全国高考理科数学试题分类汇编7：立体几何.doc

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1、 全国高考理科数学试题分类汇编全国高考理科数学试题分类汇编 7：立体几何：立体几何 一、选择题 1. （2013 年高考新课标 1（理） ）如图,有一个水平放置的透明无盖的正方体容器,容器高 8cm,将一个球放在容器口,再向容器内注水,当球面恰好接触水面时测得水深为 6cm,如 果不计容器的厚度,则球的体积为 （ ） ABCD 3 500 3 cm 3 866 3 cm 3 1372 3 cm 3 2048 3 cm 【答案】A 2. （2013 年普通高等学校招生统一考试广东省数学（理）卷（纯 WORD 版） ）设是两条 ,m n 不同的直线,是两个不同的平面,下列命题中准确的是（ ） ,

2、A若,则B若,则 m n mn / m n /mn C若,则D若,则 mnm n m/mn /n 【答案】D 3. （2013 年上海市春季高考数学试卷(含答案)）若两个球的表面积之比为,则这两个1:4 球的体积之比为（ ） ABCD1:21:41:81:16 【答案】C 4. （2013 年普通高等学校招生统一考试大纲版数学（理）WORD 版含答案（已校对） ）已知正 四棱柱中,则与平面所成角的正弦值等于（ ） 1111 ABCDABC D 1 2AAABCD 1 BDC ABCD 2 3 3 3 2 3 1 3 【答案】A 5. （2013 年高考新课标 1（理） ）某几何体的三视图如图所

3、示,则该几何体的体积为 （ ） ABCD1688816 168 16 【答案】A 6. （2013 年高考湖北卷（理） ）一个几何体的三视图如图所示,该几何体从上到下由四个简 单几何体组成,其体积分别记为,上面两个简单几何体均为旋转体,下面 1 V 2 V 3 V 4 V 两个简单几何体均为多面体,则有（） ABCD 1243 VVVV 1324 VVVV 2134 VVVV 2314 VVVV 【答案】C 7. （2013 年高考湖南卷（理） ）已知棱长为 1 的正方体的俯视图是一个面积为 1 的正方形, 则该正方体的正视图的面积不可能等于（） A BCD 12 2-1 2 2+1 2 【答

4、案】C 8. （2013 年普通高等学校招生统一考试广东省数学（理）卷（纯 WORD 版） ）某四棱台的三 视图如图所示,则该四棱台的体积是 （） 1 2 2 1 1 正视图 俯视图 侧视图 第第 5 5 题图题图 ABCD 4 14 3 16 36 【答案】B 9. （2013 年普通高等学校招生统一考试新课标卷数学（理） （纯 WORD 版含答案） ）已知 nm,为异面直线,m平面,n平面.直线l满足,则（）,lm ln ll A/,且/lB,且l C与相交,且交线垂直于lD与相交,且交线平行于l 【答案】D 10. （2013 年普通高等学校招生统一考试山东数学（理）试题（含答案） ）已

5、知三棱柱 的侧棱与底面垂直,体积为,底面是边长为的正三角形.若为底 111 ABCABC 9 4 3 P 面的中心,则与平面所成角的大小为（） 111 ABC PAABC ABCD 5 12 3 4 6 【答案】B 11. （2013 年普通高等学校招生统一考试重庆数学（理）试题（含答案） ）某几何体的三视图 如题 5图所示,则该几何体的体积为（） A 560 3 B 580 3 C200D240 【答案】C 12. （2013 年普通高等学校招生统一考试辽宁数学（理）试题（WORD 版） ）已知三棱柱 的 6 个顶点都在球的球面上,若, 111 ABCABCO34ABAC，ABAC ,则球的

6、半径为（） 1 12AA O ABCD 3 17 2 2 10 13 2 3 10 【答案】C 13. （2013 年高考江西卷（理） ）如图,正方体的底面与正四面体的底面在同一平面上,且 ,正方体的六个面所在的平面与直线 CE,EF 相交的平面个数分别记为,那AB CDA,m n 么mn （） A8B9C10D11 【答案】A 14. （2013 年普通高等学校招生统一考试新课标卷数学（理） （纯 WORD 版含答案） ）一个四 面体的顶点在空间直角坐标系Oxyz中的坐标分别是(1,0,1),(1,1,0),(0,1,1),(0,0,0),画该四面 体三视图中的正视图时,以zOx平面为投影面

