文科导数类型分析.doc

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1、类型一 二次函数中的分类讨论 例1（2013年高考浙江卷（文）已知aR,函数f(x)=2x3-3(a+1)x2+6ax()若a=1,求曲线y=f(x)在点(2,f(2)处的切线方程;()若|a|1,求f(x)在闭区间0,|2a|上的最小值.例2 （2013年高考山东卷（文）已知函数()设,求的单调区间() 设,且对于任意,.试比较与的大小例3（河南省中原名校2012-2013高三下学期第二次联考数学（文）试题）设函数.(1)当a=l时,求函数的极值;(2)当a2时,讨论函数的单调性;(3)若对任意a(2,3)及任意x1,x21,2,恒有成立,求实数m的取值范围.类型二 变量分离法求取值范围例1

2、（2013年高考大纲卷（文）已知函数(I)求;(II)若例 2（河南省郑州市2013届高三第三次测验预测数学（文）试题）已知函数f(x)=(2-a)lnx-1,g(x)=lnx+ax2+x(aR),令(I)当a=0时,求的极值;(II)当a-2时,求的单调区间;(III )当-3a0.(1)求函数f(x)的单调区间;(2)若方程f(x)=0在(0,2)内恰有两个实数根,求a的取值范围;(3)当a=1时,设函数f(x)在 t,t+2(t(-3,-2)上的最大值为H(t),最小值为h(t),记g(t)=H(t)-h(t),求函数g(t)的最小值. 变量分离相关练习1.（黑龙江省哈六中2013届高三

3、第二次模拟考试数学（文）试题 word版 ）己知函数f(x)= x2-2alnx+(a-2)x,aR(I)当aO时,讨论函数f(x)的单调性;(II)是否存在实数a,对任意的x1,x2(0,),且有恒成 立,若存在,求出a的取值范围;若不存在,说明理由.2（吉林省四校联合体2013届高三第一次诊断性测试数学（文）试题）已知函数()当a=2时,求函数f(x)的单调区间;()若g(x)= +在1,+)上是单调函数,求实数a的取值范围.3（河南省三市（平顶山、许昌、新乡）2013届高三第三次调研（三模）考试数学（文）试题）已知f(x)= (I)若a=1,求曲线y=f(x)在点(1,f(1)处的切线方

4、程;(11)若a1,求f(x)在闭区间0,|2a|上的最小值.【答案】解:()当时,所以,所以在处的切线方程是:; ()因为 当时,时,递增,时,递减,所以当 时,且,时,递增,时,递减,所以最小值是; 当时,且,在时,时,递减,时,递增,所以最小值是; 综上所述:当时,函数最小值是;当时,函数最小值是; 例2 （2013年高考山东卷（文）已知函数()设,求的单调区间() 设,且对于任意,.试比较与的大小【答案】 当时函数的单调递减区间是 （河南省中原名校2012-2013高三下学期第二次联考数学（文）试题）设函数.(1)当a=l时,求函数的极值;(2)当a2时,讨论函数的单调性;(3)若对任

5、意a(2,3)及任意x1,x21,2,恒有成立,求实数m的取值范围.【答案】解:()函数的定义域为 当时, 令 当时,;当时, 单调递减,在单调递增 ,无极大值 () 当,即时,上是减函数 当,即时,令,得 令,得 当,时矛盾舍 综上,当时,单调递减 当时,单调递减,在上单调递增 来源:学科网ZXXK ()由()知,当时,上单调递减 当时,有最大值,当时,有最小值 而经整理得 12分 例3变量分离例（2013年高考大纲卷（文）已知函数(I)求;(II)若【答案】()当时, . 令,得,. 当时,在是增函数; 当时,在是减函数; 当时,在是增函数; ()由得,. 当,时, , 所以在是增函数,于

6、是当时,. 综上,a的取值范围是. （河南省郑州市2013届高三第三次测验预测数学（文）试题）已知函数f(x)=(2-a)lnx-1,g(x)=lnx+ax2+x(aR),令(I)当a=0时,求的极值;(II)当a-2时,求的单调区间;(III )当-3a -2 时,若对,使得恒成立,求实数m的取值范围.选做題(本小題满分10分,请从22、23、24三个小题中任选一題作答,并用铅笔在对应 方框中涂黑)【答案】解: () 其定义域为 当时, 令 当时, 当时, 所以的单调递减区间为单调递增区间为 所以当时, 有极小值无极大值 () 当时,.令,得,或. 令,得. 当时,的单调递减区间为单调递增区

