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1、第七章：高考数学必背公式与知识点过关检测第七章：高考数学必背公式与知识点过关检测 第一部分：集合与常用逻辑用语第一部分：集合与常用逻辑用语 1子集个数子集个数：含n个元素的集合有 个子集，有个真子集，有个非空子集，有个非空真子集 2常见数集：常见数集：自然数集：正整数集：或整数集：有理数集：实数集： 3空集：空集：是任何集合的，是任何非空集合的. 4元素特点元素特点：、 、确定性 5集合的的运算集合的的运算：集运算、 集运算、集运算 6四种命题四种命题：原命题：若p，则q；逆命题：若，则；否命题：若，则；逆否命题：若， 则；原命题与逆命题，否命题与逆否命题互；原命题与否命题、逆命题与逆否命题互
2、；原命题 与逆否命题、否命题与逆命题互为。互为逆否的命题 7充要条件的判断：充要条件的判断：pq，p是q的条件；pq，q是p的条件；pq，, p q互为 条件；若命题p对应集合A，命题q对应集合B，则pq等价于，pq等价于注意区分注意区分： “甲是乙的充分条件（甲乙）”与“甲的充分条件是乙（乙甲）”； 8逻辑联结词：逻辑联结词：或命题：pq，, p q有一为真即为，, p q均为假时才为；且命题：pq，, p q均 为真时才为，, p q有一为假即为；非命题：p和p为一真一假两个互为对立的命题 9.全称量词与存在量词：全称量词与存在量词： （1）全称量词“所有的”、“任意一个”等，用表示；全称
3、命题 p：)(,xpMx；全称命题 p 的否定 p：； （2）存在量词“存在一个”、“至少有一个”等，用表示；特称命题 p：)(,xpMx；特称命题 p 的否定 p：； 第二部分：函数与导数及其应用第二部分：函数与导数及其应用 1函数的定义域函数的定义域：分母0；偶次被开方数 0；0 次幂的底数0 ；对数函数的真数0；指数与 对数函数的底数0 且1 2分段函数：分段函数：值域（最值） 、单调性、图象等问题，先分段解决，再下结论； 分段函数是一个函数，其定义域是各段定义域的、值域是各段值域的 3函数的单调性：函数的单调性：设 1 x， 2 , xa b，且 12 xx，那么： （1） 1212
4、()()()0 xxf xf x 12 12 ()() 0( ), f xf x f xa b xx 在上是函数； （2） 1212 ()()()0 xxf xf x 12 12 ()() 0( ), f xf x f xa b xx 在上是函数； （3）如果0)( x f，则)(xf为函数；0)( x f，则)(xf为函数； （4）复合函数的单调性：根据“同异”来判断原函数在其定义域内的单调性. 4函数的奇偶性函数的奇偶性: （1）函数的定义域关于对称是函数具有奇偶性的前提条件前提条件 （2）)(xf是函数)()(xfxf；)(xf是函数)()(xfxf . （3）奇函数)(xf在 0 处有
5、定义，则 （4）在关于原点对称的单调区间内：奇函数有的单调性，偶函数有的单调性 （5）偶函数图象关于轴对称、奇函数图象关于对称 5函数的周期性：函数的周期性： 周期有关的结论：(约定 a0) （1）)()(axfxf，则)(xf的周期T=； （2）)()(xfaxf，或)0)( )( 1 )(xf xf axf，或 1 () ( ) f x a f x ( ( )0)f x ,则)(xf的周期T= （3）)()(axfaxf或)0)()2(axfaxf)(xf的周期为 6函数的对称性：函数的对称性： ( )yf x的图象关于直线对称()()f axf ax(2)( )faxf x； ( )yf
