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1、5.3 常系数线性微分方程组1常系数线性微分方程组的解法（复特征根）从上一讲我们已经知道，求解方程组 （5.20）归结为求矩阵A的特征根和对应的特征向量问题现在考虑复根情形因为A是实的矩阵，所以复特征根是共轭出现的，设是一对共轭根，由定理5.11，对应解是 其中T1，T2是特征向量，这是实变量的复值解，通常我们希望求出方程组（5.20）的实值解，这可由下述方法实现定理5.12 如果实系数线性齐次方程组有复值解其中U(x)与V(x)都是实向量函数，则其实部和虚部 证明 因为是方程组(5.8)的解，所以 由于两个复数表达式恒等相当于实部及虚部恒等，所以上述恒等式表明：, 即U(x), V(x)都是
2、方程组(5.8)的解.证毕.定理5.13 如果是区间(a,b)上的n个线性无关的向量函数，b1,b2是两个不等于零的常数，则向量函数组 (5.24)在区间(a, b)上仍是线性无关的.证明 (反证法)如果(5.24)线性相关，那么依定义5.1存在n个不全为零的常数，使得对区间(a, b)上的所有x皆有所以因为线性无关，从而从上式可知，,因为b1,b20,故.即所有常数都等于零，矛盾.证毕.由代数知识知,实矩阵A的复特征根一定共轭成对地出现.即，如果=a+ib是特征根，则其共轭也是特征根.由定理5.11，方程组(5.20)对应于的复值解形式是 这里是对应于的特征向量.由于矩阵A是实的，所以上述向
3、量的共轭向量是方程组(5.20)对应于特征根的解，记作. 现将上述两个复值解，按下述方法分别取其实部和虚部为 由定理5.12和定理5.13，它们分别是方程组(5.20)的解， 并且由此得到的n个解仍组成基本解组. 例1 求解方程组解 它的系数矩阵为特征方程是即 特征根为先求对应的特征向量为再求所对应的特征向量.它应满足方程组 即用2i乘上述第一个方程两端，得显见，第一个方程等于第二与第三个方程之和.故上述方程组中仅有两个方程是独立的，即 求它的一个非零解.不妨令，则.于是对应的解是4求它的一个非零解.不妨令，则.于是对应的解是故，原方程组的通解为 5.5.2 矩阵A的特征根有重根的情形由定理5
4、.11，我们已经知道，当方程组(5.20)的系数矩阵A 的特征根均是单根时，其基本解组的求解问题，归结到求这些特征根所对应的特征向量.然而，当矩阵A 的特征方程有重根时，定理5.11不一定完全适用，这是因为，若是A 的重特征根，则由齐次线性方程组所决定的线性无关特征向量的个数,一般将小于或等于特征根的重数.若=,那么矩阵A对应的约当标准型将呈现对角阵，其求解方法与5.5.1情形相同.若，由线性代数的知识，此时也可以求出个线性无关的特征向量，通常称为广义特征向量，以这些特征向量作为满秩矩阵T的列向量，可将矩阵A化成若当标准型 其中未标出符号的部分均为零无素，而 是阶约当块，是(5.20)的特征根
5、，它们当中可能有的彼此相同.于是，在变换(5.21)下方程组(5.20)化成 (5.25)根据(5.25)的形式，它可以分解成为m个可以求解的小方程组.为了说清楚这个问题，我们通过一个具体重根的例子，说明在重根情形下方程组(5.20)的基本解组所应具有的结构对于一般情形，其推导是相似的.设方程组 （5.26）中A是5.5矩阵，经非奇异线性变换其中且，将方程组(5.26)化为 (5.27)我们假定这时，方程组(5.27)可以分裂为两个独立的小方程组 (5.28)v (5.29)在(5.28)中自下而上逐次用初等积分法可解得 同样对(5.29)可解得这里是任意常数.由于在方程(5.28)中不出现，
6、在(5.29)中不出现我们依次取可以得到方程组(5.27)的五个解如下 从而 (5.31)是方程组(5.27)的一个解矩阵.又 ,所以(5.31)是方程组(5.27)的一个基本解矩阵.而(5.30)是(5.27)的一个基本解组.现在把(5.30)的每个解分别代入到线性变换中可得原方程组(5.26)的五个解，,而且这五个解构成方程组的一个基本解组.这是因为，若把上面五个解写成矩阵形式则显然有.至此我们已清楚地看到，若J中有一个三阶若当块，是(5.26)的三重特证根，则(5.26)有三个如下形式的线性无关解，(5.32)其中每个是x的至多二次多项式.因此(5.32)也可以写成如下形式 其中都是五维
7、常向量.而对于J中的二阶若当块，是(5.26)的二重根，它 所对应的(5.26)的两个线性无关解应是如下形式其中也都是五维常向量.最后，我们还应指出，对于方程组(5.20)，若是A的一个重特征根，则所对应的若当块可能不是一块而是几块，但是它们每一块的阶数都小于或等于，而且这些阶数的和恰好等于.这样，由以上分析我们得到定理5.14 设是矩阵A的m个不同的特征根，它们的重数分别为.那么，对于每一个，方程组(5.20)有个形如的线性无关解，这里向量的每一个分量为x的次数不高于-1的多项式.取遍所有的就得到(5.20)的基本解组.上面的定理既告诉了我们当A的特征根有重根时，线性方程组(5.20)的基本
8、解组的形式，同时也告诉了我们一种求解方法，但这种求解方法是很繁的.在实际求解时，常用下面的待定系数法求解.为此，我们需要线性代数中的一个重要结论.引理5.1 设n阶矩阵互不相同的特征根为，其重数分别是, , 记n维常数列向量所组成的线性空间为V，则(1) V的子集合是矩阵A的维不变子空间，并且(2) V有直和分解;现在，在定理5.14相同的假设下，我们可以按下述方法求其基本解组.定理5.15 如果是(5.20)的重特征根，则方程组(5.20)有个形如 (5.33)的线性无关解，其中向量由矩阵方程(5.34)所确定.取遍所有的，则得到(5.20)的一个基本解组. 证明 由定理5.14知，若是（5
9、.20）的重特征根，则对应解有（5.30）的形式.将（5.33）代入方程组（5.20）有 消去，比较等式两端x的同次幂的系数（向量），有 （5.35）注意到方程组（5.35）与（5.34）是等价的.事实上，两个方程组只有最后一个方程不同，其余都相同（5.35）与（5.34）同解的证明请见教材这样，在方程组(5.31)中，首先由最下面的方程解出R0，再依次利用矩阵乘法求出.由引理5.1得知，线性空间V可分解成相应不变子空间的直和，取遍所有的，就可以由(5.34)最下面的方程求出n个线性无关常向量，再由(5.31)逐次求出其余常向量，就得到(5.20)的n个解.记这n个解构成的解矩阵为Y(x)，显
10、然，Y(0)是由(5.34)最下面的方程求出的n个线性无关常向量构成，由引理5.1的2)矩阵Y(0)中的各列构成了n维线性空间V的一组基，因此，于是Y(x)是方程组(5.20)的一个基本解组.例2 求解方程组解 系数矩阵为 特征方程为 特征根为 对应的解是下面求所对应的两个线性无关解.由定理5.15，其解形如 并且满足由于那么由可解出两个线性无关向量将上述两个向量分别代入中，均得到为零向量.于是对应的两个线性无关解是最后得到通解例3 求解方程组解 系数矩阵是特征方程为 有三重特征根由定理5.15，可设其解形如 满足方程组由于故可分别取再将它们依次代入上面的方程，相应地求得为 为于是，可得原方程组三个线性无关解最后方程的通解可写成