7、间为 ()由()可知,当时,在上单调递减, 所以 所以 因为对,恒成立, 所以, 整理得 又,所以 又,得 所以 故实数的取值范围是 （山西省康杰中学2013届高三第三次模拟数学（文）试题）已知函数的导函数为的图像在点处的切线方程为,且,又直线是函数的图像的一条切线(1)求函数的解析式及的值.(2)若对于任意恒成立,求的取值范围.【答案】 切线方程（2013年高考四川卷（文）已知函数,其中是实数.设,为该函数图象上的两点,且.()指出函数的单调区间;()若函数的图象在点处的切线互相垂直,且,证明:;()若函数的图象在点处的切线重合,求的取值范围.【答案】解:()函数的单调减区间为,单调增区间为

8、, ()由导数的几何意义知,点A处的切线斜率为,点B处的切线斜率为, 故当点处的切线互相垂直时,有, 当x, , 所以存在,使得. 由于函数在区间和上均单调,所以当时曲线与直线有且只有两个不同交点. 综上可知,如果曲线与直线有且只有两个不同交点,那么的取值范围是. 例2（2013年高考福建卷（文）已知函数(,为自然对数的底数).(1)若曲线在点处的切线平行于轴,求的值;(2)求函数的极值;(3)当的值时,若直线与曲线没有公共点,求的最大值.【答案】解:()由,得. 又曲线在点处的切线平行于轴, 得,即,解得. (), 当时,为上的增函数,所以函数无极值. 当时,令,得,. ,;,. 所以在上单

9、调递减,在上单调递增, 故在处取得极小值,且极小值为,无极大值. 综上,当时,函数无极小值; 当,在处取得极小值,无极大值. ()当时, 令, 则直线:与曲线没有公共点, 等价于方程在上没有实数解. 假设,此时, 又函数的图象连续不断,由零点存在定理,可知在上至少有一解,与“方程在上没有实数解”矛盾,故. 又时,知方程在上没有实数解. 所以的最大值为. 解法二: ()()同解法一. ()当时,. 直线:与曲线没有公共点, 等价于关于的方程在上没有实数解,即关于的方程: (*) 在上没有实数解. 当时,方程(*)可化为,在上没有实数解. 当时,方程(*)化为. 令,则有. 令,得, 当变化时,的

10、变化情况如下表:当时,同时当趋于时,趋于, 从而的取值范围为. 所以当时,方程(*)无实数解, 解得的取值范围是. 综上,得的最大值为.例3 （山西省山大附中2013届高三4月月考数学（文）试题）已知函数,设.zxxk(1)求函数的单调区间;(2)若以函数图像上任意一点为切点的切线的斜率恒成立,求实数的最小值;(3)是否存在实数,使得函数的图像与函数的图像恰有四个不同的交点?若存在,求出实数的取值范围;若不存在,说明理由.【答案】试题分析:解:(I), ,由,在上单调递增. 由,在上单调递减. 的单调递减区间为,单调递增区间为. (II), 恒成立 当时,取得最大值., (III)若的图象与的

11、图象恰有四个不同得交点,即有四个不同的根,亦即有四个不同的根. 令, 则 当x变化时,、的变化情况如下表:x来源:Zxxk.Com的符号+-+-的单调性由表格知:, 画出草图和验证可知,当时,与恰有四个不同的交点. 当时,的图象与的图象恰有四个不同的交点. 例3（云南省玉溪市2013年高中毕业班复习检测数学（文）试题）已知函数图象上点P(1,f(1)处的切线方程为2x-y-3=0. (I)求函数y=f(x)的解析式;(II)若函数g(x)=f(x)+m-ln4在,2上恰有两个零点,求实数m的取值范围.【答案】最值问题（2013年高考广东卷（文）设函数 .(1) 当时,求函数的单调区间;(2)

12、当时,求函数在上的最小值和最大值,【答案】(1)当时 ,在上单调递增. (2)当时,其开口向上,对称轴 ,且过 -kk k(i)当,即时,在上单调递增, 从而当时, 取得最小值 , 当时, 取得最大值. (ii)当,即时,令 解得:,注意到, (注:可用韦达定理判断,从而;或者由对称结合图像判断) 的最小值, 的最大值 综上所述,当时,的最小值,最大值 解法2(2)当时,对,都有,故 故,而 , 所以 , (1)解法3:因为,; 当时,即时,在上单调递增,此时无最小值和最大值; 当时,即时,令,解得或;令,解得或;令,解得;因为, 作的最值表如下:极大值极小值则,; 因为 ; ,所以; 因为

