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1、第二章 连续时间系统的时域分析,时域分析方法:不涉及任何变换，直接求解系统的微分、积分方程式，这种方法比较直观，物理概念比较清楚，是学习各种变换域方法的基础。,2.1 引言,系统分析过程,经典法:前面电路分析课里已经讨论过，但与(t)有关的问题有待进一步解决 h(t)；,卷积积分法: 任意激励下的零状态响应可通过冲激响应来求。(新方法),本章主要内容,线性系统完全响应的求解； 冲激响应h(t)的求解； 卷积的图解说明； 卷积的性质； 零状态响应： 。,2.2 微分方程式的建立,微分方程的列写 n 阶线性时不变系统的描述,一微分方程的列写,根据实际系统的物理特性列写系统的微分方程。 对于电路系统
2、，主要是根据元件特性约束和网络拓扑约束列写系统的微分方程。,元件特性约束：表征元件特性的关系式。例如二端元件电阻、电容、电感各自的电压与电流的关系以及四端元件互感的初、次级电压与电流的关系等等。,网络拓扑约束：由网络结构决定的电压电流约束关系, KCL，KVL。,例1,电感,电阻,电容,根据KCL,代入上面元件伏安关系，并化简有,这是一个代表RCL并联电路系统的二阶微分方程。,求并联电路的端电压 与激励 间的关系。,这是一个代表机械位移系统的二阶微分方程。,两个不同性质的系统具有相同的数学模型，都是线性常系数微分方程，只是系数不同。对于复杂系统，则可以用高阶微分方程表示。,例2,机械位移系统，
3、质量为m的刚体一端由弹簧,牵引，弹簧的另一端固定在壁上。刚体与地面间的摩擦力为 ，外加牵引力为 ，其外加牵引力 与刚体运动速度 间的关系可以推导出为,二n 阶线性时不变系统的描述,一个线性系统，其激励信号 与响应信号 之间的关系，可以用下列形式的微分方程式来描述,若系统为时不变的，则C，E均为常数，此方程为常系数的n阶线性常微分方程。,2.3 用时域经典法求解微分方程,复习求解系统微分方程的经典法,我们一般将激励信号加入的时刻定义为t=0 ，响应为 时的方程的解，初始条件,齐次解：由特征方程求出特征根写出齐次解形式,注意重根情况处理方法。,特 解：根据微分方程右端函数式形式，设含待定系 数的特
4、解函数式代入原方程，比较系数 定出特解。,经典法,全 解：齐次解+特解，由初始条件定出齐次解 。,例3,系统的特征方程为:,特征根,因而对应的齐次解为,例4,如果已知： 分别求两种情况下此方程的特解。,给定微分方程式,将此式代入方程得到,等式两端各对应幂次的系数应相等，于是有,联解得到,所以，特解为,这里，B是待定系数。 代入方程后有：,(2),(原方程： ）,几种典型激励函数相应的特解,激励函数e(t),响应函数r(t)的特解,系统的完全响应,如果响应在0时刻有跳变，则用 作为初始条件：,利用初始条件求待定系数Ai 我们一般将激励信号加入的时刻定义为t=0，响应的求解区间定为 ,如果响应在0
5、时刻没有跳变，通常取t=0,这样对应的一组条件称为初始条件。,例5 试求微分方程 当 ，初始条件为 ，时的完全解。 解：（1）求齐次解。 按照题意，特征方程为 其特征根 均为单根，则其齐次解为,（2）求特解。 将 代入方程的右端，得自由项为 ，其中 与一个特征根 相重，故特解 将 代入上述微分方程，得 所以 因此特解 所以该方程的完全解是,由初始条件 有 解得 ，因此完全解为,2.4 起始点的跳变,电容电压的突变 电感电流的突变 奇异函数平衡法确定初始条件,我们来进一步讨论 的条件。,一起始点的跳变,对于一个具体的电网络，系统的 状态就是系统中储能元件的储能情况;,当系统用微分方程表示时，系统
6、从 到 状态有没有跳变取决于微分方程右端自由项是否包含 及其各阶导数项。,说明,一般情况下换路期间电容两端的电压和流过电感中的电流不会发生突变。这就是在电路分析中的换路定则：,但是当有冲激电流(或阶跃电压）强迫作用于电容或有冲激电压（或阶跃电流）强迫作用于电感， 状态就会发生跳变。,1电容电压的突变,由伏安关系,当有冲激电流或阶跃电压作用于电容时：,2电感电流的突变,如果为有限值，,54页例2-6,配平的原理：t =0 时刻微分方程左右两端的(t)及各阶导数应该平衡(其他项也应该平衡，我们讨论初始条件，可以不管其他项）,例：,二奇异函数平衡法确定初始条件,数学描述,设,则,代入方程,得出,所以
