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1、压轴题(六)8(2020山东潍坊二模)已知O为坐标原点，双曲线C：1(a0，b0)的右焦点为F，过点F且与x轴垂直的直线与双曲线C的一条渐近线交于点A(点A在第一象限)，点B在双曲线C的渐近线上，且BFOA，若0，则双曲线C的离心率为()A. B C D2答案A解析如图所示，设双曲线的半焦距为c，渐近线方程为yx，则点F(c,0)，A，设点B，BFOA，kOAkBF，即，解得x0，B，.又0，0，即a23b2.c2a2b2，a23(c2a2)，即3c24a2，离心率e.故选A.12(多选)(2020山东济南一模)已知函数f(x)(sinxcosx)|sinxcosx|，下列说法正确的是()Af
2、(x)是周期函数Bf(x)在区间上是增函数C若|f(x1)|f(x2)|2，则x1x2(kZ)D函数g(x)f(x)1在区间0,2上有且仅有1个零点答案AC解析当sinxcosx时，f(x)cos2x，当sinxcosx时，f(x)cos2x，故f(x)为周期函数，A正确；当x时，sinx0)，则p取最小值时，数列an的通项公式为an_.答案43n1解析Snpan1m，Sn1panm(n2)，anSnSn1pan1pan(n2)，pan1(p1)an(n2)，(n2)，又n1时，a1S1pa2m4，a2，.an为等比数列，p0，m4p，pp2 1，当且仅当p，即p时取等号，此时等比数列an的公
3、比3，an43n1.21(2020贵阳6月适应性考试二)已知函数f(x)ex1ln (xa)1.(1)设x1是f(x)的极值点，求a，并求f(x)的单调区间；(2)当a3时，证明f(x)1.解(1)f(x)ex1，由x1是f(x)的极值点知，f(1)0，即10，所以a0.于是f(x)ex1ln x1，定义域为(0，)，且f(x)ex1，函数f(x)ex1在(0，)上单调递增，且f(1)0，因此当x(0,1)时，f(x)0，所以f(x)的单调递减区间为(0,1)，单调递增区间为(1，)(2)证明：当a3，xa时，0xax3，从而ln (xa)ln (x3)，则f(x)1ex1ln (xa)2ex
4、1ln (x3)2，令g(x)ex1ln (x3)2，x(3，)，则g(x)ex1在(3，)上单调递增，且g(1)0，故存在唯一的实数x0(1,0)，使得g(x0)0.当x(3，x0)时，g(x)0，g(x)单调递增从而当xx0时，g(x)取得最小值由g(x0)0得ex010，则ex01，x01ln (x03)，故g(x)ming(x0)e x01ln (x03)2x012，由x0(1,0)知，0，故f(x)1g(x)g(x0)0，即当a3时，f(x)1成立22(2020山东烟台一模)已知椭圆C：1(ab0)过点M(2，)，且焦距为4.(1)求椭圆C的标准方程；(2)设P为直线l：y2上一点，
5、Q为椭圆C上一点，以PQ为直径的圆恒过坐标原点O.求|OP|24|OQ|2的取值范围；是否存在圆心在原点的定圆恒与直线PQ相切？若存在，求出该定圆的方程；若不存在，说明理由解(1)由已知条件得解得a28，b24，所以椭圆C的方程为1.(2)设P(t,2)，Q(x1，y1)，因为以PQ为直径的圆恒过点O，所以x1t2y10，即y1.因为Q点在椭圆上，所以1.将y1代入，得x，y，于是|OP|24|OQ|2(t28)4(xy)t224，tR.因为t224t242022036，当且仅当t24，即t2时，取等号所以|OP|24|OQ|2的取值范围为36，)存在，定圆的方程为x2y24.假设存在满足题意的定圆，则点O到直线PQ的距离为定值因为P(t,2)，Q(x1，y1)，所以直线PQ的方程为(x1t)(y2)(y12)(xt)0，整理可得(y12)x(x1t)yty12x10，所以O到直线PQ的距离d，因为x1t2y10，y1，x，y，所以|ty12x1|2x1|(t28)，又 ，所以d2r，因此，圆x2y24恒与直线PQ相切