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1、初中数学压轴题参考答案与试题解析一解答题（共8小题）1已知抛物线经过A（2，0）设顶点为点P，与x轴的另一交点为点B（1）求b的值，求出点P、点B的坐标；（2）如图，在直线 y=x上是否存在点D，使四边形OPBD为平行四边形？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由；（3）在x轴下方的抛物线上是否存在点M，使AMPAMB？如果存在，试举例验证你的猜想；如果不存在，试说明理由（4）在第（2）问的条件下，若G为OBD的外接圆，求出圆心G点的坐标【解答】解：（1）由于抛物线经过A（2，0），所以，解得所以抛物线的解析式为，将式配方，得，所以顶点P的坐标为（4，2），令y=0，得，解得x1=2，x
2、2=6所以点B的坐标是（6，0）（2）在直线 y=x上存在点D，使四边形OPBD为平行四边形理由如下：设直线PB的解析式为y=kx+b，把B（6，0），P（4，2）分别代入，得，解得，所以直线PB的解析式为又因为直线OD的解析式为，所以直线PBOD设直线OP的解析式为y=mx，把P（4，2）代入，得，解得如果OPBD，那么四边形OPBD为平行四边形设直线BD的解析式为，将B（6，0）代入，得0=，所以所以直线BD的解析式为，解方程组，得，所以D点的坐标为（2，2）（3）符合条件的点M存在验证如下：过点P作x轴的垂线，垂足为C，则PC=2，AC=2，由勾股定理，可得AP=4，PB=4，又AB=4
3、，所以APB是等边三角形，只要作PAB的平分线交抛物线于M点，连接PM，BM，由于AM=AM，PAM=BAM，AB=AP，可得AMPAMB因此即存在这样的点M，使AMPAMB（4）过点G作x轴垂线，垂足为H，G为OBD的外接圆，点G在线段OH的垂直平分线上，且GO=GD，B（6，0），lGH：x=3，设G点坐标为（3，m），O（0，0），D（2，2），（30）2+（m0）2=（32）2+（m2）2，m=，G点的坐标为（3，）2已知抛物线：y1=（1）求抛物线y1的顶点坐标（2）将抛物线y1向右平移2个单位，再向上平移1个单位，得到抛物线y2，求抛物线y2的解析式（3）如图，抛物线y2的顶点为P
4、，x轴上有一动点M，在y1、y2这两条抛物线上是否存在点N，使O（原点）、P、M、N四点构成以OP为一边的平行四边形？若存在，求出N点的坐标；若不存在，请说明理由提示：抛物线y=ax2+bx+c（a0）的对称轴是x=顶点坐标是（）【解答】解：（1）依题意a=，b=，2c=0，=2，=2，顶点坐标是（2，2）；（2）y2解析式中的二次项系数为，且y2的顶点坐标是（4，3）y2=（x4）2+3，即：y2=x2+4x5；（3）符合条件的N点存在如图：若四边形OPMN为符合条件的平行四边形，则OPMN，且OP=MN，POA=BMN，作PAx轴于点A，NBx轴于点B，PAO=MBN=90，在POA与NM
5、B中，POANMB（AAS），PA=BN点P的坐标为（4，3），NB=PA=3，点N在抛物线y1、y2上，且P点为y1、y2的最高点，符合条件的N点只能在x轴下方点N在抛物线y1上，则有：x2+2x=3解得：x=2或x=2+，点N在抛物线y2上，则有：（x4）2+3=3，解得：x=42或x=4+2符合条件的N点有四个：N1（2，3），N2（42，3），N3（2+，3），N4（4+2，3）3如图，抛物线y=x2+2x+3与x轴相交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C，顶点为D（1）直接写出A、B、C三点的坐标和抛物线的对称轴；（2）连接BC，与抛物线的对称轴交于点E，点P为线段BC
