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1、1,4 系统的稳定性,系统稳定的充分必要条件 冲激响应必须是绝对可积的，即,要使系统稳定，H(s)的极点必须全部在S左半平面，或者是系统的特征方程的根的实部全部为负。 罗斯判据 设线性系统的特征方程为：,则系统稳定的充分必要条件是特征方程的全部系数为正值，并且由特征方程系数组成的罗斯阵的第一列系数也为正值。,2,罗斯判据,罗斯阵的形式为：,返回,3,举 例,三阶系统的特征方程为：,罗斯阵为,系统稳定的充分必要条件为,罗斯判据,4,改变一次符号,改变一次符号,根据罗斯判据确定系统为不稳定的情况：,罗斯阵第一列所有系数均不为零，但也有不全为正数的情况： 特征根在右开半平面的数目等于罗斯阵第一列系数
2、符号改变的次数。 例：线性系统的特征方程为：,罗斯阵为,可见系统不稳定，改变符号次数为2，表明有两个正实部的根。,5,根据罗斯判据确定系统为不稳定的情况：,罗斯阵某一行第一项系数为零，而其余系数不为零的情况。 可用有限小的正数代替零计算。 例：线性系统的特征方程为：,罗斯阵为,故有两个根在右半平面。实际上,改变一次符号,改变一次符号,6,根据罗斯判据确定系统为不稳定的情况：,罗斯阵某一行全为零的情况。表明特征方程有一些大小相等，方向相反的根。 例：线性系统的特征方程为：,罗斯阵为,构成辅助多项式：,其导数为：,返回,7,罗斯阵某一行全为零的情况,系统没有正实部根，有共轭虚根，其根为,即 ，所以
3、，系统有四个根，,罗斯阵变为,返回,8,例 1,设连续系统的系统函数为 ，其中D(s)=s3+2s2+4s+K,罗斯阵为,罗斯判据,则系统稳定时K的取值范围为_。,可见，系统稳定时K的取值范围为：0K8,0K8,9,例 2,已知如图所示系统，欲使系统稳定，试确定的取值范围；若系统属临界稳定，试确定它们在j轴上的极点的值。,解：先求系统函数，设变量X,代入表达式，故有,令,10,例 2,已知如图所示系统，欲使系统稳定，试确定的取值范围；若系统属临界稳定，试确定它们在j轴上的极点的值。,见罗斯判据,系统稳定时K的取值范围为：,D(s)=s4+5s3+8s2+6s+K, 罗斯阵为,要使系统属临界稳定
4、时罗斯阵的某一行为0，即 K=204/25。,辅助多项式：,其导数为：,从罗斯阵可知：系统没有正实部根，有共轭虚根，其根为,见罗斯判据,11,例 3,如图所示电路，试求： (1) 系统函数,解：用节点法列方程：,(2)K为何值时，系统稳定？,欲使系统稳定，必有 52K0 即 K2.5,12,例 3,(3)取K0.5，uS(t)= sint (t)，求零状态响应u0(t)。,解： K0.5 时：,用比较系数法得：,故有,解得：,13,课堂练习题,系统特征方程如下，试判断该系统是否稳定。并确定具有正实部的特征根及负实部的特征根的个数。,(1),(2),系统特征方程如下，求系统稳定的K值范围。,(1),(2),在S右半平面有两个根,在S右半平面无根，有共轭虚根,