6、 x的图象关于直线对称()()f a xf b x()( )f a b xf x ； 7对数运算规律：对数运算规律： （1）对数式与指数式的互化： （2）对数恒等式：log 1 a ，logaa ，log b aa lg2+lg5 ，lne （3）对数的运算性质： 加法：loglog aa MN减法：loga M N 数乘：log() n aM nR恒等式： logaN a log m n a b 换底公式：logaN 8二次函数：二次函数： 二次函数cbxaxy 2 （a0）的图象的对称轴方程是，顶点坐标是判别式 acb4 2 ；0时，图像与x轴有个交点；0时，图像与x轴有个交点；0时，图像
7、与x 轴没有交点； 9. 韦达定理：韦达定理： 若 21,x x是一元二次方程)0(0 2 acbxax的两个根，则： 21 xx =， 21x x=. 10零点定理：若 xfy 在ba,上满足, 则 xfy 在ba,内至少有一个零点 11常见函数的导数公式： ( )C； ( n x）； (nx） (sin x ）； (cos x）； ( x e）； ( x a）； (ln x）； (log x）. 12导数运算法则： f xg x （1）； 2 f x g x （ ） 13曲线的切线方程：曲线的切线方程：函数)(xfy 在点 0 x处的导数是曲线)(xfy 在)(,( 00 xfxP处的切线
8、的斜率为)( 0 x f ， 相应的切线方程是. 14微积分基本定理：微积分基本定理： 如果 f x是, a b上的连续函数，并且有 Fxf x，则 第三部分：三角函数、三角恒等变换与解三角形第三部分：三角函数、三角恒等变换与解三角形 1角度制与弧度制互化：角度制与弧度制互化： 360=rad，180=rad，1=rad，1 rad = 2若扇形扇形的圆心角为 为弧度制，半径为r，弧长为l，周长为C，面积为S，则 l ，C ，S= 3.三角函数定义式：三角函数定义式：角终边上任一点（非原点）P),(yx,设rOP |则 sin，cos，tan 4同角同角三角函数的基本关系：三角函数的基本关系：
9、 （1）平方关系（2）商数关系 5.函数的诱导公式：口诀：函数的诱导公式：口诀：. （1）sin(2)sink， （kZ） （2）， tantan （3）， tantan （4），, tantan （5）sin()cos 2 ， （6），cos()sin 2 6特殊角的三角函数值：特殊角的三角函数值： 030456090120135150180270 角的弧 度数 sin cos tan 7三角函数的图像与性质：三角函数的图像与性质： sinyx cosyxtanyx 定义域 值域 周期 奇偶性 单调性 对称性 8几个常见三角函数的周期：几个常见三角函数的周期： xysin 与 xycos 的
10、周期为. )sin(xy 或 )cos(xy （0）的周期为. 2 tan x y 的周期为 . xycos 的周期为 9. 两角和与差的正弦、余弦和正切公式：两角和与差的正弦、余弦和正切公式： （1） cos ； （2）cos； （3）sin； （4）sin； （5）tan； （6）tan. 10. 二倍角的正弦、余弦和正切公式：二倍角的正弦、余弦和正切公式： sin2 cos2= 降幂公式 2 cos， 2 sin,sincos， tan2 11 引入辅助角公式引入辅助角公式：sincosab. (其中,辅助角所在象限由点( , )a b所在的象限决定,tan b a ). 12. 正弦定
11、理：正弦定理：. （R是ABC外接圆直径） CBAcbasin:sin:sin:； CRcBRbARasin2,sin2,sin2； CBA cba C c B b A a sinsinsinsinsinsin 13. 余弦定理余弦定理：.（变式变式） （以以A角和其对边来表示角和其对边来表示） 14. 三角形面积公式三角形面积公式： ABC S= （用边与角的正弦值来表示用边与角的正弦值来表示） 三角形面积导出公式：三角形面积导出公式： ABC S（r为ABC内切圆半径）=（R外接圆半径） 15. 三角形内切圆半径三角形内切圆半径r=外接圆直径外接圆直径 2R= 第四部分：平面向量、数列与不