6、上的一个动点，过点P作PFDE交抛物线于点F，设点P的横坐标为m；用含m的代数式表示线段PF的长，并求出当m为何值时，四边形PEDF为平行四边形？设BCF的面积为S，求S与m的函数关系式【解答】解：（1）A（1，0），B（3，0），C（0，3）抛物线的对称轴是：直线x=1（2）设直线BC的函数关系式为：y=kx+b把B（3，0），C（0，3）分别代入得：解得：所以直线BC的函数关系式为：y=x+3当x=1时，y=1+3=2，E（1，2）当x=m时，y=m+3，P（m，m+3）在y=x2+2x+3中，当x=1时，y=4D（1，4）当x=m时，y=m2+2m+3，F（m，m2+2m+3）线段DE=
7、42=2，线段PF=m2+2m+3（m+3）=m2+3mPFDE，当PF=ED时，四边形PEDF为平行四边形由m2+3m=2，解得：m1=2，m2=1（不合题意，舍去）因此，当m=2时，四边形PEDF为平行四边形设直线PF与x轴交于点M，由B（3，0），O（0，0），可得：OB=OM+MB=3S=SBPF+SCPF即S=PFBM+PFOM=PF（BM+OM）=PFOBS=3（m2+3m）=m2+m（0m3）方法二：（3）B（3，0），C（0，3），D（1，4），DEC=COB=90，DECCOB，DCE=CBO，DCE+OCB=90，DCBC，BCD的外接圆圆心M为BD中点，MX=2，MY=2
8、，BCD的外接圆圆心M（2，2）4在平面直角坐标系内，反比例函数和二次函数y=k（x2+x1）的图象交于点A（1，k）和点B（1，k）（1）当k=2时，求反比例函数的解析式；（2）要使反比例函数和二次函数都是y随着x的增大而增大，求k应满足的条件以及x的取值范围；（3）设二次函数的图象的顶点为Q，当ABQ是以AB为斜边的直角三角形时，求k的值【解答】方法一：解：（1）当k=2时，A（1，2），A在反比例函数图象上，设反比例函数的解析式为：y=，代入A（1，2）得：2=，解得：m=2，反比例函数的解析式为：y=；（2）要使反比例函数和二次函数都是y随着x的增大而增大，k0，二次函数y=k（x2+
9、x1）=k（x+）2k，对称轴为：直线x=，要使二次函数y=k（x2+x1）满足上述条件，在k0的情况下，x必须在对称轴的左边，即x时，才能使得y随着x的增大而增大，综上所述，k0且x；（3）由（2）可得：Q（，k），ABQ是以AB为斜边的直角三角形，A点与B点关于原点对称，（如图是其中的一种情况）原点O平分AB，OQ=OA=OB，作BDOC，QCOC，OQ=，OB=，=，解得：k=方法二：（1）略（2）略（3）抛物线的顶点Q（，k），A（1，k），B（1，k），ABQ是以AB为斜边的直角三角形，AQBQ，KAQKBQ=1，k1=，k2=，方法二追加第（4）问：点C为x轴上一动点，且C点坐标为
10、（2k，0），当ABC是以AB为斜边的直角三角形时，求K的值（4）ABC是以AB为斜边的直角三角形，ACBC，KACKBC=1，A（1，k），B（1，k），C（2k，0），3k2=1，k1=，k2=5将抛物线c1：沿x轴翻折，得到抛物线c2，如图1所示（1）请直接写出抛物线c2的表达式；（2）现将抛物线c1向左平移m个单位长度，平移后得到新抛物线的顶点为M，与x轴的交点从左到右依次为A、B；将抛物线c2向右也平移m个单位长度，平移后得到新抛物线的顶点为N，与x轴的交点从左到右依次为D、E当B、D是线段AE的三等分点时，求m的值；在平移过程中，是否存在以点A、N、E、M为顶点的四边形是矩形的情形