7、,则得到正视图可以为 （） ABCD 【答案】A 15. （2013 年普通高等学校招生统一考试安徽数学（理）试题（纯 WORD 版） ）在下列命题中, 不是公理的是（） A平行于同一个平面的两个平面相互平行 B过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平面 C如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线上所有的点都在此平面内 D如果两个不重合的平面有一个公共点, 那么他们有且只有一条过该点的公共直线 【答案】A 16. （2013 年普通高等学校招生统一考试浙江数学（理）试题（纯 WORD 版） ）在空间中,过点 作平面的垂线,垂足为,记.设是两个不同的平面,对空间任意一AB)(AfB , 点

8、,恒有,则（）P)(),( 21 PffQPffQ 21 PQPQ A平面与平面垂直B平面与平面所成的(锐)二面角为 0 45 C平面与平面平行D平面与平面所成的(锐)二面角为 0 60 【答案】A 17. （2013 年高考四川卷（理） ）一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的直观图可以是 【答案】D 二、填空题 18. （2013 年高考上海卷（理） ）在平面上,将两个半圆弧和xOy 22 (1)1(1)xyx 、两条直线 和围成的封闭图形记为 D,如图中阴 22 (3)1(3)xyx1y 1y 影部分.记 D 绕 y 轴旋转一周而成的几何体为,过作的水平截面,所(0, )(| 1)yy

9、 得截面面积为,试利用祖暅原理、一个平放的圆柱和一个长方体,得出 2 418y 的体积值为_ 【答案】. 2 216 19. （2013 年高考陕西卷（理） ）某几何体的三视图如图所示, 则其体积为_. 3 11 2 1 【答案】 3 20. （2013 年普通高等学校招生统一考试大纲版数学（理）WORD 版含答案（已校对） ）已知圆 和圆是球的大圆和小圆,其公共弦长等于球的半径,且圆与圆OKOO 3 2 OK O 所在的平面所成的一个二面角为,则球的表面积等于_.K60O 【答案】 16 21. （2013 年高考北京卷（理） ）如图,在棱长为 2 的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为

10、BC的中点,点 P在线段D1E上,点P到直线CC1的距离的最小值为_. 【答案】 2 5 5 22. （2013 年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷（数学） （已校对纯 WORD 版含附加题） ）如图,在三棱柱中,分别是的中点,设三ABCCBA 111 FED， 1 AAACAB， 棱锥的体积为,三棱柱的体积为,则ADEF 1 VABCCBA 1112 V _. 21:V V 【答案】 1:24 23. （2013 年普通高等学校招生统一考试浙江数学（理）试题（纯 WORD 版） ）若某几何体的 A B C 1 A D E F 1 B 1 C 1 D 1 B P A D 1 C C E

11、B A 1 A 三视图(单位:cm)如图所示,则此几何体的体积等于_. 2 cm 【答案】24 24. （2013 年普通高等学校招生统一考试安徽数学（理）试题（纯 WORD 版） ）如图,正方体 的棱长为 1,P 为 BC 的中点,Q 为线段上的动点,过点 A,P,Q 的 1111 ABCDABC D 1 CC 平面截该正方体所得的截面记为 S.则下列命题正确的是_(写出所有正确 命题的编号). 当时,S 为四边形;当时,S 为等腰梯形;当时,S 与 1 0 2 CQ 1 2 CQ 3 4 CQ 的交点 R 满足;当时,S 为六边形;当时,S 的面 11 C D 11 1 3 C R 3 1

