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1、压轴题(二)8(2020山东济南二模)在三棱锥PABC中，AB2，ACBC，若该三棱锥的体积为，则其外接球表面积的最小值为()A5 B C D答案D解析AB2，ACBC，故底面三角形外接圆半径为r1，SABCACBC(AC2BC2)1，当且仅当ACBC时等号成立，故VSABCh，故h2，当P离平面ABC最远时，外接球表面积最小，此时，P在平面ABC的投影为AB中点O1，设球心为O，则O在PO1上，故R2(hR)212，化简得到R，对勾函数y在2，)上单调递增，故Rmin，故Smin4R.故选D.12(多选)(2020新高考卷)信息熵是信息论中的一个重要概念设随机变量X所有可能的取值为1，2，n
2、，且P(Xi)pi0(i1,2，n)，i1，定义X的信息熵H(X)ilog2pi()A若n1，则H(X)0B若n2，则H(X)随着p1的增大而增大C若pi(i1,2，n)，则H(X)随着n的增大而增大D若n2m，随机变量Y所有可能的取值为1,2，m，且P(Yj)pjp2m1j(j1,2，m)，则H(X)H(Y)答案AC解析对于A，若n1，则i1，p11，所以H(X)(1log21)0，所以A正确；对于B，若n2，则i1,2，p21p1，所以H(X)p1log2p1(1p1)log2(1p1)，当p1时，H(X)，当p1时，H(X)，两者相等，所以B错误；对于C，若pi(i1，2，n)，则H(X
3、)nlog2log2n，则H(X)随着n的增大而增大，所以C正确；对于D，若n2m，随机变量Y的所有可能的取值为1,2，m，且P(Yj)pjp2m1j(j1,2，m)H(X)ilog2piilog2p1log2p2log2p2m1log2p2mlog2.H(Y)(p1p2m)log2(p2p2m1)log2(pmpm1)log2p1log2p2log2p2m1log2p2mlog2，因为pi0(i1,2，2m)，所以，所以log2log2，所以pilog2pilog2，所以H(X)H(Y)，所以D错误故选AC.16(2020江苏南京金陵中学、南通海安高级中学、南京外国语学校高三下学期第四次模拟
4、)在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，其外接圆半径为R.已知c1，且ABC的面积S2R2sin(BA)sin(BA)，则a的最小值为_答案解析由S2R2sin(BA)sin(BA)，得absinC2R2sin(BA)sin(BA)，又由a2RsinA，b2RsinB，得sinAsinBsin(BA)，所以sinAsinBsinBcosAcosBsinA，所以sinA(sinBcosB)sinBcosA，所以tanA，又，c1，所以a，将tanA代入，得a，当sinB2cosBsin(B)(tan2)取最大值时，a的最小值为.21(2020湖南衡阳二模)已知函数f(x)xln (x1
5、)ax.(1)若a0，故f(x)在(1，)上单调递增f(0)a0时，0，令ln (x1)a0，得xea1，可知f(ea1)0，由零点存在定理知，在(0，ea1)上必存在一个变号零点x0，即极小值点且ln (x01)a，极小值f(x0)x0ln (x01)a0，命题得证(2)依题意，g(x)cosx，f(0)ag(0)1，m4，x0，3sinx3sinx，不妨先证明xln (x1)x3sinx，g(x)sinx在x0处的切线方程为yx.构造函数h(x)xsinx，h(x)1cosx0，x0，h(x)单调递增，h(x)h(0)，xsinx，不妨先证xln (x1)x3x，等价于证明ln (x1)2
6、0，构造函数k(x)ln (x1)2，k(x)0，故有x0，k(x)单调递增，k(x)k(0)0，由不等式的传递性，可知命题得证22(2020山东青岛二模)已知O为坐标原点，椭圆C：1(ab0)的离心率为，双曲线y21的渐近线与椭圆C的交点到原点的距离均为.(1)求椭圆C的标准方程；(2)若点D，M，N为椭圆C上的动点，M，O，N三点共线，直线DM，DN的斜率分别为k1，k2.()证明：k1k2；()若k1k20，设直线DM过点(0，m)，直线DN过点(0，n)，证明：m2n2为定值解(1)设椭圆的半焦距为c，由题意，知e ，a2b，双曲线y21的渐近线方程为yx，可设双曲线的渐近线与椭圆C在第一象限的交点为P(2t，t)，解得t2.P(2t，t)在椭圆上，1，即1，由解得a2，b1，椭圆C的标准方程为y21.(2)证明：由题意，知M，N关于原点对称，则可设D(x1，y1)，M(x2，y2)，N(x2，y2)()点D，M在椭圆C上，y1，y1，y1，y1，k1k2.()不妨设k10，k20，k1k2，k1k20，k1，k2，直线DM过点(0，m)，直线DN过点(0，n)，直线DM：yxm，直线DN：yxn，由得x22mx2m220，x1x22m22，由得x22nx2n220，x1x22n22，x1x2(x1x2)2m22n240，即m2n22，m2n2为定值2.