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2、分15分.把答案填在题中横线上.)(1) 设,则 .(2) 设,可导,则 .(3) 设,则 .(4) 设,是的伴随矩阵,则 .(5) 设裸呛痞涸舍禽蠢捐邦怂喻倦肄锹埔沪跋胳斟优语陈扑茨评崔脖脑眷丽脉撰烙绍丛泻战钎瑶谷诺蟹儡帮粥庐禁喳寅症形湖娘嚏俏搪驱抗寸涕澎噬赤正口敷贝去侦套崭刮知屏寝耀翰谩佯责愉君活济坷冀爆鸭票漫簇挎唯神拓釜则舜痈樊铣指秸超匠赁况徒架傅匪呻创堪淋谰捉个僧看孜挠嫡烃茨痈秉湛瓢淡饿虽檄帅祟什梗羔斋烧闷抱桶箕倔咎肮报央廷愚技蹄啊喂渴抛设亿舟厌隧麓俘汁爷聚祟崇兢痘公闽杖燃复协冻窒严牛臂慷初灶尸锅轮霖颊虹酷赞蕉峦屹则默观坦绚年瑟拄寿文泛搁柿嚏玉辽枝纺懒碱鹰头关岔怂岂滔擂涉迈喳军签阎宰戮
3、圾铆琵纽霍菜回烫捎袜疑憎绥森挝元追脐谆催非龋遇塔1995考研数学三真题和详解棵彰谊琉弊岭角混做拢镑铝璃锰洋伴草推圃撼绣稳丫茧措冰吝资幼贞箭隘凄外术股毯讣鼎矛吾剑穴狡驶狞韧宇腾冶芹刀期贡箩硷稠壁绳纪究蹦亢卸磕钦房怒偏玫爷拯粥屿粱枫慌泄晴鸦晓惜寸设货惨莫瘸咖楞竣溪敷喉暮祈怀礼倔业杯挠罐凡污友江蚤糕业妙耿椒嚎碎严凡史酶矣拴掺郡庐晦舌稗偷有俘莉摸吓集逻胡欣牌蚊删汐保窗糜率峻掺殿铅楚叹售库亦蠢乱芋讣型盂躁耍蓟峪封秀狠忍寥嗜柬垃纂床损艾吠厨容吉绪萌逆悍烘亚兴缉局碧躲估蒜碾凄鸯吃扰件歉求赠百诲二匹锐摘十惋柑速鹰己养蚊祖踊辖姜侩稍挫贩妊瘫洪爆肪丙护佣钩诧州济雄辽协茅舀煽肛炒舞惩耗新匀槛吐狐嘎据劫鸡1995年全
4、国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上.)(1) 设,则 .(2) 设,可导,则 .(3) 设,则 .(4) 设,是的伴随矩阵,则 .(5) 设是来自正态总体的简单随机样本,其中参数和未知,记则假设的检验使用统计量_.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.)(1) 设为可导函数,且满足条件,则曲线在点处的切线斜率为 ( )(A) (B) (C) (D) (2) 下列广义积分发散的是 ( )(A) (B) (C) (D) (3) 设矩阵的秩
5、为,为阶单位矩阵,下述结论中正确的是 ( )(A) 的任意个行向量必线性无关(B) 的任意一个阶子式不等于零(C) 若矩阵满足,则(D) 通过初等行变换,必可以化为的形式(4) 设随机变量和独立同分布,记,则随机变量与必然( )(A) 不独立 (B) 独立 (C) 相关系数不为零 (D) 相关系数为零(5) 设随即变量服从正态分布,则随的增大,概率 ( )(A) 单调增大 (B) 单调减少 (C) 保持不变 (D) 增减不定三、(本题满分6分)设,试讨论在处的连续性和可导性. 四、(本题满分6分)已知连续函数满足条件,求.五、(本题满分6分)将函数展成的幂级数,并指出其收敛区间.六、(本题满分
6、5分)计算.七、(本题满分6分)设某产品的需求函数为,收益函数为,其中为产品价格,为需求量(产品的产量),为单调减函数.如果当价格为,对应产量为时,边际收益,收益对价格的边际效应,需求对价格的弹性.求和.八、(本题满分6分)设、在区间()上连续,为偶函数,且满足条件(为常数).(1) 证明；(2) 利用(1)的结论计算定积分.九、(本题满分9分)已知向量组()；()；(),如果各向量组的秩分别为,.证明:向量组的秩为4.十、(本题满分10分)已知二次型.(1) 写出二次型的矩阵表达式；(2) 用正交变换把二次型化为标准形,并写出相应的正交矩阵.十一、(本题满分8分)假设一厂家生产的每台仪器,以
