控制系统的状态空间描述.ppt

1、3.2 3.2 控制系统的状态空间描述控制系统的状态空间描述控制系统的状态空间描述控制系统的状态空间描述现代控制理论描述系统数学模型的方法：内部描述：一阶微分方程（时域）从传递函数的零点、极点分布得出系统定性特性，并已建立起一整套图解分析设计法，至今仍得到广泛成功地应用。电机内部工作原理 利用状态分析法，对系统进行一系列特性分析，来设计状态反馈和输出反馈。经典控制理论的传递函数描述方法的不足之处：系统模型为单输入单输出系统；忽略初始条件的影响；不包含系统的所有信息；无法利用系统的内部信息来改变系统的性能。复杂的时变、非线性、多输入多输出系统的问题，需要用对系统内部进行描述的新方法状态空间分析法

2、状态空间分析法状态空间分析法 以状态向量描述、分析系统性能的方法称为状态空间分析法。它具有下列优越之处：便于在数字计算机上求解；容易考虑初始条件；能了解并利用处于系统内部的状态信息；数学描述简化；适于描述多输入多输出、时变、非线性、随机、离散等各类系统，是最优控制、最优估计、辨识、自适应控制等现代控制系统的基本描述方法。倒立摆控制系统航天器控制系统机器人控制系统导弹控制系统3.2.1 状态向量与状态空间状态向量与状态空间一、状态的定义一、状态的定义 1、定义、定义所谓系统状态，是指在描述对象运动的所有变量中，必定可以找到数目最所谓系统状态，是指在描述对象运动的所有变量中，必定可以找到数目最小

3、的一组变量，它们足以描述对象的全部运动。小的一组变量，它们足以描述对象的全部运动。状态变量状态变量:该变量组中的每个变量称为状态变量。该变量组中的每个变量称为状态变量。2、有关定义的两点说明、有关定义的两点说明1）足以描述系统全部运动的含义：只要确定了这组变量在某一初始时刻）足以描述系统全部运动的含义：只要确定了这组变量在某一初始时刻 的值，并且确定了从这一初始时刻起（的值，并且确定了从这一初始时刻起（）的输入量函数，）的输入量函数，则对象的全部变量在此刻和则对象的全部变量在此刻和（）的运动都唯一确定了。）的运动都唯一确定了。2）数目最小的含义：是指这个变量组中的每个变量都是相互独立的。）数目

4、最小的含义：是指这个变量组中的每个变量都是相互独立的。二、状态向量二、状态向量 若一个系统有若一个系统有n个状态变量：个状态变量：，用这，用这n个状个状态变量作为分量所构成的向量态变量作为分量所构成的向量 ，就称为该系统的状态向量，用，就称为该系统的状态向量，用 表示。表示。三、状态空间三、状态空间 状态空间：所有状态空间：所有n维状态向量的全体便构成了实数域上的维状态向量的全体便构成了实数域上的n维状态空间。维状态空间。状态轨迹：在状态空间中，时间状态轨迹：在状态空间中，时间t是一个参变量，某一时间是一个参变量，某一时间t的状态是状的状态是状态空间中的一个点，而一段时间下状态的集合称为系统在

5、这一时间段的状态空间中的一个点，而一段时间下状态的集合称为系统在这一时间段的状态轨迹，有时也称作相轨迹。态轨迹，有时也称作相轨迹。四、输入向量和输出向量四、输入向量和输出向量 输入向量：将系统的各个输入量看成一个列向量输入向量：将系统的各个输入量看成一个列向量 。：输入量的个数：输入量的个数 输出向量：将系统的各个输出量看成一个列向量输出向量：将系统的各个输出量看成一个列向量 。：输出量的个数：输出量的个数1、系统状态变量的选取不是唯一的，但状态的数目是一定的；、系统状态变量的选取不是唯一的，但状态的数目是一定的；2、系统的状态和系统的输出是两个不同的概念。、系统的状态和系统的输出是两个不同的

6、概念。系统的输出通常有明确的物理含义，是可以测量的；系统的输出通常有明确的物理含义，是可以测量的；系统的状态不一定有物理含义，不一定可以测量；系统的状态不一定有物理含义，不一定可以测量；在线性系统中，输出是系统状态变量中某一个或某几个的线性组合。在线性系统中，输出是系统状态变量中某一个或某几个的线性组合。3.2.2 状态空间表达式状态空间表达式一、状态方程一、状态方程 1、状态方程的定义、状态方程的定义所谓状态方程，就是描述系统的状态之间以及输入和状态之间动态关系的所谓状态方程，就是描述系统的状态之间以及输入和状态之间动态关系的一阶微分方程组。一阶微分方程组。2、状态方程的标准形式、状态方程的