7、得,即,即,u(t)：表示从 0 到0+的相对单位跳变函数。,总结：若微分方程右边的自由项不包含(t)及其各阶导数项，则0+值与0-值相等，否则要利用奇异函数平衡法由0- 求0+值。,2.5 零输入响应和零状态响应,起始状态与激励源的等效转换 系统响应划分 对系统线性的进一步认识,一起始状态与激励源的等效转换,在一定条件下，激励源与起始状态之间可以等效转换。即可以将原始储能看作是激励源。,二系统响应划分,自由响应强迫响应 (Natural+forced),零输入响应零状态响应 (Zero-input+Zero-state),暂态响应+稳态响应 (Transient+Steady-state),
8、也称固有响应，由系统本身特性决定，与外加激励形式无关。对应于齐次解。,形式取决于外加激励。对应于特解。,是指激励信号接入一段时间内，完全响应 中暂时出现的有关成分，随着时间t 增加，它将消失。,随着时间t 增加，保留下来的分量称为稳态响应。,没有外加激励信号的作用，只由起始状 态（起始时刻系统储能）所产生的响应。,不考虑原始时刻系统储能的作用（起始 状态等于零），由系统的外加激励信号产生的响应。,(1)自由响应：,(2)暂态响应：,稳态响应：,强迫响应：,(3)零输入响应：,零状态响应：,各种系统响应定义,系统零输入响应，实际上是求系统方程的齐次解，由非零的系统状态值 决定的初始值求出待定系数
9、。,系统零状态响应，是在激励作用下求系统方程的非齐次解，由起始状态 为零决定的初始状态求出待定系数。（包括齐次解和特解）,求解,59页例2-8,三对系统线性的进一步认识,由常系数微分方程描述的系统在下述意义上是线性的。 (1)响应可分解为：零输入响应零状态响应。 (2)零状态线性：当起始状态为零时，系统的零状态响应对于各激励信号呈线性。 (3)零输入线性：当激励为零时，系统的零输入响应对于各起始状态呈线性。,解（续）,解得,结论： 若已知0+值，直接用经典法求解齐次解和特解比较简便； 若已知0-值，应用零输入响应、零状态响应分别求解比较简便。,2.6 冲激响应和阶跃响应,冲激响应 阶跃响应,系
10、统在单位冲激信号 作用下产生的零状态响应，称为单位冲激响应，简称冲激响应，一般用h(t)表示。,一冲激响应,1定义,2、系统的冲激响应,冲激 在 时转为系统的储能，t 0时，在非零初始条件下齐次方程的解，即为原系统的冲激响应。,例:,解：,求特征根,冲激响应,求系统 的冲激响应。,将e(t)(t)，r(t)h(t),带u(t),求待定系数,方法一：求0+法,求0+定系数,代入h(t),得,设,求待定系数,方法二：奇异函数系数匹配法,响应及其各阶导数(最高阶为n次),3n阶系统的冲激响应,(1)冲激响应的数学模型,对于线性时不变系统,可以用一高阶微分方程表示,激励及其各阶导数(最高阶为m次),(
11、2)h(t)解答的形式,设特征根为简单根（无重根的单根）,由于 及其导数在 时都为零，因而方程式右端的自由项恒等于零，这样原系统的冲激响应形式与齐次解的形式相同。,二阶跃响应,系统的输入 ，其响应为 。系统方程的右端将包含阶跃函数 ，所以除了齐次解外，还有特解项。,系统在单位阶跃信号作用下的零状态响应，称为单位阶跃响应，简称阶跃响应。,1定义,2阶跃响应与冲激响应的关系,线性时不变系统满足微、积分特性,用变换域(拉氏变换)方法求冲激响应和阶跃响应简捷方便，但时域求解方法直观、物理概念明确。,2.7 卷积,卷积 利用卷积积分求系统的零状态响应 卷积图解说明 卷积积分的几点认识,卷积方法的原理就是
12、将信号分解为冲激信号之和，借助系统的冲激响应h(t),求解系统对任意激励信号的零状态响应。,一卷积（Convolution）,利用卷积可以求解系统的零状态响应。,二利用卷积求系统的零状态响应,任意信号e(t)可表示为冲激序列之和,这就是系统的零状态响应。,三卷积的计算,由于系统的因果性或激励信号存在时间的局限性，卷积的积分限会有所变化。卷积积分中积分限的确定是非常关键的。,利用图解说明确定积分限,借助于阶跃函数u(t)确定积分限,例1,1列写KVL方程,2冲激响应为,4.定积分限（关键）,波形,解析法求卷积积分,练习 求 u(t) u(t) .,解：,注意：(1) 修改积分限; (2) 乘u(