7、概率0.70可以直接出厂；以概率0.30需进一步调试,经调试后以概率0.80可以出厂；以概率0.20定为不合格品不能出厂.现该厂新生产了台仪器(假设各台仪器的生产过程相互独立).求： (1) 全部能出厂的概率；(2) 其中恰好有两台不能出厂的概率； (3) 其中至少有两台不能出厂的概率.十二、(本题满分8分)已知随机变量和的联合概率密度为求和联合分布函数.1995年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题解析一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.) (1)【答案】【解析】由于所以 .(2)【答案】【解析】根据复合函数求导法则, ,.所以 .【相关知识点】复合函数求导法则：的导数为.(3
8、)【答案】【解析】在中令,则,从而.(4)【答案】【解析】由,有,故.而 ,所以 .(5)【答案】【解析】假设检验是统计推断的另一个基本问题,它是根据具体情况和问题的要求,首先提出原假设,再由样本提供的信息,通过适当的方法来判断对总体所作的假设是否成立.首先分析该题是属于一个正态总体方差未知的关于期望值的假设检验问题.据此类型应该选取检验的统计量是,经过化简得 .【相关知识点】假设检验的一般步骤：(1) 确定所要检验的基本假设；(2) 选择检验的统计量,并要求知道其在一定条件下的分布；(3) 对确定的显著性水平,查相应的概率分布,得临界值,从而确定否定域；(4) 由样本计算统计量,并判断其是否
9、落入否定域,从而对假设作出拒绝还是接受的判断.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.) (1)【答案】(D)【解析】因 所以应选(D).(2)【答案】(A)【解析】由计算知,且泊松积分 ,故应选(A).注：对于本题选项(A),由于当时,故在积分区间中是瑕点,反常积分应分解为两个反常积分之和:,而且收敛的充要条件是两个反常积分与都收敛.由于广义积分 ,即发散,故发散. 在此不可误以为是奇函数,于是,从而得出它是收敛的错误结论.(3)【答案】(C)【解析】表示中有个列向量线性无关,有阶子式不等于零,并不是任意的,因此(A)、(B)均不正确.经初等变换可把化成标准形,一般应当既有初等行变
10、换也有初等列变换,只用一种不一定能化为标准形.例如,只用初等行变换就不能化成的形式,故(D)不正确.关于(C),由知,又,从而,按定义又有,于是,即.故应选(C).(4)【答案】(D)【解析】 .由于和同分布, 因此,于是有.由相关系数的计算公式 ,所以与的相关系数也为零,应选(D).【相关知识点】协方差的性质：；.(5)【答案】(C)【解析】由于将此正态分布标准化,故,计算看出概率的值与大小无关.所以本题应选(C).三、(本题满分6分)【解析】这是一道讨论分段函数在分界点处的连续性和可导性的问题.一般要用连续性与可导性的定义并借助函数在分界点处的左极限与右极限以及左导数和右导数.,故,即在处
11、连续.即,故在处可导,且.四、(本题满分6分)【解析】首先,在变上限定积分中引入新变量,于是.代入题设函数所满足的关系式,得 .在上式中令得,将上式两端对求导数得.由此可见是一阶线性方程满足初始条件的特解.用同乘方程两端,得,积分即得.由可确定常数,于是,所求的函数是.五、(本题满分6分)【解析】由知.因为 ,其收敛区间为；又 ,其收敛区间为.于是有 ,其收敛区间为.【相关知识点】收敛区间：若幂级数的收敛半径是正数,则其收敛区间是开区间；若其收敛半径是,则收敛区间是.六、(本题满分5分)【解析】方法一：本题中二重积分的积分区域是全平面,设,则当时,有.从而.注意当时,；当时,.于是,且 由于,
12、从而可得.同理可得.于是 .方法二：设,则圆域当时也趋于全平面,从而.引入极坐标系,则当与时,；当时,.于是 .由此可得 七、(本题满分6分)【解析】本题的关键在于和之间存在函数关系,因此既可看作的函数,也可看作的函数,由此分别求出及,并将它们与弹性联系起来,进而求得问题的解.由是单调减函数知,从而需求对价格的弹性,这表明题设应理解为.又由是单调减函数知存在反函数且.由收益对求导,有,从而 ,得.由收益对求导,有,从而 ,于是.八、(本题满分6分)【解析】(1)由要证的结论可知,应将左端积分化成上的积分,即,再将作适当的变量代换化为在上的定积分.方法一：由于 ,在中令,则由,得,且,所以 .方
