，一个次品混其中，已知质量轻或重。若用天平称一称，数量平均分三份，次数最少保证行。当总数不是3 的倍数：还是尽可能平均分成3份，其中至少有2份的数量是同样多的，使最多的一份与最少的一份只相差1，然后一步一步依次往下称量这样保证用的次数是最少的。拓展：假定你有81个玻璃球，其中有一个球比其它的球稍重，如果只能利用没有砝码的天平来断定哪一个球重，请问你最少要称多少次，才能保证找到较重的这个球？思考自学课本：第137面，你知道吗？