《二面角的定义.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《二面角的定义.ppt（20页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、,二面角,二面角,一、二面角的定义,从空间一直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角。,二面角,二面角的平面角,角 的平面角,一个平面垂直于二面角,的棱，并与两半平,面分别相交于射线PA、PB,垂足为P，则APB叫做二面,二面角,二、二面角的求法,1、直接法：,二面角的求法,A,B,C,O,cos()=,M,N,三角形ABC在平面N内的射影为BCO 三角形ABC的面积为S，三角形BCO的面积为S射,面积法,例1. 在棱长为a的正方体 ABCDA1B1C1D1中， 求（1）平面C1BD与平面 ABCD所成角的大小； （2）二面角AB1D1C 的大小。,例题分析,P,O,例2.如图，已知P是二面
2、角-AB-棱上一点，过P分别在、内引射线PM、PN，且MPN=60 BPM=BPN=45 ，求此二面角的度数。,C,D,解：,在PB上取不同于P 的一点O，,在内过O作OCAB交PM于C，,在内作ODAB交PN于D，,连CD，可得,COD是二面角-AB-的平面角,设PO = a ，BPM =BPN = 45,CO=a， DO=a， PC a ， PD a,又MPN=60,CD=PC a,COD=90,因此，二面角的度数为90,a,二面角,例3如图P为二面角内一点，PA,PB,且PA=5，PB=8，AB=7，求这二面角的度数。,过PA、PB的平面PAB与 棱 交于O点,PA PA,PB PB,平
3、面PAB,AOB为二面角的平面角,又PA=5，PB=8，AB=7,由余弦定理得,P= 60 AOB=120,这二面角的度数为120,解：,O,二面角,取AB 的中点为E，连PE，OE,O为 AC 中点， ABC=90,OEBC且 OE BC,在RtPOE中， OE ，PO,所求的二面角P-AB-C 的正切值为,例4如图，三棱锥P-ABC的顶点P在底面ABC上的射影是底面RtABC斜边AC的中点O，若PB=AB=1，BC= ，求二面角P-AB-C的正切值。,PEO为二面角P-AB-C 的平面角,在RtPBE中，BE ，PB=1，PE,OEAB ，因此 PEAB,解：,二面角,例5 已知：RtAB
4、C中，AB=AC=a，AD是斜边BC上的高，以AD为折痕使BDC成直角。 求证： 平面ABD平面BDC，平面ACD平面BDC BAC = 60。,证明：, 在图乙中,ADBD，ADDC，,AD平面BDC，,平面ABD平面BDC，, 在图甲中,AB=AC=a，BAC=90。,在图乙中,ABC是等边三角形, BAC=60。,平面ACD平面BDC。,BD=DC=BC/2=2/2,D,B,A,C,A,D,B,C,(甲图）,（乙图）,例6、如图，设E为正方体的边CC1的中点，求平面AB1E和底面A1B1C1D1所成角的余弦值。,AB1E在底面A1B1C1D1上的射影为A1B1C1，故这两个平面所成二面角
5、的余弦值为,A,B,C,D,A1,B1,C1,D1,E,M,A,B,C,A1,B1,C1,例7：在直三棱柱ABC-A1B1C1中，BAC=900，AB=BB1=1，直线B1C与平面ABC成300角，求二面角B-B1C-A的正弦值,N,Q,分析：易知，平面ABC与平面BCC1B1垂直故可由面面垂直的性质来寻找从一个半平面到另一个半平面的垂线。,h=1/32,，,解：由直三棱柱性质得平面ABC 平面BCC1B1，过A作AN 平面BCC1B1，垂足为N，则AN 平面BCC1B1，（AN即为我们要找的垂线）在平面BCB1内过N作NQ棱B1C，垂足为Q，连QA，则NQA即为二面角的平面角。 AB1在平面
6、ABC内的射影为AB，CAAB，CAB1A，AB=BB1=1，得AB1= 。直线B1C与平面ABC成300角，B1CB=300，B1C=2，RtB1AC中，由勾股定理得AC= ，AQ=1。在RtBAC中，AB=1，AC=，得AN= 。 sinAQN= 。即二面角B-B1C-A的正弦值为 。,1、如图，AB是圆的直径，PA垂直圆所在的平面，C是圆上任一点，则二面角P-BC-A的平面角为: A.ABP B.ACP C.都不是,练 习,60,二面角,二、二面角的平面角,一、二面角的定义,从空间一直线出发的两个半,平面所组成的图形叫做二面角,1、定义,2、求二面角的平面角方法,点P在棱上,点P在一个半
7、平面上,点P在二面角内,A,B,A,B,A,B,O,定义法,三垂线定理法,垂面法,二面角,几点说明：,定义法是选择一个平面内的一点（一般为这个面的一个顶点）向棱作垂线，再由垂足在另一个面内作棱的垂线。此法得出的平面角在任意三角形中，所以不好计算，不是我们首选的方法。,三垂线法是从一个平面内选一点（一般为这个面的一个顶点）向另一个面作垂线，再由垂足向棱作垂线，连结这个点和棱上垂足。此法得出的平面角在直角三角形中，计算简便，所以我们常用此法。,垂面法需在二面角之间找一点向两面作垂线，因为这一点不好选择，所以此法一般不用。,以上三种方法作平面角都需写出作法、证明、指出平面角。,间接法是在不易作出平面角时用。在解答题中要先证明射影面积公式，然后指出平面的垂线，射影关系，再用公式,这种方法虽然避免了找平面角，但计算较繁，所以不常用。,二面角的求法,A,B,C,D,AB=AD， BC=CD,已知三个侧面的顶角,求相邻两个侧面所成的角,注意一些全等三角形或相似三角形,如下图：是正方形，是平面外一点，且， 求二面角的大小。,