11、？若存在，请求出此时m的值；若不存在，请说明理由【解答】解：（1）y=x2（2）如图1，令x2+=0，得x1=1，x2=1则拋物线c1与x轴的两个交点坐标为（1，0），（1，0）A（1m，0），B（1m，0）同理可得：D（1+m，0），E（1+m，0）当AD=AE时，（1+m）（1m）=（1+m）（1m），m=当BD=AE时，（1+m）（1m）=（1+m）（1m），m=2故当B，D是线段AE的三等分点时，m=或2存在理由：如图2，连接AN，NE，EM，MA依题意可得：M（m，），N（m，）即M，N关于原点O对称，OM=ONA（1m，0），E（1+m，0），A，E关于原点O对称，OA=OE四边形
12、ANEM为平行四边形AM2=（m+1+m）2+（）2=4，ME2=（1+m+m）2+（）2=4m2+4m+4，AE2=（1+m+1+m）2=4m2+8m+4，若AM2+ME2=AE2，则4+4m2+4m+4=4m2+8m+4，m=1，此时AME是直角三角形，且AME=90当m=1时，以点A，N，E，M为顶点的四边形是矩形6如图，在平面直角坐标系中，直线y=x+2交x轴于点P，交y轴于点A抛物线y=x2+bx+c的图象过点E（1，0），并与直线相交于A、B两点（1）求抛物线的解析式（关系式）；（2）过点A作ACAB交x轴于点C，求点C的坐标；（3）除点C外，在坐标轴上是否存在点M，使得MAB是直
13、角三角形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由【解答】方法一：解：（1）直线解析式为y=x+2，令x=0，则y=2，A（0，2），抛物线y=x2+bx+c的图象过点A（0，2），E（1，0），解得抛物线的解析式为：y=x2+x+2 （2）直线y=x+2分别交x轴、y轴于点P、点A，P（6，0），A（0，2），OP=6，OA=2ACAB，OAOP，RtOCARtOAP，OAC=OPA，OC=，又C点在x轴负半轴上，点C的坐标为C（，0）（3）抛物线y=x2+x+2与直线y=x+2交于A、B两点，令x2+x+2=x+2，解得x1=0，x2=，B（，）如答图所示，过点B作BDx轴于点D，则
14、D（，0），BD=，DP=6=点M在坐标轴上，且MAB是直角三角形，有以下几种情况：当点M在x轴上，且BMAB，如答图所示设M（m，0），则MD=mBMAB，BDx轴，即，解得m=，此时M点坐标为（，0）；当点M在x轴上，且BMAM，如答图所示设M（m，0），则MD=mBMAM，易知RtAOMRtMDB，即，化简得：m2m+=0，解得：m1=，m2=，此时M点坐标为（，0），（，0）；（说明：此时的M点相当于以AB为直径的圆与x轴的两个交点）当点M在y轴上，且BMAM，如答图所示此时M点坐标为（0，）；当点M在y轴上，且BMAB，如答图所示设M（0，m），则AM=2=，BM=，MM=m易知Rt
15、ABMRtBMM，即，解得m=，此时M点坐标为（0，）综上所述，除点C外，在坐标轴上存在点M，使得MAB是直角三角形符合条件的点M有5个，其坐标分别为：（，0）、（，0）、（，0）、（0，）或（0，）方法二：（1）略（2）直线y=x+2交x轴于点P，当y=0时，x+2=0，解得：x=6P（6，0）KAP=ACAB，KACKAB=1，又KAB=KAP=，KAC=3，A（0，2），lAC：y=3x+2，当y=0时，x=，点C的坐标为（，0）（3）当M在y轴时，过B作y轴垂线得M1（0，），作BMAB交y轴于M，KBMKAB=1，KAB=，KBM=3，又B（，），lBM：y=3x，M2（0，）当M在
16、x轴时，当y=0，x=，M3（，0），AMBM，KAMKBM=1，A（0，2），B（，），设M（t，0），=1，t2t+=0，t=或，M4（，0），M5（，0）7在平面直角坐标系xOy中，点P是抛物线：y=x2上的动点（点在第一象限内）连接 OP，过点0作OP的垂线交抛物线于另一点Q连接PQ，交y轴于点M作PA丄x轴于点A，QB丄x轴于点B设点P的横坐标为m（1）如图1，当m=时，求线段OP的长和tanPOM的值；在y轴上找一点C，使OCQ是以OQ为腰的等腰三角形，求点C的坐标；（2）如图2，连接AM、BM，分别与OP、OQ相交于点D、E用含m的代数式表示点Q的坐标；求证：四边形ODME是矩形
