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1、IRR的多个解情况,内部收益率（internal rate of return,简称IRR ） 是指项目在整个计算期内各年净现金流量的现值 累计等于零(或净年值等于零)时的折现率。内部 收益率是效率型指标，它反映项目所占用资金的 盈利率，是考察项目资金使用效率的重要指标。 。,什么是内部收益率? 简单说，就是净现值为零时的折现率。,内部收益率为单个解的情况,1 运用IRR函数直接求解,2 运用直线插值法求IRR,3 运用Excel的单变量求解功能,内部收益率方程式是一元高次(n次)方程。若令:,则内部收益率方程式可改写为如下形式：,内部收益率多个解情况,这是一个一元n次多项式，是n次方程。n次
2、方程应该有n个解(其中包括复数根和重根)，明显，负根无经济意义。只有正实数根才可能是项目的内部收益率，而方程的正实根可能不止一个。n次方程式的正实数根的数目可用笛卡尔符号规则进行判断，即正实数根的个数不会超过项目净现金流量序列(多项式系数序列) a0, a1, a2, an的正负号变化的次数p(如遇有系数为零，可视为无符号)。,如果把一元实系数多项式按降幂方式排列，则多项式的正根个数要么等于相邻的非零系数的符号的变化次数，要么比它小一个正偶数，而负数的个数，则是把所有奇数次项的系数变号后，所得到的多项式符号的变化次数，或者比它小一个正偶数。,也就是说，在-1IRR的域内， 若项目净现金流序列
3、(CI-CO)t(t=0，1，2，n)的正负号仅变 化一次，内部收益率方程肯定有唯一解， 而当净现金流序列的正负号有多次变化（两次或两次以上）， 内部收益率方程可能有多解。,如果p=0（正负号变化零数），则方程无根； 如果p=1（正负号变化一数），则方程有唯一根。,例题,几种典型的NCF序列,分析：上述习题IRR的计算涉及一元多项式的计算，根据数学中的狄思卡滋符号法则，一个具有实数系数的n阶多项式，其正实根的数目不会多于其系数序列列中符号变动的次数（0系数视为无符号） 因此，可根据NCF系数符号变动的情况，来判断IRR的解的个数。,1、若方案的NCF00，此时为常规现金流量，则方案必有唯一的I
4、RR解。 2、若方案的NCF00，NCFt序列仅改变一次符号， 且 NCFt 0，此时为常规现金流量，则方案必有唯一的负IRR解。此方案经济不可行。 3、若方案的NCFt序列不改变符号，则方案的IRR不存在， 不能 用IRR来评价此方案。 4、若方案的NCF00，NCFt序列符号变化多次， 则方案的IRR的个数不超过NCFt序列符号变化的次数。 在这种情况下，也可能有唯一的IRR解。,因此，习题的IRR解的情况如下 ： A方案：有唯一的IRR解，计算得出IRRA=20.3% B方案；有唯一的-IRR解，计算得出IRRB=20.3%。 C方案：IRR解不存在。 D方案：NCFt序列符号变化2次，计算得出IRR1=9.8%,IRR2=11.5%. E方案：NCFt序列符号变化3次，计算得出IRR1=20%,IRR2=50%, IRR3=100%.,See you,