13、; ; 所以; 综上所述,所以,. （河北省衡水中学2013届高三第六次模拟考试数学（文）试题）已知函数(1)当时,求曲线在点处的切线方程;(2)当时,若在区间上的最小值为-2,求的取值范围; (3)若对任意,且恒成立,求的取值范围.【答案】【解析】()当时,. 因为. 所以切线方程是 ()函数的定义域是. 当时, 令,即, 所以或. 当,即时,在1,e上单调递增,所以在1,e上的最小值是; 当时,在1,e上的最小值是,不合题意; 当时,在(1,e)上单调递减, 所以在1,e上的最小值是,不合题意 综上 ()设,则, 只要在上单调递增即可 而 当时,此时在上单调递增; 当时,只需在上恒成立,因

14、为,只要, 则需要,对于函数,过定点(0,1),对称轴,只需, 即. 综上 （河北省保定市2013届高三第一次模拟数学文试题（WORD版）设函数f(x)=,其中a0.(1)求函数f(x)的单调区间;(2)若方程f(x)=0在(0,2)内恰有两个实数根,求a的取值范围;(3)当a=1时,设函数f(x)在 t,t+2(t(-3,-2)上的最大值为H(t),最小值为h(t),记g(t)=H(t)-h(t),求函数g(t)的最小值.【答案】 变量分离相关练习1.（黑龙江省哈六中2013届高三第二次模拟考试数学（文）试题 word版 ）己知函数f(x)= x2-2alnx+(a-2)x,aR(I)当aO

15、时,讨论函数f(x)的单调性;(II)是否存在实数a,对任意的x1,x2(0,),且有恒成 立,若存在,求出a的取值范围;若不存在,说明理由.【答案】(1)解: (1)当时,由得或,由得; (2)当时,恒成立; (3)当时,由得或,由得;来源:学*科*网Z*X*X*K来源:Z&xx&k.Com 综上,当时,在和上单调递增;在上单调递减; 当时,在上单调递增; 当时,在和上单调递增;在上单调递减. (2),来源:学*科*网 令 要使,只要在上为增函数,即在上恒成立,因此,即 故存在实数,对任意的,且,有恒成立 （吉林省四校联合体2013届高三第一次诊断性测试数学（文）试题）已知函数()当a=2时

16、,求函数f(x)的单调区间;()若g(x)= +在1,+)上是单调函数,求实数a的取值范围.【答案】解:()的单调递增区间是(1,+),的单调递减区间是(0,1). ()由题意得,函数g(x)在1,+)上是单调函数. 若函数g(x)为1,+)上的单调增函数,则在1,+)上恒成立, 即在1,+)上恒成立,设,在1,+)上单调递减, ,a0 若函数g(x)为1,+)上的单调减函数,则在1,+)上恒成立,不可能. 实数a的取值范围0,+) （河南省三市（平顶山、许昌、新乡）2013届高三第三次调研（三模）考试数学（文）试题）已知f(x)= (I)若a=1,求曲线y=f(x)在点(1,f(1)处的切线

17、方程;(11)若a0,求函数y=f(x)的单调区间;()若不等式2xlnx恒成立,求实数a的取值范围.【答案】解:(I), ,又,所以切点坐标为 所求的切线方程为即 (II) 由,得或 时,由得.由得,或 此时的单调递减区间为,单调递增区间为 (III)依题意,不等式恒成立,等价于 在上恒成立 可得在上恒成立 设,则 令得或(舍去),当时,当时, 当变化时,变化情况如下表:1+0-单调递增2单调递减当时,取得最大值, 的取值范围是 切线方程相关练习1.（2013年高考课标卷（文）(本小题满分共12分)已知函数,曲线在点处切线方程为.()求的值;()讨论的单调性,并求的极大值.【答案】 (II)

18、 由(I)知, 令 从而当0. 故. 当. （河北省石家庄市2013届高三一模数学（文）试题）已知函数f(x)=ex+ax-1(e为自然对数的底数).(I)当a=1时,求过点(1,f(1)处的切线与坐标轴围成的三角形的面积;(II)若f(x)x2在(0,1 )上恒成立,求实数a的取值范围.【答案】解:()当时, 函数在点处的切线方程为 即 设切线与x、y轴的交点分别为A,B. 令得,令得, . 在点处的切线与坐标轴围成的图形的面积为 ()由得, 令, 令, , ,在为减函数 , 又, 在为增函数, , 因此只需 二次函数型轴与区间的关系相关练习（河南省商丘市2013届高三第三次模拟考试数学（文