12、等式第四部分：平面向量、数列与不等式 1 平面向量的基本运算：平面向量的基本运算：设 11 ( ,)ax y ， 22 (,)bxy ； （0b ） ab =；ab =； a b（定义公式）=（坐标公式） a 在b 方向上的投影为.=（坐标公式） ab （一般表示）（坐标表示） a b （一般表示）（坐标表示） 夹角公式cos=（坐标公式）. 2.若G为ABC的重心，则=0 ；且G点坐标为(，) 3.三点共线的充要条件：BAP,三点共线OPxOAyOB 且 4.三角形的四心三角形的四心 重心：三角形三条交点. 外心：三角形三边相交于一点. 内心：三角形三相交于一点. 垂心：三角形三边上的相交于
13、一点. 5. 数列数列 n a中中 n a与与 n S的关系的关系 n a 6. 等差数列与等比数列对比小结：等差数列与等比数列对比小结： 等差数列等差数列等比数列等比数列 定义 公式 1 n a 2 n S 1 n a 2 n S 性质 1cba,成等差数列 称b为a与c的等差中项 2若m npq , 则 （） 1cba,成等比数列 称b为a与c的等比中项 2若m npq , 则 （） 7.常见数列的和：常见数列的和： 1+2+3+n=12+22+32+n2=13+23+33+n3= 8.一元二次不等式解的讨论一元二次不等式解的讨论. 000 二次函数 cbxaxy 2 （0a）的图象 一元
14、二次方程 0 2 cbxax 0a的解集 0 2 cbxax 0a的解集 0 2 cbxax 0a的解集 9. 均值不等式：均值不等式： 若 0a ， 0b ，则； 10. 重要不等式：重要不等式： 11极值定理：极值定理：已知yx,都是正数，则有： （1）如果积xy是定值p，那么当yx 时和yx 有最小值； （2）如果和yx 是定值s，那么当yx 时积xy有最大值. 12.两个著名不等式：两个著名不等式： （1）平均不等式：平均不等式：如果ba,都是正数，那么 （当仅当ba 时取等号）即：平方平均算术平均几何平均调和平均（ba,为正数） 特别地， 22 2 () 22 abab ab （当b
15、a 时， 22 2 () 22 abab ab ） ),( 33 2 222 时取等cbaRcba cbacba 幂平均不等式： 2 21 22 2 2 1 ).( 1 . nn aaa n aaa （2）柯西不等式：）柯西不等式：.（当且仅当 ad=bc 时取等号） 第五部分：立体几何与解析几何第五部分：立体几何与解析几何 1. 三视图与直观图：三视图与直观图： 原图形与直观图面积之比为 2. 常见几何体表面积公式：常见几何体表面积公式： 圆柱的表面积 S=圆锥的表面积 S= 圆台的表面积 S =球的表面积S= 3常见几何体体积公式：常见几何体体积公式： 柱体的体积V=锥体的体积V = 台体
16、的体积V =球体的体积V = 4. 常见空间几何体的有关结论：常见空间几何体的有关结论： （1）棱锥的平行截面的性质：如果棱锥被平行于底面的平面所截，那么所得的截面与底面，截面面积与 底面面积的比等于顶点到截面距离与棱锥高的；相应小棱锥与小棱锥的侧面积的比等于顶点到截面距离 与棱锥高的 （2）长方体从一个顶点出发的三条棱长分别为a，b，c，则体对角线长为，全面积 为，体积 V = （3）正方体的棱长为a，则体对角线长为,全面积为，体积 V = （4）球与长方体的组合体: 长方体的外接球的直径长方体的长. 球与正方体的组合体:正方体的内切球的直径=正方体的, 正方体的棱切球的直径=正方体的长,
17、正方体的外接球的直径=正方体的体长. （5）正四面体的性质：设棱长为a，则正四面体的： 1高：；对棱间距离：；内切球半径：；外接球半径： 5. 空间向量中的夹角和距离公式：空间向量中的夹角和距离公式： （1）空间中两点）空间中两点A 111 ( ,)x y z，B 222 (,)xyz的距离距离 d= （2）异面直线夹角：）异面直线夹角：(0, 2 cos=（两直线方向向量为, a b ） （3）线面角：）线面角：0, 2 ，且 sin=（l ，n 为直线的方向向量与平面的法向量） （4）二面角：）二面角：0, ，且 cos=（两平面的法向量分别为1n 和 2n ） （5）点到面的距离：）点到
