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1、一元二次不等式的解法及其应用,一、一元二次不等式解法,利用函数把方程与不等式联系起来，这样我们可以通过对二次函数的研究，来讨论方程的解，根据方程的解进一步来解一元二次不等式。,二次函数、一元二次方程、一元二次不等式是一个有机的整体。,引例.画出函数y=x2-x-6的图象，并根据图象回答： (1).图象与x轴交点的坐标为 , 该坐标与方程 x2 -x-6=0的解有什么关系： 。 (2).当x取 时，y=0？ 当x取 时，y0？ 当x取 时，y0 的 解集为 。 不等式x2 -x-60 的 解集为 。,(-2, 0)，(3, 0),交点的横坐标即为方程的根,x= -2 或 3,x3,-2 x 3,
2、x|x3,x| -2 x 3,一元二次不等式的解集如下表,=b2-4ac, 0,=0, 0,二次函数 y=ax2+bx+c (a 0)的图象,方程ax2+bx+c=0 的根,ax2+bx+c0 的解集,ax2+bx+c0 的解集,有两个不等 实根 x1 x2,有两个相 等实根根 x=x2 = -b/2a,无实根,x|xx2,x|x-b/2a,R,x|x1xx2,例1：解不等式: x22x150,解： =b2-4ac= 22 +4 15 0,方程x22x150的两根为: x3，或x5, 不等式的解集为: x x 3 或x 5。,解一元二次不等式的方法步骤是：,（3）根据图象写出解集,步骤：（1）
3、化成标准形式 (a0)： ax2+bx+c0 或 ax2+bx+c0,（2）求，解方程，画图象；,一般地，当二次不等式所对应的方程有两个不等的实根时，不等式的解集的规律为： a、y同号，解在两边； a、y异号，解在中间。,方法：数形结合,练习1.解不等式4x2-4x+10,解： =0，方程4x2-4x+1=0的 解是x1= x2=1/2,1/2 X,练习2.解不等式-x2+2x-30,解：整理得x2-2x+30，方程x2-2x+3=0 无实解，,X,不等式的解集是 xR|x1/2,原不等式的解集是空集。,练习3.解不等式2x2-3x-20,解： 0，方程2x2-3x-2=0的 解是 x1=-1
4、/2 , x2=2,-1/2 2 X,练习4.解不等式-5x2+6x1,解：整理得，5x2-6x+10，方程5x2-6x+1=0的 解是x1=1/5 , x2=1,1/5 1 X,不等式的解集是 x|x2,原不等式的解集是x|1/5x1,二、二次不等式的简单应用,解法1：(换元法） 设x =t,则t 0原不等式可化为 t2 2t150 由例1 可知解为t5或t3 t 0 不等式的解集为tt5 x5 原不等式的解为xx5或x5 。,例2： 解不等式,分析1：不同于x22x150的根本点在于不 等式中含x，由于x 2 = x2 ，则可以通过换 元令x =t，将不等式转化为t 22 t 150求解。
5、,x22 x 150,x22x150,解法2：当x0时， 原不等式可化为x2 2x150 则不等式的解为x5或 x3 x0 不等式的解集为xx5 ,当x 0时， 原不等式可化为x2 2x150 则不等式的解为x3或x 5 x0 不等式的解集为xx5 由以上可知原不等式的解为xx5或x5 。,分析2：也可用绝对值定义去掉绝对值将不等式转化为不含绝对值的求解。,例2：解不等式: x22x150,例3 . 已知一元二次不等式a x2 bx+60 的解集为x 2 x3, 求ab的值.,解：由条件可知 ： 方程a x2 bx+60的根2，3 又解在两根之间;,分析:二次不等式的解是通过二次方程的根来确定
6、的，,a0, 6 /a 2 3 6 a1 b /a 231 b1 则ab2,由此可以理解为 a x2 bx+60 的根为2，3。,例3 . 已知一元二次不等式a x2 bx+60 的解集为x 2 x3, 求ab的值.,另解：由条件可知 ： 方程 a x2 bx+60的根2、3 ， 代入方程可得：,则ab2,例4、已知集合A=x x2 (a+1)x+a0 , B=x1x3，若AB=A , 求实数a取值范围。,解：A B=A，则 A B,若a1 ， 则A x 1xa ，,若a1 ， 则 A x a x 1 ，,a取值范围是1a3,则 1 a3,那么, A不可能是B的子集 ；,分析: 观察不难发现：
7、a、1是 x2 (a+1)x +a=0的根.,若a1 ， 则A 1 ，满足条件 ; a 1,例5. 函数f(x)= lg(kx2 6kx+k+8） 的定义域为R , 求k的取值范围,解：f(x)= lg(kx2 6kx+k+8） 的定义域为R ,即=(6k)24k(k+8) =32k232 0 0 k 1,分析：令u= kx2 -6kx+k+8,对任意的x，u= kx2-6kx+k+8的值恒大于0,函数u= kx2-6kx+k+8的图象恒在x轴的上方,函数f(x) 的定义域为R, k 0,当k=0时，f(x)=lg8 满足条件.,当k 0时，只要 0,f(x)的定义域为R时， k的取值范围为,
8、变式：函数f(x)= lg(kx2 6kx+k+8）的值域为 R , 求k的取值范围。,思考,例6:,三、小结：,四、作业：,一元二次不等式的简单应用,一元二次不等式的解法;,1、若A=x1x1， B=x | x2 + (a+1)x +a0，若AB=B，求a的取值范围。 2、函数的f(x)= 定义域为R求a的取值范围。 3、求函数y= x2+2ax3 ，x 0,2的最值。,4. 设函数f(x)=lg(ax2-4x+a-3),(1). 若f(x)的定义域是R,求a的取值范围. (2). 若f(x)的值域是R,求a的取值范围. (3). 若f(x)在区间 -4 , -1 上递减,求a的取值范围.,
9、解：令u(x)=ax2-4x+a-3,(1) xR,则有ax2-4x+a-30对一切实数都成立, a4,判别式=(-4)2-4a(a-3)=4(4+3a-a2),解(2) f(x)的值域是R, 0a4,则f(x)=lg(ax2-4x+a-3)的值域是R, a的取值范围是，,4. 设函数f(x)=lg(ax2-4x+a-3),(1). 若f(x)的定义域是R,求a的取值范围. (2). 若f(x)的值域是R,求a的取值范围.,又a=0时，4x-30, x ,解(3) f(x)在区间-4 , -1上递减,依题意有:, 当a0时,解得a0, 当a0时, 当a=0时,u(x)=-4x-3递减,且u(-1)=10., a的取值范围是,4. 设函数f(x)=lg(ax2-4x+a-3),(3). 若f(x)在区间 -4 , -1 上递减,求a的取值范围.,