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1、Monte Carlo Optimization,主要内容,一、数值优化方法（Numerical optimization methods） 二、应用于求解随机优化问题的蒙特卡罗方法 （1）模拟退火算法（Simulated Annealing) （2）EM算法（The EM algorithm),1.Numerical optimization methods in R,1.1 Root-finding in one dimension 假设f:RR为一连续函数，则方程f(x)=c的根x,满足g(x)=f(x)-c=0.为此我们只考虑f(x)=0形式的方程求根问题。使用数值方法求此方程的根，可
2、以选择是使用f的一阶导数还是不使用导数的方法。Newton方法或者Newton-Raphson方法是使用一阶导数的方法，而Brent的最小化算法是不使用导数的一种求根方法。,1.1.1 Bisection method(二分法）,如果f(x)在区间a,b上连续，以及f(a)和f(b)有相反的符号，则由中值定理知道存在acb，使得f(c)=0。二分法通过在每次迭代中简单的判断f(x)在中点x=(a+b)/2处的符号来寻求方程的根。如果f(a)和f(x)有相反的符号则区间就被a,x代替，否则就被x,b代替。在每次迭代中，包含根的区间长度减少一半。即,可以看出，二分法不会失效，达到指定精度所需要的迭
3、代次数也是事先可以得到的。如果在区间a,b里方程有多个根，则二分,常用的收敛准则有： 绝对收敛,时停止迭代。此准则可以不考虑x的单位情况下达到指定的精度。,法会找到一个根。二分法的收敛速度是线性的。,相对收敛,下面我们使用二分法求此方程的一个数值解。我们首先要找到一个区间，比如(0,5n)，使得函数 在区间两端有着不同的符号。然后即可使用二分法。,例1 解方程,其中a为常数，n2为一整数。显然，方程的解为,程序： a 0) stop(f does not have opposite sign at endpoints),while(it eps) it - it + 1 if (y1*y2 0
4、) r3 - r2 y3 - y2 else r1 - r2 y1 - y2 r2 - (r1 + r3) / 2 y2 - f(r2, a=a, n=n) print(c(r1, y1, y3-y2) bisec(0,5*n),运行结果： true roots -4.239473 4.186841,1.1.2 Brents method,二分法是一种特殊的括入根算法。Brent通过逆二次插值方法将括入根方法和二分法结合起来。其使用y的二次函数来拟合x。如果三个点为(a,f(a),(b,f(b),(c,f(c)）,其中b为当前最好的估计，则通过Lagrange多项式插值方法（y=0)对方程的根
5、进行估计，,在R中，函数uniroot就是应用Brent方法求解一元方程的数值根。,例2 应用uniroot求例1中的方程的根。 程序： a - 0.5 n - 20 out - uniroot(function(y) a2 + y2 + 2*a*y/(n-1) - (n-2) , lower = 0, upper = n*5) unlist(out) root f.root iter estim.prec 4.186870e+00 2.381408e-04 1.400000e+01 6.103516e-05 uniroot(function(y) a2 + y2 + 2*a*y/(n-1)
6、- (n-2), interval = c(-n*5, 0)$root 1 -4.239501,1.1.3 Newtons method,例3 使用Newton方法求例1方程的根。 程序： nt-function(b0) a - 0.5 n - 20 f - function(y, a, n) a2 + y2 + 2*a*y/(n-1) - (n-2) fd-function(y,a,n) 2*y+2*a/(n-1) ,b1eps) it-it+1 b0-b1 b1-b0-f(b0,a,n)/fd(b0,a,n) cat(it,c(b0,b1,abs(b1-b0),n) ,输入：nt(5) 输
7、出结果： 1 5 4.252618 0.7473822 2 4.252618 4.187347 0.06527095 3 4.187347 4.186841 0.0005055338 4 4.186841 4.186841 3.032932e-08 Newton方法依赖于f的形状和初值。该方法从初值开始就发散。,运行结果：,运行结果：,2.应用于求解随机优化问题的蒙特卡罗方法,2.1模拟退火算法,模拟退火算法来源于固体退火原理，将固体加温至充分高，再让其徐徐冷却，加温时，固体内部粒子随温升变为无序状，内能增大，而徐徐冷却时粒子渐趋有序，在每个温度都达到平衡态，最后在常温时达到基态，内能减为最小
8、。根据Metropolis准则，粒子在温度T时趋于平衡的概率为e-E/(kT)，其中E为温度T时的内能，E为其改变量，k为Boltzmann常数。用固体退火模拟组合优化问题，将内能E模拟为目标函数值f，温度T演化成控制参数t， 即得到,解组合优化问题的模拟退火算法：由初始解i和控制参数初值t开始，对当前解重复“产生新解计算目标函数差接受或舍弃”的迭代，并逐步衰减t值，算法终止时的当前解即为所得近似最优解，这是基于蒙特卡罗迭代求解法的一种启发式随机搜索过程。退火过程由冷却进度表(Cooling Schedule)控制，包括控制参数的初值t及其衰减因子t、每个t值时的迭代次数L和停止条件S,给定一
9、些观察数据x，假设x符合如下高斯分布：,求混合高斯分布的三组参数,2.2EM算法,问题来源,EM算法是个聚类算法，即根据给定观察数据自动对数据进行分类。,该混合高斯分布一共有K个分布，并且对于每个观察 到的x，如果我们同时还知道它属于K中的哪一个分布， 则我们可以根据最大似然估计求出每个参数。,结论：,简单问题,特别注意 是个 向量，而 是个 数值。,表示属于第k个高斯 分布的观察数据x。,实际问题,观察数据x属于哪个高斯分布是未知的所以要用EM算法来解决这种实际问题。,EM算法过程：,1、用随机函数初始化K个高斯分布的参数，同时 保证,Expectation 2、依次取观察数据x，比较x在K个高斯函数 中概率的大小，把x归类到这K个高斯中 概率最大的一个。,Maximum 3、 用最大似然估计，使观察数据是x的概率 最大，因为已经在第2步中分好类了，所 以，即简单问题的求法。,4、返回第2步用第3步新得到的参数来对观察数据x 重新分类。直到下式概率（最大似然函数）达 到最大。,