7、标准形式 向量矩阵形式为向量矩阵形式为状态向量状态向量输入向量输入向量 维的函数向量维的函数向量 3、线性定常系统的状态方程、线性定常系统的状态方程 向量矩阵形式为向量矩阵形式为 维的系数矩阵维的系数矩阵 维的系数矩阵维的系数矩阵二、输出方程二、输出方程 1、输出方程的定义、输出方程的定义所谓输出方程，就是描述系统输出量与状态和输入量之间相互关系的代数所谓输出方程，就是描述系统输出量与状态和输入量之间相互关系的代数方程组。方程组。2、输出方程的标准形式、输出方程的标准形式 向量矩阵形式为向量矩阵形式为输出向量输出向量 维的函数向量维的函数向量 3、线性定常系统的输出方程、线性定常系统的输出方程

8、 向量矩阵形式为向量矩阵形式为 维的系数矩阵维的系数矩阵 维的系数矩阵维的系数矩阵三、状态空间表达式（状态空间模型）三、状态空间表达式（状态空间模型）线性定常系统的状态空间模型：将状态方程和输出方程合在一起，即线性定常系统的状态空间模型：将状态方程和输出方程合在一起，即或或四、状态空间模型与传递函数的比较四、状态空间模型与传递函数的比较 G(s)U(s)Y(s)状状 态态 方方 程程 输输 出出 方方 程程 传递函数只能描述系统外部的输入输出关系，并不能反映系统内部状态的传递函数只能描述系统外部的输入输出关系，并不能反映系统内部状态的变化，我们称之为外部描述。变化，我们称之为外部描述。状态空间

9、表达式将输入输出间的信息传递分为两段来描述。第一段是输入状态空间表达式将输入输出间的信息传递分为两段来描述。第一段是输入引起系统内部状态发生变化，用状态方程描述；第二段是系统内部的状态引起系统内部状态发生变化，用状态方程描述；第二段是系统内部的状态变化引起系统输出的变化，用输出方程描述。由此可见，状态空间表达式变化引起系统输出的变化，用输出方程描述。由此可见，状态空间表达式在一定程度上描述了系统内部变量的变化，所以我们称之为内部描述。在一定程度上描述了系统内部变量的变化，所以我们称之为内部描述。较之传递函数，状态空间描述的优点有：较之传递函数，状态空间描述的优点有：3、状态空间分析是一种时域分

10、析方法，可用计算机直接在时域中进行数、状态空间分析是一种时域分析方法，可用计算机直接在时域中进行数值计算。值计算。2、由前面的分析可以看出，对于不同维数的系统，可以采用同一表达方、由前面的分析可以看出，对于不同维数的系统，可以采用同一表达方式来进行描述，由此可见从低维系统得到的结论可以方便地推广到高维系式来进行描述，由此可见从低维系统得到的结论可以方便地推广到高维系统，只是计算复杂一些而已。统，只是计算复杂一些而已。1、可以方便地描述多输入、可以方便地描述多输入多输出系统；多输出系统；五、状态空间模型的结构图五、状态空间模型的结构图 六、状态空间表达式的非唯一性六、状态空间表达式的非唯一性 假

11、设假设 和和 是我们为某一系统选定的两组不同状态变量，是我们为某一系统选定的两组不同状态变量，和和 之间有之间有一一对应的变换关系即可逆变换关系，对于线性系统而言，这种关系就是一一对应的变换关系即可逆变换关系，对于线性系统而言，这种关系就是线性非奇异变换，既线性非奇异变换，既 与与 之间必有关系之间必有关系其中其中 为非奇异常数矩阵为非奇异常数矩阵设以设以 为状态向量时系统的状态空间表达式为为状态向量时系统的状态空间表达式为而以而以 为状态向量时系统的为状态向量时系统的状态空间表达式为状态空间表达式为下面我们来推导两者之间的对应关系。下面我们来推导两者之间的对应关系。设以设以 为状态向量时系统

12、的为状态向量时系统的状态空间表达式为状态空间表达式为 表明，在同一系统中，不同的状态向量所对应的系数表明，在同一系统中，不同的状态向量所对应的系数矩阵之间有相似变换关系。矩阵之间有相似变换关系。例例 试建立下图所示电路网络的状态方程和输出方程。试建立下图所示电路网络的状态方程和输出方程。解：解：（1）描述系统的微分方程为）描述系统的微分方程为选择系统的状态变量为选择系统的状态变量为 ，输入，输入 写成向量矩阵形式为写成向量矩阵形式为输出输出 ，写成向量矩阵形式为，写成向量矩阵形式为 （2）描述系统的微分方程为）描述系统的微分方程为选择系统的状态变量为选择系统的状态变量为 ，输入，输入 写成向量