12、 4 CQ1CQ 积为. 6 2 【答案】 25. （2013 年普通高等学校招生统一考试辽宁数学（理）试题（WORD 版） ）某几何体的三视图 如图所示,则该几何体的体积是_. 【答案】 1616 26. （2013 年普通高等学校招生统一考试福建数学（理）试题（纯 WORD 版） ）已知某一多面 体内接于一个简单组合体,如果该组合体的正视图.测试图.俯视图均如图所示,且图中 的四边形是边长为 2 的正方形,则该球的表面积是_ 4 3 2 3 3 正视图 侧视图 俯视图 （第 12 题图） 【答案】 12 27. （2013 年上海市春季高考数学试卷(含答案)）在如图所示的正方体 中,异面直

13、线与所成角的大小为_ 1111 ABCDABC D 1 AB 1 BC 【答案】 3 三、解答题 28. （2013 年普通高等学校招生统一考试辽宁数学（理）试题（WORD 版） ）如图,AB 是圆的直 径,PA 垂直圆所在的平面,C 是圆上的点. (I)求证:PACPBC平面平面； (II)2.ABACPACPBA若，1，1，求证：二面角的余弦值 【答案】 D1 C1 B1 A1 D C AB 29. （2013 年普通高等学校招生统一考试重庆数学（理）试题（含答案） ）如图,四棱锥 PABCD中,PAABCD 底面,2,4, 3 BCCDACACBACD , F为PC的中点,AFPB. (

14、1)求PA的长; (2)求二面角BAFD的正弦值. 【答案】 30. （2013 年普通高等学校招生统一考试安徽数学（理）试题（纯 WORD 版） ）如图,圆锥顶点 为.底面圆心为,其母线与底面所成的角为 22.5.和是底面圆上的两poABCDO 条平行的弦,轴与平面所成的角为 60.OPPCD ()证明:平面与平面的交线平行于底面; ()求.PABPCDcosCOD 【答案】解: () PABP D,/ / /CmABCDCDPCDABPCD设面面直线且面面 . / /ABm直线ABCDmABCDAB面直线面/ 所以,. ABCDDPPAB的公共交线平行底面与面面C () . r PO OP

15、FFCDr 5 . 22tan.60,由题知，则的中点为线段设底面半径为 . 5 . 22tan1 5 . 22tan2 45tan, 2 cos 5 . 22tan60tan60tan, 2 COD r OF PO OF )223(3), 1-2(3 2 1cos , 1-2 5 . 22tan1 2 cos2cos 22 CODCOD COD . 212-17cos. 212-17cosCODCOD所以 法二: 31. （2013 年普通高等学校招生统一考试浙江数学（理）试题（纯 WORD 版） ）如图,在四面体 中,平面,.是的中点, BCDAADBCD22, 2,BDADCDBCMAD

16、P 是的中点,点在线段上,且.BMQACQCAQ3 (1)证明:平面;(2)若二面角的大小为,求的大小./PQBCDDBMC 0 60BDC 【答案】解:证明()方法一:如图 6,取的中点,且是中点,所以MDFMAD .因为是中点,所以;又因为()且3AFFDPBM/ /PFBD3AQQC ,所以,所以面面,且面,所以3AFFD/ /QFBD/ /PQFBDCPQ BDC 面; / /PQBDC A B C D P Q M （第 20 题图） 方法二:如图 7 所示,取中点,且是中点,所以;取的三BDOPBM 1 / / 2 POMDCD 等分点,使,且,所以,所以H3DHCH3AQQC 11

17、 / / / 42 QHADMD ,且,所以面; / / /POQHPQOHOHBCD/ /PQBDC ()如图 8 所示,由已知得到面面,过作于,所以ADB BDCCCGBDG ,过作于,连接,所以就是的CGBMDGGHBMHCHCHGCBMD 二面角;由已知得到,设,所以 813BM BDC , cos ,sin2 2cos ,2 2cossin,2 2sin, CDCGCB CDCGBC BDCDBD 在中,所以在RT BCG 2 sin2 2sin BG BCGBG BC 中, ,所以在中 RT BHG 2 2 12 2sin 33 2 2sin HG HG RT CHG 2 2 2c