17、【解答】方法一：解：（1）把x=代入 y=x2，得 y=2，P（，2），OP=PA丄x轴，PAMOtanP0M=tan0PA=设 Q（n，n2），tanQOB=tanPOM，n=Q（，），OQ=当OQ=OC时，则C1（0，），C2（0，）；当OQ=CQ时，则C3（0，1）；当CQ=CO时，OQ为底，不合题意综上所述，当OCQ是以OQ为腰的等腰三角形时，所求点C坐标为：C1（0，），C2（0，），C3（0，1）；（2）设 Q（n，n2），APOBOQ，得n=，Q（，）设直线PQ的解析式为：y=kx+b，把P（m，m2）、Q（，）代入，得：，得：m2=（m+）k，解得：k=m，把代入，得：b=1，
18、M（0，1），QBO=MOA=90，QBOMOAMAO=QOB，QOMA同理可证：EMOD又EOD=90，四边形ODME是矩形方法二：（1）略（2）OPOQ，KOPKOQ=1，KOP=，KOQ=，lOQ：y=x，y=x2x1=0（舍），x2=，Q（，），设点C（0，t），O（0，0），OCQ是以OQ为腰的等腰三角形OQ=OC或QO=QC，（0+）2+（0）2=（00）2+（0t）2，t=，（0+）2+（0）2=（0）2+（t）2，t=1，C1（0，），C2（0，），C3（0，1），（3）Px=m，PY=m2，KOP=m，又OQOP，KOPKOQ=1，KOQ=，lOQ：y=x，y=x2，Q（，）
19、，P（m，m2），lPQ：y=（m）x+1，即M（0，1），又A（m，0），B（，0），O（0，0），KAM=，KOQ=，KAM=KOQ，AMOQ，KBM=m，KOP=m，KBM=KOP，BMOP，四边形ODME是平行四边形，又OPOQ，四边形ODME为矩形8如图，抛物线y=ax2+bx+2与x轴交于点A（1，0）和B（4，0）（1）求抛物线的解析式；（2）若抛物线的对称轴交x轴于点E，点F是位于x轴上方对称轴上一点，FCx轴，与对称轴右侧的抛物线交于点C，且四边形OECF是平行四边形，求点C的坐标；（3）在（2）的条件下，抛物线的对称轴上是否存在点P，使OCP是直角三角形？若存在，求出点P的
20、坐标；若不存在，请说明理由【解答】方法一：解：（1）把点A（1，0）和B（4，0）代入y=ax2+bx+2得，解得，所以，抛物线的解析式为y=x2x+2；（2）抛物线的对称轴为直线x=，四边形OECF是平行四边形，点C的横坐标是2=5，点C在抛物线上，y=525+2=2，点C的坐标为（5，2）；（3）设OC与EF的交点为D，点C的坐标为（5，2），点D的坐标为（，1），点O是直角顶点时，易得OEDPEO，=，即=，解得PE=，所以，点P的坐标为（，）；点C是直角顶点时，同理求出PF=，所以，PE=+2=，所以，点P的坐标为（，）；点P是直角顶点时，由勾股定理得，OC=，PD是OC边上的中线，P
21、D=OC=，若点P在OC上方，则PE=PD+DE=+1，此时，点P的坐标为（，），若点P在OC的下方，则PE=PDDE=1，此时，点P的坐标为（，），综上所述，抛物线的对称轴上存在点P（，）或（，）或（，）或（，），使OCP是直角三角形方法二：（1）略（2）FCx轴，当FC=OE时，四边形OECF是平行四边形设C（t，），F（，+2），t=，t=5，C（5，2）（3）点P在抛物线的对称轴上，设P（，t），O（0，0），C（5，2），OCP是直角三角形，OCOP，OCPC，OPPC，OCOP，KOCKOP=1，t=，P（，），OCPC，KOCKPC=1，=1，t=，P（，），OPPC，KOPKPC=1，4t28t25=0，t=或，点P的坐标为（，）或（，），综上所述，抛物线的对称轴上存在点P（，）或（，）或（，）或（，），使OCP是直角三角形