19、）试题）已知函数.(1)若直线过点,并且与曲线相切,求直线的方程;(2)设函数,其中,求函数在上的最小值.(其中为自然对数的底数)请考生在第22、23、24三题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记分.做答时,用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑.【答案】解:()设切点坐标为,则, 由,得切线的斜率为 所以切线的方程为, 又切线过点,所以 解得,所以直线的方程为 (),则 令,得;令,得 , 所以在上单调递减,在上单调递增 当,即时,在上单调递增, 所以在上的最小值为 当,即时,在上单调递减,在上单调递增. 在上的最小值为 当,即时,在上单调递减, 所以在上的最小值为. 综上,当

20、时,的最小值为0;当时,的最小值为; 当时,的最小值为 2.（山西省临汾一中、忻州一中、康杰中学、长治二中2013届高三第四次四校联考数学（文）试题）设.()若,讨论的单调性;()时,有极值,证明:当时,.【答案】解:(1) 当时,在上单增; 当时,或, 在和上单调递增,在上单调递减 当时,或, 在和上单调递增,在上单调递减. (2)时, 有极值, 在上单增 3.（吉林省集安市第一中学2013届高三下学期半月考数学（文）试题）(本题满分12分)设函数 ().(1)当时,求函数在点处的切线方程;(2)对任意的,恒成立,求实数的取值范围.(本小题满分10分.请考生在22、23、24三题中任选一题作

21、答,如果多做,则按所做的第一题记分.作答时,在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑)【答案】 (2) ,易知, 则. 当时,即时,由得恒成立, 在上单调递增,符合题意,所以; 当时,由得,恒成立,在上单调递减, ,显然不合题意,舍去; 当时,由得,即 则, 因为,所以,所以时,恒成立, （河南省十大名校2013届高三第四次联合模拟考试数学文试题）已知.(1)已知函数h(x)=g(x)+ax3的一个极值点为1,求a的取值;(2) 求函数在上的最小值;(3)对一切,恒成立,求实数a的取值范围.【答案】解析: (1),因为1为极值点,则满足,所以 (2),当,单调递减, 当时,单调递增 ,t无解; ,即

22、时,; ,即时,在上单调递增,; 所以 (3),则,设, 则, ,单调递减, ,单调递增,所以, 因为对一切,恒成立,所以; （山西省康杰中学2013届高三第二次模拟数学（文）试题）已知函数(1)当时,求曲线在点处的切线方程;(2)若在处有极值,求的单调递增区间;(3)是否存在实数,使函数在区间上的最小值是3?若存在,求出的值;若不存在,请说明理由.【答案】函数交点的相关练习 （河南省开封市2013届高三第四次模拟数学（文）试题）(本小题满分12分)已知函数来源:Zxxk.Com(I)讨论函数在定义域上的单调性;()若函数的图像有两个不同的交点,求口的取值范围.【答案】 实验中学2013届高三

23、第二次模拟考试数学（文）试题）已知函数.aR ()当a=1时,求的单调区间;()若函数在上无零点,求a的最小值.【答案】解:(I)当 由由 故 (II)因为上恒成立不可能, 故要使函数上无零点,只要对任意的恒成立, 即对恒成立 令来源:学科网ZXXK 则 综上,若函数 （云南省2013年第二次高中毕业生复习统一检测数学文试题（word版） ）已知常数、都是实数,函数的导函数为,的解集为. (1)若的极大值等于65,求的极小值;(2)设不等式的解集为集合,当时,函数只有一个零点,求实数的取值范围.【答案】 （河南省宝丰县第一高级中学分校2013届高三联考数学（文）试题）已知函数,是实数.()若在处取得极大值,求的值;()若在区间为增函数,求的取值范围;()在()的条件下,函数有三个零点,求的取值范围.【答案】(I)解: 由在处取得极大值,得, 所以(适合题意) (II),因为在区间为增函数,所以在区间恒成立, 所以恒成立,即恒成立 由于,得.的取值范围是 (III), 故,得或 当时,在上是增函数,显然不合题意 当时,、随的变化情况如下表:+00+极大值极小值 要使有三个零点,故需, 解得.所以的取值范围是