13、t),卷积的图解说明,用图解法直观，尤其是函数式复杂时，用图形分段求出定积分限尤为方便准确。,例2:,浮动坐标,浮动坐标：,下限 上限,t-3,t,t ：移动的距离,t =0 f2(t-) 未移动,t 0 f2(t-) 右移,t 0 f2(t-) 左移,-1,1,t -1,两波形没有公共处，二者乘积为0，即卷积积分为0,-1 t 1,时两波形有公共部分，积分开始不为0， 积分下限-1，上限t ，t 为移动时间;,1 t 2,即1 t 2,2 t 4,即2 t 4,t 4,即t 4,t-31,卷积结果,积分上下限和卷积结果区间的确定,当 或 为非连续函数时，卷积需分段，积分限分段定。,(1)积分
14、上下限,(2)卷积结果区间,四对卷积积分的几点认识,(1) t ：观察响应的时刻，是积分的参变量； : 信号作用的时间，积分变量 从因果关系看，必定有,(2) 卷积是系统分析中的重要方法，通过冲激响应h(t)建立了响应r(t)与激励e(t)之间的关系。,(3) 积分限由 存在的区间决定，即由 的范围决定。,总结,时域求解响应的方法：,时域经典法：,双零法：,完全解=齐次解 + 特解(用0+值求待定系数),对应齐次解，用初始条件(0-值)求待定系数,全响应=零输入响应 + 零状态响应,冲激响应h(t)对应齐次解，用奇异函数系数平衡法求待定系数,2.8 卷积的性质,代数性质 微分积分性质 与冲激函
15、数或阶跃函数的卷积,一代数性质,1交换律,2分配律,3结合律,系统并联运算,系统级联运算,证明交换律,卷积结果与交换两函数的次序无关。因为倒置 与倒置 积分面积与t无关。,一般选简单函数为移动函数。如矩形脉冲或(t)。,系统并联(分配律）,系统并联，用以下框图表示：,结论：子系统并联时，总系统的冲激响应=,各子系统冲激响应之和。,系统级联（结合律）,系统级联，框图表示：,结论：时域中，子系统级联时，总的冲激响应= 子系统冲激响应的卷积。,例1：,如图：系统由三个子系统构成，已知各子系统的冲激响应 。求复合系统的冲激响应 。,解：,X,两端对t 求导,即,已知,交换律,二微分积分性质,推广：,微
16、分性质积分性质联合实用,对于求解卷积很方便，很重要。,g(t)的积分,微分n次，积分m次,m=n, 微分次数积分次数,三.与冲激函数或阶跃函数的卷积,推广：,例2,2.10 用算子符号表示微分方程 1算子的定义 （1）微分算子 ，定义如下： （2）积分算子 ，定义如下： 于是上面提到的激励信号 和系统响应 又可写为,其中 被称为响应对激励的传输算子或转移算子。 系统输入输出模型如下图所示。 系统的传输算子表示,例1 用算子法表微分方程。 解：根据微分算子的定义，上述微分方程 可表示为,还可将上式改写为 则传输算子或转移算子 为,2算子符号运算的基本规则 （1）对算子多项式可以进行因式分解，但不
17、能进行公因子相消。 （2）算子的乘除顺序不能随意颠倒，即 这表明“先乘后除”的算子运算（即先微分后积 分） 不能相消；而“先除后乘”（先积分后 微分） 的算子运算可以相消。,例2：设某连续系统的算子为 试写出此系统的输入输出微分方程。 解：令系统的输入为 ，输出为 ，由给 定传输算子 写出此系统算子方程为 即 与 之间的关系为 所以系统的输入输出微分方程为,第三次作业,习题二（P83） 2-6 2-9 (1) 2-13 (1) (2) (3) 2-20,本章总结： 1、LTI连续系统的响应： 全响应齐次解(自由响应)特解(强迫响应) 2、关于0-和0+值 当系统已经用微分方程表示时，如果包含有
18、(t)及其各阶导数，说明相应的0状态到0状态发生了跳变。,3、零输入响应和零状态响应 自由响应强迫响应；暂态响应+稳态响应；零输入响应零状态响应 4、冲激响应和阶跃响应 5、卷积积分,时域求解响应的方法：,时域经典法：,双零法：,完全解=齐次解 + 特解(用0+值求待定系数),对应齐次解，用初始条件(0-值)求待定系数,全响应=零输入响应 + 零状态响应,冲激响应h(t)对应齐次解，用奇异函数系数平衡法求待定系数,卷积过程可分解为四步： （1）换元： t换为得f1()， f2() （2）反转平移：由f2()反转 f2()右移t f2(t-) （3）乘积： f1() f2(t-) （4）积分： 从到对乘积项积分。,6、卷积积分的性质,1(t)2(t)3(t)=1(t)2(t)3(t),个人观点供参考，欢迎讨论,