18、ossin tantan603 2 2sin 3 CG CHG HG ; tan3(0,90 )6060BDC 32. （2013 年上海市春季高考数学试卷(含答案)）如图,在正三棱锥中, 111 ABCABC ,异面直线与所成角的大小为,求该三棱柱的体积. 1 6AA 1 BC 1 AA 6 【答案】解因为 . 1 CC 1 AA 所以为异面直线与.所成的角,即=. 1 BC C 1 BC 1 AA 1 BC C 6 在 Rt中, 1 BC C 11 3 tan62 3 3 BCCCBC C 从而, 2 3 3 3 4 ABC SBC 因此该三棱柱的体积为. 1 3 3 618 3 ABC

19、VSAA 33. （2013 年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷（数学） （已校对纯 WORD 版含附加题） ）本小题满分 14 分. 如图,在三棱锥中,平面平面,过作ABCS SABSBCBCAB ABAS A ,垂足为,点分别是棱的中点.SBAF FGE，SCSA， 求证:(1)平面平面; (2)./EFGABCSABC 【答案】证明:(1),F 分别是 SB 的中点 ABAS SBAF E.F 分别是 SA.SB 的中点 EFAB 又EF平面 ABC, AB平面 ABC EF平面 ABC 同理:FG平面 ABC 又EFFG=F, EF.FG平面 ABC平面平面 /EFGABC (2

20、)平面平面 SABSBC 平面平面=BC SABSBC AF平面 SAB AFSB AF平面 SBC 又BC平面 SBC AFBC 又, ABAF=A, AB.AF平面 SAB BC平面 SAB 又SA平面BCAB SABBCSA 34. （2013 年高考上海卷（理） ）如图,在长方体 ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,AD=1,A1A=1,证明直 线 BC1平行于平面 DA1C,并求直线 BC1到平面 D1AC 的距离. A B C S G F E B1 A1 C1 AC B D1 C1 B1 A1 D C B A 【答案】因为 ABCD-A1B1C1D1为长方体,故, 1111 /

21、,ABC D ABC D 故 ABC1D1为平行四边形,故,显然 B 不在平面 D1AC 上,于是直线 BC1平行于 11 /BCAD 平面 DA1C; 直线 BC1到平面 D1AC 的距离即为点 B 到平面 D1AC 的距离设为 h 考虑三棱锥 ABCD1的体积,以 ABC 为底面,可得 111 (1 2) 1 323 V 而中,故 1 ADC 11 5,2ACDCAD 1 3 2 AD C S 所以,即直线 BC1到平面 D1AC 的距离为. 1312 3233 Vhh 2 3 35. （2013 年高考湖北卷（理） ）如图,是圆的直径,点是圆上异于的点,直ABOCO,A B 线平面,分别

22、是,的中点.PC ABCEFPAPC (I)记平面与平面的交线为 ,试判断直线 与平面的位置关系,并加BEFABCllPAC 以证明; (II)设(I)中的直线 与圆的另一个交点为,且点满足.记直线lODQ 1 2 DQCP 与平面所成的角为,异面直线与所成的角为,二面角PQABCPQEF 的大小为,求证:.ElC sinsinsin 【答案】解:(I), EFACAACABC 平面EFABC 平面 EFABCA平面 又 EFBEF 平面 EFlA lPAC A平面 (II)连接 DF,用几何方法很快就可以得到求证.(这一题用几何方法较快,向量的方法很 麻烦,特别是用向量不能方便的表示角的正弦

23、.个人认为此题与新课程中对立体几何的 第 19 题图 处理方向有很大的偏差.) 36. （2013 年普通高等学校招生统一考试广东省数学（理）卷（纯 WORD 版） ）如图 1,在等腰 直角三角形中,分别是上的点,ABC90A6BC ,D E,AC AB2CDBE 为的中点.将沿折起,得到如图 2 所示的四棱锥,其中OBCADEDEABCDE .3A O () 证明:平面; () 求二面角的平面角的余弦值.A OBCDEACDB 【答案】() 在图 1 中,易得 3,3 2,2 2OCACAD 连结,在中,由余弦定理可得 ,OD OEOCD 22 2cos455ODOCCDOC CD 由翻折不