18、面的距离：平面的法向量为n ，平面内任一点为N，点M到平面的距离 d= 6直线的斜率：直线的斜率：k=（为直线的倾斜角， 11 ( ,)A x y、 22 (,)B xy为直线上的两点） 7. 直线方程的五种形式：直线方程的五种形式： 直线的点斜式方程：(直线l过点 111 ( ,)P x y，且斜率为k) 直线的斜截式方程：(b为直线l在y轴上的截距). 直线的两点式方程：( 111 ( ,)P x y、 222 (,)P xy 12 xx， 12 yy). 直线的截距式方程：(a、b分别为直线在x轴、y轴上的截距，且0, 0ba). 直线的一般式方程：(其中 A、B 不同时为 0). 8两
19、条直线的位置关系：两条直线的位置关系： （1）若 111 :lyk xb， 222 :lyk xb,则： 1 l 2 l 且； 12 ll. （2） 若 1111 :0lAxB yC, 2222 :0lA xB yC,则： 1 l 2 l 且； . 12 ll. 9距离公式：距离公式： （1）点 111 ( ,)P x y， 222 (,)P xy之间的距离： （2）点 00 (,)P xy到直线0AxByC的距离： （3）平行线间的距离： 1 0AxByC与 2 0AxByC的距离： 10.圆的方程：圆的方程： （1）圆的标准方程： （2）圆的一般方程：（)04 22 FED 11直线与圆的
20、位置关系：直线与圆的位置关系：判断圆心到直线的距离d与半径R的大小关系 （1）当时，直线和圆（有两个交点） ； （2）当时，直线和圆（有且仅有一个交点） ； （3）当时，直线和圆（无交点） ； 12. 圆与圆的位置关系：圆与圆的位置关系：判断圆心距d与两圆半径和 12 RR，半径差 12 RR（ 12 RR）的大小关系： （1）当时，两圆，有 4 条公切线； （2）当时，两圆，有 3 条公切线； （3）当时，两圆，有 2 条公切线； （4）当时，两圆，有 1 条公切线； （5）当时，两圆，没有公切线； 13. 直线与圆相交所得弦长直线与圆相交所得弦长AB=（d为直线的距离 r 为半径） 14椭
21、圆的定义：椭圆的定义： （1）第一定义：平面内与两个定点 21 FF、的距离和等于常数的点的轨迹叫椭圆.这两个定点叫 椭圆的焦点，两焦点间的距离叫焦距.（ 222 cba） （2）标准方程：焦点在x轴上：；焦点在y轴上：. 15 双曲线的定义双曲线的定义： （1）第一定义： 平面内与两个定点 21 FF、的距离之差的绝对值等于常数：的 点的轨迹叫双曲线.这两个定点叫双曲线的焦点，两焦点间的距离叫焦距.（ 222 abc） （2）标准方程：焦点在x轴上：；焦点在y轴上：. 16抛物线的定义：抛物线的定义： （1）平面内与一个定点F和一条定直线l（点F不在l上）的距离的的点的轨迹叫做双曲线.这个定
22、点是 抛物线的焦点，定直线是抛物线的准线. （2）标准方程：焦点在x轴上：；焦点在y轴上：. 17离心率离心率：e=（椭圆的离心率 ，双曲线的离心率，抛物线的离心率） 18双曲线的渐近线：双曲线的渐近线： 22 22 1 xy ab （0a ，0b ）的渐近线方程为，且与 22 22 1 xy ab 具有相同渐 近线的双曲线方程可设为 22 22 xy ab . 19过抛物线焦点的直线：过抛物线焦点的直线： 倾斜角为的直线过抛物线 2 2ypx的焦点F且与抛物线交于 11 ( ,)A x y、 22 (,)B xy两点（ 1 0y ） ： AFBFAB= 21x x 21y y BFAF 11