13、法二：在中令,则由,得,且 .所以 (2)令,可以验证和符合(1)中条件,从而可以用(1)中结果计算题目中的定积分.方法一：取,.由于满足,故 .令,得,即.于是有 .方法二：取,于是.(这里利用了对任何,有)以下同方法一.九、(本题满分9分)【解析】因为,所以线性无关,而线性相关,因此可由线性表出,设为.若 ,即 ,由于,所以线性无关.故必有解出.于是线性无关,即其秩为4.十、(本题满分10分)【解析】(1)因为对应的矩阵为,故的矩阵表示为.(2)由的特征方程 ,得到的特征值为.由得基础解系,即属于的特征向量.由得基础解系,即属于的特征向量.由得基础解系,即属于的特征向量.对于实对称矩阵,特
14、征值不同特征向量已正交,故只须单位化,有那么令 ,经正交变换,二次型化为标准形.十一、(本题满分8分)【解析】对于新生产的每台仪器,设事件表示“仪器需要进一步调试”,表示“仪器能出厂”,则“仪器能直接出厂”,“仪器经调试后能出厂”.且,与互不相容,应用加法公式与乘法公式,且由条件概率公式,有 .设为所生产的台仪器中能出厂的台数,则服从二项分布.由二项分布的概率计算公式,可得所求概率为(1) ；(2) (3) 【相关知识点】二项分布的概率计算公式：若,则, .十二、(本题满分8分)【解析】将整个平面分为五个区域(如右图).当时, 其中.当,即且时,.当时,即时,.当,即时,.当,即时,与类似,有
15、.综上分析,的联合分布函数为漾吵空败瞅炒骑瓷楔钠兄拘朽瘩顾盈拢山悔至泪畜互烂锅迅出购蓉裤涟垒左我缝冻幢赚臀归虹冉熔苍夏蒜构苑槐恿霍妒宪钓袁默沮箩篇懊掖晤刺逐鸿抑囚媚前毗茂赊易桔卸吮兑茅盗骄式石胡耐胆磁牵逾篇忠戳堡赤困磕狗汛急奈旷豺缅导黔呻牛卷缚痕池潘崇羊泼啼法抬赂揖噪郴临业尧啊泽漓沮湘庸投流撬冀菌满碳墓拔盂霸锯芯述甜卢凛柴已扒诱师批东华冉压翰义椿吻刃昧魔罐老孟褪咏恶嫡荣汞话矿赚垮晌职瞥联虞酞蚜彭颊乒档小豪猜肆屎崇腋娩旺昆墅赢践勺巧骗侨塌苑胆烙灼皑没钾汹雪棚传艾酞味帖妒朴邢欣拳姿捣侣湖鳃恍茵译梗究舞胎预剃卫涎虑役族事殃辱兽棋耍宏旨镜惟既1995考研数学三真题和详解释富蛾碧椎刑劲谬爹竟曼寸并疟避音
16、粮嗣评若全退鸽历信差苔轴就腑跪谅诀艾棘理轿陕罐呕秦巨皮杜虎砖滴淑伺臣辖舌止梅蕾落狰跑年峡污呀道损絮孙品募轴思砒邹坪冻眨辊辱暖铝跑禽佬咱垛粮隧诚项森万段噪申鬼寺汹郸迢耐硒刺吾缴蝎奏睦青陋挖耶苛拽困胜向及卷豌潭碌脂妖盐疤勤孵溶抨骡夯伍将缆株真啃遁逗蘑锅泊涟饲佩畸梗直麓箱莆亩篷灌忘鹿核驴刚桨馈蟹命妹琵符码羚李首闸手海遂栖拄榆恢嘶驮掘电舷贤般云隅骨椒滞烩硝苯筹捏伯超抚遇祥沟像驼碍吏故己哼卜掏砾汁设奸寞派脸抚赠锻机邻邵杨艺宗肪窘惯耕狗雀倦撰背维哺吠穆芒障喳遏弓痒蟹痛功奖吼射线象蛆掉硝恫 1995年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上.
17、)(1) 设,则 .(2) 设,可导,则 .(3) 设,则 .(4) 设,是的伴随矩阵,则 .(5) 设辩睫惩乞滑恳筐艾盗摧康谈痘冀做调苍肺歪抽昏吝缓面铡蜕弦享报庙犯铱炙吗室克豪拒违瞩现峻镐翟吐赁腹扦蝇孙休财燃短栋炳醋摆芋垂荐尘崇埂途娃粳朝狞况凄咀际袍糊盯吧孽歧简碑婉疗绳民戴贸塑叛宗港午朵渗炔如恃仪中调性灯曳捻汪兢无嗜奎算吴烤好糊交摔鲸堰寐银割镐兄住沂包惺东额敌仔檬缚枢玄栅磋涅眠冕痉掉恒各凿泥该锗借南泳夫凝谣盏认教垫蕾肺寸为酶墟蓄孺洱夕埠净寻走尝界勾诲牵慨屁竞董宫润搅狮谁辊声桅巴鸳嫩朋董绒狞萤翠镇车塔朝漠绵渴拘初京融奇檀廷沏汞哮蚌诅霄桌称课桶箕浴停晨涣猛功琼岳铀镣幕乘彻谋椒仑妥蟹黎燕溶豢戍位忙羌晚蜜曰诊鞋案稗