24、变性可知, 2 2A D 所以,所以, 222 A OODA DA OOD 理可证, 又,所以平面. A OOEODOEOA OBCDE C D O B E A H . C O B DE A C D O B E A 图 1图 2 C D O x E A 向量法图向量法图 y z B () 传统法:过作交的延长线于,连结, OOHCDCDHA H 因为平面,所以, A OBCDEA HCD 所以为二面角的平面角. A HOACDB 结合图 1 可知,为中点,故,从而 HAC 3 2 2 OH 22 30 2 A HOHOA 所以,所以二面角的平面角的余弦值为. 15 cos 5 OH A HO

25、A H ACDB 15 5 向量法:以点为原点,建立空间直角坐标系如图所示, OOxyz 则, 0,0, 3 A 0, 3,0C1, 2,0D 所以, 0,3, 3CA 1,2, 3DA 设为平面的法向量,则 , ,nx y z A CD ,即,解得,令,得 0 0 n CA n DA 330 230 yz xyz 3 yx zx 1x 1, 1, 3n 由() 知,为平面的一个法向量, 0,0, 3OA CDB 所以,即二面角的平面角的余弦 315 cos, 535 n OA n OA n OA ACDB 值为. 15 5 37. （2013 年普通高等学校招生统一考试天津数学（理）试题（含

26、答案） ）如图, 四棱柱 ABCD-A1B1C1D1中, 侧棱A1A底面ABCD, AB/DC, ABAD, AD = CD = 1, AA1 = AB = 2, E为棱AA1的中点. () 证明B1C1CE; () 求二面角B1-CE-C1的正弦值. () 设点M在线段C1E上, 且直线AM与平面ADD1A1所成角的正弦值为, 求线段 2 6 AM的长. 【答案】 38. （2013 年高考新课标 1（理） ）如图,三棱柱 ABC-A1B1C1中,CA=CB,AB=A A1,BA A1=60. ()证明 ABA1C; ()若平面 ABC平面 AA1B1B,AB=CB=2,求直线 A1C 与平

27、面 BB1C1C 所成角的正弦值. 【答案】()取 AB 中点 E,连结 CE, 1 AB, 1 AE, AB= 1 AA, 1 BAA= 0 60, 1 BAA是正三角形, 1 AEAB, CA=CB, CEAB, 1 CEAE=E,AB面 1 CEA, AB 1 AC; ()由()知 ECAB, 1 EAAB, 又面 ABC面 11 ABB A,面 ABC面 11 ABB A=AB,EC面 11 ABB A,EC 1 EA, EA,EC, 1 EA两两相互垂直,以 E 为坐标原点,EA 的方向为x轴正方向,|EA |为单位 长度,建立如图所示空间直角坐标系Oxyz, 有题设知 A(1,0,

28、0), 1 A(0,3,0),C(0,0,3),B(-1,0,0),则BC =(1,0,3), 1 BB = 1 AA =(-1,0,3), 1 AC =(0,-3,3), 设n=( , , )x y z是平面 11 CBBC的法向量, 则 1 0 0 BC BB n n ,即 30 30 xz xy ,可取n=(3,1,-1), 1 cos, AC n= 1 1 | AC AC n |n| 10 5 , 直线 A1C 与平面 BB1C1C 所成角的正弦值为 10 5 39. （2013 年高考陕西卷（理） ）如图, 四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是正方形, O为底 面中心,

29、A1O平面ABCD, . 1 2ABAA () 证明: A1C平面BB1D1D; () 求平面OCB1与平面BB1D1D的夹角的大小. O D1 B1 C1 D A C B A1 【答案】解:() ;又因为,在正BDOAABCDBDABCDOA 11 ,面且面 方形 AB CD 中, . BDCAACACAACABDAACOABDAC 11111 ,，故面且面所以；且 在正方形 AB CD 中,AO = 1 . . 1 11 OAOAART中，在 . OECAOCEAEDB 1111111 为正方形，所以，则四边形的中点为设 ，所以由以上三点得且，面面又OOBDDDBBODDBBBD 1111

