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1、第二十一届华罗庚金杯少年数学邀请赛初赛试卷（初一组）一、选择题（每小题 10 分，共 60 分，以下每题的四个选项中，仅有一个是正确的，请将 表示正确答案的英文字母写在每题的圆括号内）1代数和 -1 2008+ 2 2007- 3 2006+ 4 2005+L -10031006+10041005 的个 位数字是（）A.7B.8C.9D.0【答案】B【解析】只需考察每个组合的个位数的乘积，发现这 2015 个的组合中，个位数的乘积每十 个一循环，观察这个循环中的乘积和：-1 8+2 7 - 3 6+4 5 - 5 4 + 6 3 - 7 2 + 8 1 - 9 0 + 0 9=0 ，因此每个循
2、环的 个位数和为 0，观察最后循环外的几个数的乘积和：-1 8+2 7 - 3 6+4 5=8 。因此最后得到的个位数为 82已知 -1ab0，则下列不等式成立的是（ ）A. aa3 ab2 abB. aab2 aba3C. aabab2 a3 D. a3 ab2 a 0 ，故 ab 最大，排除 B,C；另外由于 -1 a 0 得a2 1 ，即 a 0, b 0 则可解得 a = 2 2016 = 1344 ， b = - 1 2016 = -672 ， a + b = 6723 3ACB4如右图所示，三角形 ABC 是直角三角形， ABC = 60o ，若在直线 AC 或 BC上取一点 P
3、，使得三角形 PAB 为等腰三角形，那么这样的点 P 的个数为（）A.4B.5C.6D.7【答案】C【解析】考察不同的等腰三角形的顶角：若 P 为顶角，则 P 必位于 AB 的中垂线上，而 AB 中垂线与直线 AC,AB 的交点有两个，故这样 的等腰三角形有 2 个；若 A 为顶角，则 AB 为其中一条腰，将线段 AB 绕 A 点旋转，与直线 AC,AB 的交点有三个，但 是由于 ABC = 60 ，此旋转后的直线与 BC 延长线的交点与以 P 为顶点的一个三角形重合， 故这样不同的等腰三角形有 2 个；若 B 为顶角，同样 AB 为其中一条腰，将线段 AB 绕 B 点旋转，与直线 AC,AB
4、 的交点同样有三 个，同样与 P 为顶点的一个三角形重合，故不同的三角形只有 2 个；综上这样的点 P 的个数为 6 个。5如右图，乙是主河流甲的支流，水流流向如箭头所示。甲主流和支流的水流速度相等，船在主流和支流中的静水DCA速度也相等。已知 AC = CD ，船从 A 处经 C 开往 B 处乙需用 6 小时，从 B 经 C 到 D 需用 8 小时，从 D 经 C 到 B B需用 5 小时。则船从 B 经 C 到 A ，再从 A 经 C 到 D 需用（）小时。1A.133【答案】B【解析】B.12 13C.1113D.10 13设 AC = CD = a ， CB = b ，静水速度为 v
5、，水流速度为 s 。由题意得a + b = 6v - s v + sa + b = 8v - s v - sa + b = 5v + s v + s由后两个式子可以得到1 =8 ， 1 =5 代入第一个式子化简得到b = 2av - sa + bv + s a + b船从 B 经 C 到 A，再从 A 经 C 到 D 需用时： b + a + 2a = (2a + b) 8 + a 5 = 21a + 8b v - s v + s v - s a + b a + b a + b将 b = 2a 代入得到21a + 8b = 21a +16a = 37 = 12 16甲、乙、丙、丁四种商品的单价
6、分别为 2 元，3 元，5 元和 7 元，现从中选购了 6 件共花 费了 36 元。如果至少选购了 3 种商品，则买了（）件丁商品。A.1B.2C.3D.4【答案】D【解析】由于至少选购了 3 中产品，故丁产品最多买 4 件，如果丁产品少于 4 件，则 6 件总 花费 7 3+5 2+3 1=33 元，矛盾，故丁必须买 4 件；同时如果丁买 4 件，丙与乙各买 一件，总花费正好是 36 元。综上丁买了 4 件二、填空题（每小题 10 分，共 40 分）7如右图，在平行四边形 ABCD 中， AB = 2AD ，点 O 为平D CcO行四边形内一点，它到直线 AB, BC, CD 的距离分别为
7、a, b, c ，aA B且它到 AD 和 CD 的距离相等，则 2a - b + c = 。b【答案】0【解析】考察平行四边形的两条高，AB 为底边的高为 a + c ，AD 为底边的高为b + c ，由面积不变定理有 S =AB (a + c) =AD (b + c) ，得 b + c = 2 (a + c ) ，即 2a + c - b = 08如右图所示，韩梅家的左右两侧各摆了 3 盆花，韩梅每次按照以下规则往家中搬一盆花：先选择左侧还是右侧，然后搬该侧 离家最近的，要把所有的花搬到家里，共有 种不同的搬花顺序。【答案】20【解析】韩梅每次只能选择搬左侧或者右侧的花，左侧和右侧分别只能
8、选择三次，我们将三个左 和三个右组成的排列（例如：左左右左右右 是一种排列）分别对应一种搬花的顺序，并且 不同的排列对应不同的搬花的顺序。所以三个左和三个右组成的排列的个数与搬花顺序的个 数相同。故只需考虑所以三个左和三个右组成的排列的个数。对于这种排列只需要考虑在 66个位置中选择三个为左的个数，这样的个数一共有C3 = 20 。E9如右图，在等腰梯形 ABCD 中，ABCD ，AB = 6，CD = 14， A BAEC = 90o ， CE = CB ，则 AE2 = .DC【答案】84【解析】E ABDGFCAG = BF = h ， CG = 10 ， CF = 4AC2 = AG2
9、 + CG2 = h2 +100CE2 = BC2 = BF 2 + CF 2 = h2 +16AE2 = AC2 - CE2 = 8410已知四位数 x 是完全平方数，将其 4 个数字各加 1 后得到的四位数仍然是完全平方数，则 x = 。【答案】2025【解析】设 x = a2 ，另一个数为 b2 则有 b2 - a2 = 1111 ，即 (a + b) (b - a ) = 1111由于1111 = 10111 ，且101,11 均为质数；故 a + b = 101, b - a = 11，解得 a = 45故 x = 2025 （注：素材和资料部分来自网络，供参考。请预览后才下载，期待你的好评与关注！）