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1、四年级奥数知识点：定义新运算我们学过的常用运算有：+、 - 、等 .如： 2+3=523=6都是 2 和 3，为什么运算结果不同呢 ?主要是运算方式不同，实际是对应法则不同 . 可见一种运算实际就是两个数与一个数的一种对应方法，对应法则不同就是不同的运算 . 当然，这个对应法则应该是对任意两个数，通过这个法则都有一个唯一确定的数与它们对应 . 只要符合这个要求，不同的法则就是不同的运算 . 在这一讲中，我们定义了一些新的运算形式，它们与我们常用的 +，- ，运算不相同 .我们先通过具体的运算来了解和熟悉定义新运算.例 1 设 a、 b 都表示数，规定ab=3a2b，求32，23;这个运算有交换
2、律吗?求 (17 6) 2，17(6 2);这个运算有结合律吗?如果已知4b=2，求 b.分析解定义新运算这类题的关键是抓住定义的本质，本题规定的运算的本质是：用运算符号前面的数的3 倍减去符号后面的数的2 倍 . 解： 3 2= 33 -22=9-4= 523=32-23=6-6=0.第 1页由的例子可知没有交换律.要计算 (17 6) 2， 先计算括号内的数，有：176=317 -2再计算第二步392=339-22=113 ，所以 (17 6) 2=113.对于 17(6 2) ， 同样先计算括号内的数，62=36 -22=14 ，其次1714=317 -214=23 ，所以 17(6 2
3、)=23.由的例子可知也没有结合律. 因为4b=34-2b=12-2b ，那么 12-2b=2 ，解出 b=5.例 2 定义运算为 ab=ab-(a+b) ，求 57，75;求 12(3 4) ，(12 3) 4;这个运算有交换律、结合律吗 ?如果3(5 x)=3 ， 求x.解： 5 7=57 -(5+7)=35-12=23，7 5=75-(7+5)=35-12=23.要计算12(3 4) ，先计算括号内的数，有：34=34-(3+4)=5 ，再计算第二步125=125 -(12+5)=43 ，所以12(3 4)=43.对于 (12 3) 4，同样先计算括号内的数，123=123 -(12+3
4、)=21 ，其次第 2页214=214 -(21+4)=59 ，所以 (12 3) 4=59. 由于ab=ab-(a+b);ba=ba-(b+a)=ab-(a+b)(普通加法、乘法交换律)所以有 ab=ba，因此有交换律.由的例子可知，运算没有结合律.5x=5x -(5+x)=4x-5;3(5 x)=3 (4x -5)=3(4x-5)-(3+4x-5)=12x-15-(4x-2)= 8x- 13那么 8x-13=3解出 x=2.这个运算有交换律和结合律吗?副标题 #e#的观察，找到规律：例 5 x 、 y 表示两个数，规定新运算* 及如下： x*y=mx+ny，xy=kxy，其中m、 n、 k
5、 均为自然数，已知1*2=5 ，(2*3) 4=64，求 (1 2)*3的值 .分析我们采用分析法，从要求的问题入手，题目要求12)*3的值，首先我们要计算12，根据的定义：12=k12=2k，由于k 的值不知道，所以首先要计算出k 的第 3页值 .k 值求出后， l 2的值也就计算出来了， 我们设 12=a. (1 2)*3=a*3 ，按 * 的定义： a*3=ma+3n ，在只有求出 m、n时，我们才能计算 a*3 的值 . 因此要计算 (1 2)* 3 的值，我们就要先求出 k 、m、 n 的值 . 通过 1*2 =5 可以求出 m、n 的值，通过 (2*3) 4=64 求出 k 的值
6、.解：因为1*2=m1+n2=m+2n，所以有 m+2n=5. 又因为 m、n 均为自然数，所以解出：当 m=1， n=2 时：(2*3) 4=(12+23) 4=84=k84=32k有 32k=64，解出 k=2.当 m=3， n=1 时：(2*3) 4=(32+13) 4=94=k94=36k所以 m=l， n=2， k=2.(1 2)*3=(212)*3=4*3=14+23=10.在上面这一类定义新运算的问题中，关键的一条是：抓住定第 4页义这一点不放，在计算时，严格遵照规定的法则代入数值.还有一个值得注意的问题是：定义一个新运算，这个新运算常常不满足加法、乘法所满足的运算定律，因此在没有确定新运算是否有这些规则之前，不能应用这些运算律来解题。第 5页