30、11 E.E, .(证毕) DDBBCA 111 面 () 建立直角坐标系统,使用向量解题. 以 O 为原点,以 OC 为 X 轴正方向,以 OB 为 Y 轴正方向.则 . ) 1, 0 , 1 () 1 , 1 , 1 (),100(),001 (,0 , 1 , 0 111 CABACB，）（ 由()知, 平面BB1D1D的一个法向量 .0 , 0 , 1),1 , 1 , 1 (),1, 0 , 1 ( 111 ）（OCOBCAn 设平面OCB1的法向量为 ，则0, 0, 2122 OCnOBnn ).1- , 1 , 0(向向向 2 n为解得其中一个 . 2 1 22 1 | | |,

31、cos|cos 21 21 11 nn nn nn O D1 B1 C1 D A C B A1 所以,平面OCB1与平面BB1D1D的夹角为 3 40. （2013 年高考江西卷（理） ）如图,四棱锥中,PABCDPA ,ABCD EBD 平面为的中点GPD为的中点， ,连接并延长交于. 3 ,1 2 DABDCB EAEBABPA ，CEADF (1) 求证:;ADCFG 平面 (2) 求平面与平面的夹角的余弦值.BCPDCP 【答案】解:(1)在中,因为是的中点,所以, ABDEBD1EAEBEDAB 故, , 23 BADABEAEB 因为,所以, DABDCB EABECB 从而有,

32、FEDFEA 故,又因为所以. ,EFAD AFFD,PGGDFGPA 又平面, PAABCD 所以故平面. ,GFADAD CFG (3) 以点为坐标原点建立如图所示的坐标系,则A , 33 (0,0,0), (1,0,0),( ,0),(0, 3,0) 22 ABCD (4) ,故 3 (0,0, ) 2 P 1333 333 (0),(, ),(,0) 2222222 BCCPCD ， 设平面的法向量,则 , BCP 111 (1,)ny z 1 11 13 0 22 333 0 222 y yz 解得,即. 1 1 3 3 2 3 y z 1 3 2 (1, ) 33 n 设平面的法向

33、量,则,解得, DCP 222 (1,)nyz 2 22 33 0 22 333 0 222 y yz 2 2 3 2 y z 即.从而平面与平面的夹角的余弦值为 2 (1, 3,2)n BCPDCP . 12 12 4 2 3 cos 416 8 9 n n n n 41. （2013 年高考四川卷（理） ）如图,在三棱柱中,侧棱底面, 11 ABCABC 1 AA ABC ,分别是线段的中点,是线段 1 2ABACAA120BAC 1 ,D D 11 ,BC BCP 的中点.AD ()在平面内,试作出过点与平面平行的直线 ,说明理由,并证明直线ABCP 1 ABCl 平面;l 11 ADD

34、 A ()设()中的直线 交于点,交于点,求二面角的余弦lABMACN 1 AAMN 值. D1 D C B A1 B1 C1 A P 【答案】解:如图,在平面内,过点做直线 /,因为 在平面外, ABCPlBCl 1 ABC 在平面内,由直线与平面平行的判定定理可知, /平面. BC 1 ABCl 1 ABC 由已知,是的中点,所以,则直线. ABACDBCBCADlAD 因为平面,所以直线 .又因为在平面内,且 1 AA ABC 1 AA l 1 ,AD AA 11 ADD A 与相交,所以直线平面 AD 1 AA 11 ADD A 解法一: 连接,过作于,过作于,连接. 1 APA 1

35、AEAPEE 1 EFAMFAF 由知,平面,所以平面平面. MN 1 AEA 1 AEA 1 AMN 所以平面,则. AE 1 AMN 1 AMAE 所以平面,则. 1 AM AEF 1 AM AF 故为二面角的平面角(设为). AFE 1 AAMN 设,则由,有,. 1 1AA 1 2ABACAA120BAC 60BAD 2,1ABAD 又为的中点,所以为的中点,且, PADMAB 1 ,1 2 APAM 在中, ;在中, . 1 Rt AAPA 1 5 2 AP 1 Rt A AMA 1 2AM 从而, 1 1 1 5 AAAP AE AP 1 1 1 2 AAAM AF AM 所以.