13、矩阵形式为写成向量矩阵形式为输出输出 ，写成向量矩阵形式为，写成向量矩阵形式为例例 试建立下图所示电路网络的状态方程和输出方程。试建立下图所示电路网络的状态方程和输出方程。3.2.2 状态微分方程的解考虑标量的一阶微分方程用拉氏变换解有：定义矩阵指数函数为：上式也经常写做状态转移矩阵的形式系统的零输入响应为：1.3 传递函数矩阵传递函数矩阵例：系统如下图所示，输入为例：系统如下图所示，输入为 和和 ，输出为，输出为 。解：列写回路的电压方程和节点的电流方程解：列写回路的电压方程和节点的电流方程选取选取 为状态变量，输出为状态变量，输出 ，得系统的状态空间表达式为，得系统的状态空间表达式为设初始

14、条件为零，对上式两端进行拉普拉斯变换，得设初始条件为零，对上式两端进行拉普拉斯变换，得消去消去 并整理得并整理得写成向量矩阵形式为写成向量矩阵形式为其中其中 输入变量的输入变量的Laplace变换象函数变换象函数 输出变量的输出变量的Laplace变换象函数变换象函数 传递函数矩阵传递函数矩阵一、传递函数矩阵一、传递函数矩阵 维输入向量维输入向量 维输出向量维输出向量则对应的系统的传递函数矩阵为则对应的系统的传递函数矩阵为多输入量多输出量的对象常用复线框来表示多输入量多输出量的对象常用复线框来表示二、传递函数矩阵与状态空间表达式之间的关系二、传递函数矩阵与状态空间表达式之间的关系 三、传递函数

15、矩阵的不变性三、传递函数矩阵的不变性 对于一个系统而言，其状态空间表达式不是唯一的，但其传递函数矩阵是对于一个系统而言，其状态空间表达式不是唯一的，但其传递函数矩阵是不变的。不变的。例：求下列系统的传递函数矩阵。例：求下列系统的传递函数矩阵。其中其中解：解：例：求下列系统的传递函数矩阵。例：求下列系统的传递函数矩阵。其中其中解：解：四、组合系统的状态空间表达式和传递函数矩阵四、组合系统的状态空间表达式和传递函数矩阵 1、并联连接、并联连接 2、串联连接、串联连接 3、反馈连接、反馈连接 在反馈连接中，若在反馈连接中，若 则称为单位矩阵反馈（单位反馈）则称为单位矩阵反馈（单位反馈）或直接反馈。或

16、直接反馈。控制器控制器被控被控对象对象1.4 根据系统的微分方程建立状态空间表达式根据系统的微分方程建立状态空间表达式一、微分方程右边输入函数中不含有导数项的情况一、微分方程右边输入函数中不含有导数项的情况 二、微分方程右边输入函数中含有导数项的情况二、微分方程右边输入函数中含有导数项的情况 1.5 根据系统的传递函数建立状态空间表达式根据系统的传递函数建立状态空间表达式一、直接分解（虚拟输出法）一、直接分解（虚拟输出法）实现：由输入输出模型建立状态空间模型的过程称为实现。实现：由输入输出模型建立状态空间模型的过程称为实现。最小实现：维数最小的实现。最小实现：维数最小的实现。本节讨论单输入单输

17、出系统的几种实现方法，即采用分解的方法，将一个本节讨论单输入单输出系统的几种实现方法，即采用分解的方法，将一个n 阶系统分解成阶系统分解成 n 个一阶系统。传递函数的分解有三种方法：直接分解个一阶系统。传递函数的分解有三种方法：直接分解(虚虚拟输出法）、串联分解和并联分解。拟输出法）、串联分解和并联分解。这种方法适用于传递函数的分母和分子多项式没有分解成因式的形式。这种方法适用于传递函数的分母和分子多项式没有分解成因式的形式。引入虚拟输出量引入虚拟输出量 ，按这种方法得到的状态空间模型，通常称为能控标准型。，按这种方法得到的状态空间模型，通常称为能控标准型。二、串联分解二、串联分解 这种方法适

18、用于传递函数已被分解为因式的形式，如这种方法适用于传递函数已被分解为因式的形式，如三、并联分解（部分分式法）三、并联分解（部分分式法）这种方法适用于传递函数的分母多项式已经分解为因式的形式，如这种方法适用于传递函数的分母多项式已经分解为因式的形式，如 1、系统极点两两互异、系统极点两两互异 (1)、根据图、根据图 a 可写出状态方程和输出方程为可写出状态方程和输出方程为 (2)、根据图、根据图 b 可写出状态方程和输出方程为可写出状态方程和输出方程为 2、系统极点有重根、系统极点有重根 例例 已知控制系统的微分方程式为已知控制系统的微分方程式为试写出系统的状态空间表达式。试写出系统的状态空间表达式。解：解：方法一、直接根据微分方程求解方法一、直接根据微分方程求解方法二、根据传递函数求解方法二、根据传递函数求解