23、 20焦点三角形的面积焦点三角形的面积： （1）椭圆：S=； （2）双曲线：S=（ 12 FPF） 21几何距离：几何距离： （1）椭圆双曲线特有距离：长轴（实轴） ：；短轴（虚轴） ：；两焦点间距离：. （2）焦准距：椭圆、双曲线：；抛物线：. （3）通径长：椭圆、双曲线：；抛物线：. 22直线被曲线所截得的弦长公式：直线被曲线所截得的弦长公式：若弦端点为A),(),( 2211 yxByx,则 AB= 23. 中点弦问题：中点弦问题： 椭圆： OPAB kk双曲线： OPAB kk 第六部分：统计与概率第六部分：统计与概率 1. 总体特征数的估计：总体特征数的估计： 样本平均数x=； 样本
24、方差；S2=； 样本标准差 S= 2概率公式：概率公式： 互斥事件（有一个发生）概率公式： BAP 古典概型：基本事件的总数数为N，随机事件A包含的基本事件个数为M，则事件A发生的概率为： AP= 几何概型：)(AP 3离散型随机变量：离散型随机变量： 随机变量的分布列：随机变量的分布列： 随机变量分布列的性质： i p,3 , 2 , 1i； 21 pp 离散型随机变量： x 1 x 2 x n x p 1 p 2 p n p 均值（又称期望） ：EX方差：DX 注：注： 2 ()()E aXbaEXbD aXba DX； 二项分布（独立重复试验） ：若pnBX,则EX,DX注：注： knk
25、k n ppCkXP )1 ()( 条件概率：条件概率：ABP|注：1|0ABP 独立事件同时发生的概率：独立事件同时发生的概率：ABP 第七部分：复数与计数原理第七部分：复数与计数原理 1. 复数的基本概念：复数的基本概念：zabi（a，bR） （1）实部：；虚部：； 虚数单位：i2= （2）模：|z|= （3）共轭复数：-z =（4）在复平面内对应的点为 （5）复数相等：a+bi=c+di（a，b，c，dR） 2. 复数的基本运算：复数的基本运算： （1）加减法： （a+bi）（c+di）=（a+bi）（c+di）= （2）乘法： （a+bi）（c+di）= （3）除法： （a+bi）（c
26、+di）= 注：注：对虚数单位i,有1 , , 1, 4342414 nnnn iiiiii. 3分类计数原理（加法原理）与分步计数原理（乘法原理分类计数原理（加法原理）与分步计数原理（乘法原理） ：. （1）完成一件事有n类不同方案，在第1类方案中有 1 m种不同的方法，在第2类方案中有 2 m种不同的方法， 在第n类方案中有 n m种不同的方法那么完成这件事共有 N=种不同的方法 （2）完成一件事情，需要分成n个步骤，做第1步有 1 m种不同的方法，做第2步有 2 m种不同的方法做第n步 有 n m种不同的方法.那么完成这件事共有 N=种不同的方法. 4排列数公式：排列数公式： n n A
27、=； m n A= (m n, m、nN*)规定规定0! 1 5组合数公式：组合数公式： m n C=（n，mN ，且mn） ； 6. 组合数性质：组合数性质： m n C； 1mm nn CC 7二项式定理二项式定理： （a+b）n= （ r n C叫做二项式系数） 8二项展开式的通项公式：二项展开式的通项公式：Tr+1=（r=0,1,2，n） 第八部分：坐标系与参数方程第八部分：坐标系与参数方程 1. 极坐标极坐标直角坐标直角坐标 cos sin x y 直角坐标直角坐标极坐标极坐标 22 tan(0) xy y x x 2. 圆的极坐标方程：圆的极坐标方程： 以极点为圆心，a为半径的圆的
28、极坐标方程是； 以( ,0)a)0(a为圆心，a为半径的圆的极坐标方程是； 以( ,) 2 a )0(a为圆心，a为半径的圆的极坐标方程是； 以,(0)aa为圆心，a为半径的圆的极坐标方程是; 以 3 ,(0) 2 aa 为圆心，a为半径的圆的极坐标方程是 3. 常见曲线的参数方程：常见曲线的参数方程： 常见曲线 的普通方 程与参数 方程 普通方程参数方程 直线 过点 00 (,)xy倾斜角为 00 tan()yyxx 或者 0 xx （t为参数） 圆 222 00 ()()xxyyr（为参数） 椭圆1 2 2 2 2 b y a x （ab0）（为参数） 双曲线1 2 2 2 2 b y a x （a0，b0） （为参数） 抛物线 2 2ypx（p0）（t为参数）