36、2 sin 5 AE AF 所以. 2 2 215 cos1 sin1 55 故二面角的余弦值为 1 AAMN 15 5 解法二: 设.如图,过作平行于,以为坐标原点,分别以,的 1 1AA 1 A 1 AE 11 BC 1 A 111 ,AE AD 1 AA 方向为轴,轴,轴的正方向,建立空间直角坐标系(点与点重合). xyzOxyzO 1 A 则,. 1 0,0,0A0,0,1A 因为为的中点,所以分别为的中点, PAD,M N,AB AC 故, 3 13 1 ,1 ,1 2222 MN 所以,. 1 3 1 ,1 22 AM 1 0,0,1A A 3,0,0NM 设平面的一个法向量为,则

37、 1 AAM 1111 ,nx y z 即故有 11 11 , , nAM nA A 11 11 0, 0, nAM nA A 111 111 3 1 ,10, 22 ,0,0,10, x y z x y z 从而 111 1 31 0, 22 0. xyz z 取,则,所以. 1 1x 1 3y 1 1,3,0n 设平面的一个法向量为,则 1 AMN 2222 ,nxy z 即故有 21 2 , , nAM nNM 21 2 0, 0, nAM nNM 222 222 3 1 ,10, 22 ,3,0,00, xy z xy z 从而 222 2 31 0, 22 30. xyz x 取,则

38、,所以. 2 2y 2 1z 2 0,2, 1n 设二面角的平面角为,又为锐角, 1 AAMN 则. 12 12 1,3,00,2, 1 15 cos 525 nn nn 故二面角的余弦值为 1 AAMN 15 5 42. （2013 年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷（数学） （已校对纯 WORD 版含附加题） ）本小题满分 10 分. 如图,在直三棱柱中,点是 111 ABCABCACAB 2 ACAB4 1 AAD 的中点BC (1)求异面直线与所成角的余弦值BA1DC1 (2)求平面与所成二面角的正弦值. 1 ADC 1 ABA 【答案】本题主要考察异面直线.二面角.空间向量等基

39、础知识以及基本运算,考察运用 空间向量解决问题的能力. 解:(1)以为为单位正交基底建立空间直角坐标系, 1 ,AAACABxyzA 则, )0 , 0 , 0(A)0 , 0 , 2(B)0 , 2 , 0(C)4 , 0 , 0( 1 A)0 , 1 , 1 (D)4 , 2 , 0( 1 C , )4, 0 , 2( 1 BA)4, 1, 1 ( 1 BA 10 103 1820 18 ,cos 11 11 11 DCBA DCBA DCBA 异面直线与所成角的余弦值为 BA1DC1 10 103 (2) 是平面的的一个法向量 )0 , 2 , 0(AC 1 ABA 设平面的法向量为,

40、1 ADC),(zyxm )0 , 1 , 1 (AD)4 , 2 , 0( 1 AC 由 1 ,ACmADm 取,得,平面的法向量为 042 0 zy yx 1z2, 2xy 1 ADC) 1 , 2, 2( m 设平面与所成二面角为 1 ADC 1 ABA , 得 3 2 32 4 ,coscos mAC mAC mAC 3 5 sin 平面与所成二面角的正弦值为 1 ADC 1 ABA 3 5 43. （2013 年普通高等学校招生统一考试大纲版数学（理）WORD 版含答案（已校对） ）如图, 四棱锥中,与都是等边PABCD902,ABCBADBCADPAB ， PAD 三角形. (I)

41、证明: (II)求二面角的大小.;PBCDAPDC 【答案】 44. （2013 年普通高等学校招生统一考试山东数学（理）试题（含答案） ）如图所示,在三棱 锥中,平面, 分别是 PABQ PB ABQBABPBQ,D C E F 的中点, ,与交于点,与交于点, ,AQ BQ AP BP2AQBD PD EQ GPC FQ H 连接. GH ()求证:; ()求二面角的余弦值. AB GHA DGHE 【答案】解:()证明:因为 分别是的中点, ,D C E F,AQ BQ AP BP 所以,所以, EFABDCABEFDC 又平面,平面, EF PCDDC PCD 所以平面, EFPCD

42、又平面,平面平面, EF EFQEFQ PCDGH 所以, EFGH 又, EFAB 所以. ABGH ()解法一:在中, , ABQ2AQBDADDQ 所以,即,因为平面,所以, =90ABQ ABBQ PB ABQ ABPB 又,所以平面,由()知, BPBQB AB PBQ ABGH 所以平面,又平面,所以,同理可得, GH PBQ FH PBQ GHFHGHHC 所以为二面角的平面角,设,连接, FHCDGHE 2BABQBP PC 在中,由勾股定理得, tRFBC2FC 在中,由勾股定理得, tRPBC5PC 又为的重心,所以 H PBQ 15 33 HCPC 同理 , 5 3 FH

43、 在中,由余弦定理得, FHC 55 2 4 99 cos 5 5 2 9 FHC 即二面角的余弦值为. DGHE 4 5 解法二:在中, ABQ2AQBDADDQ 所以,又平面,所以两两垂直, 90ABQ PB ABQ,BA BQ BP 以为坐标原点,分别以所在直线为轴,轴,轴,建立如图所示的空 B ,BA BQ BP x y z 间直角坐标系,设,则, 2BABQBP(1,0,1)E(0,0,1)F(0,2,0)Q(1,1,0)D ,所以, (0,1,0)C(0,0,2)P( 1,2, 1)EQ (0,2, 1)FQ ( 1, 1,2)DP , (0, 1,2)CP 设平面的一个法向量为,

44、 EFQ 111 ( ,)mx y z 由, 0m EQ 0m FQ 得 111 11 20 20 xyz yz 取,得. 1 1y (0,1,2)m 设平面的一个法向量为 PDC222 (,)nxyz 由, 0n DP 0n CP 得 222 22 20 20 xyz yz 取,得.所以 2 1z (0,2,1)n 4 cos, 5 m n m n m n 因为二面角为钝角,所以二面角的余弦值为. DGHEDGHE 4 5 45. （2013 年高考湖南卷（理） ）如图 5,在直棱柱, 1 111 / /ABCDABC DADBC中， ,.90 ,1BADACBD BC 1 3ADAA (I

45、)证明:; (II)求直线所成角的正弦值. 1 ACB D 111 BCACD与平面 【答案】解: () ACBBABCDBDABCDBBDCBAABCD 111111 ,面且面是直棱柱 . DBACBDBDBBDBACBBBBDBDAC 11111 ,，面。面且又 (证毕) () 。的夹角与平面的夹角即直线与平面直线 111111 ,/ACDADACDCBADBCCB 轴正半轴。为轴正半轴，为点，量解题。设原点在建立直角坐标系，用向XADYABA BDACyBDyACyCyBDDA), 0 , , 3(), 0 , , 1 () 0 , , 1 (), 0 , , 0(),3 , 0 , 3

46、(),0 , 0 , 3(,00 , 0 1 ，则，设 ).3 , 0 , 3(),0 , 3, 1 (. 30, 0030 1 2 ADACyyyBDAC ），（），（的一个法向量平面则的法向量为设平面303,313-. 0 0 , 1 1 1 ADnACD ADn ACn nACD 7 21 37 33 |,cos|sin003,313- 1 ADnADnACD），（），（的一个法向量平面 . 7 21 11 夹角的正弦值为与平面所以ACDBD 46. （2013 年普通高等学校招生统一考试福建数学（理）试题（纯 WORD 版） ）如图,在四棱柱 中,侧棱, 1111 ABCDABC D 1 AAABCD 底面/ /ABDC 1 1AA 3ABk ,.4ADk5BCk6DCk(0)k (1)求证: 11; CDADD A 平面 (2)若直线与平面所成角的正弦值为,求的值; 1 AA 1 ABC 6 7 k (3)现将与四棱柱形状和大小完全相同的两个四棱柱拼接成一个新 1111 ABCDABC D 的棱柱,规定:若拼接成的新的四棱柱形状和大小完全相同,则视为同一种拼接方案.问: 共有几种不同的方案?在这些拼接成的新四棱柱中,记其中最小的表面积为,写出( )f k 的