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1、2019 福建中考数学试题分类解析汇编专项10- 四边形注意事项 ：认真阅读理解，结合历年的真题，总结经验，查找不足！重在审题，多思考，多理解！无论是单选、多选还是论述题，最重要的就是看清题意。在论述题中， 问题大多具有委婉性， 尤其是历年真题部分，在给考生较大发挥空间的同时也大大增加了考试难度。考生要认真阅读题目中提供的有限材料，明确考察要点， 最大限度的挖掘材料中的有效信息，建议考生答题时用笔将重点勾画出来，方便反复细读。 只有经过仔细推敲，揣摩命题老师的意图，积极联想知识点，分析答题角度，才能够将考点锁定，明确题意。专题 10：四边形一、选择题1. 福建莆田4 分 如图，在矩形 ABCD
2、中，点 E 在 AB边上，沿 CE折叠矩形 ABCD，使点 B落在 AD边上的点 F 处，假设 AB=4， BC=5，那么 tan AFE的值为A、 4B、 3C、 3D、 43545【答案】 C。【考点】 翻折变换折叠问题 ，矩形的性质，勾股定理，锐角三角函数的定义。【分析】 四边形ABCD是矩形，A= B= D=90， CD=AB=4， AD=BC=5。由折叠的性质得： EFC= B=90， CF=BC=5， AFE+ DFC=90， DFC+ FCD=90。 DCF=AFE。在 Rt DCF中， CF=5， CD=4， DF= CF2 - CD252 - 423tan AFE=tan D
3、CF=DF3。应选 C。DC4【二】填空题1. 福建福州 4 分 如图，直角梯形 ABCD中， AD BC， C=90，那么 A+ B+ C=度、【答案】 270。【考点】 直角梯形的性质，平行线的性质，【分析】 根据平行线的性质得到 A+ B=180，由 C=90，相加即可求出答案： A+ B+ C=180 +90 =270。2. 福建三明 4 分 如图， ABCD中，对角形 AC， BD相交于点 O，添加一个条件，能使ABCD成为菱形、你添加的条件是不再添加AD辅助线和字母O【答案】 AB=BC答案不唯一 。【考点】 平行四边形的性质，菱形的判定。【分析】 菱形的判定方法有三种：定义：一组
4、邻边相等的平行四边形CB是菱形；四边相等；对角线互相垂直平分的四边形是菱形。所以（第 14题）AB=BC或 AC BD等。3. 福建龙岩 3 分 如图，菱形 ABCD周长为 8 、 BAD=60，那么 AC= cm。【答案】 2 3 。【考点】 菱形的性质，锐角三角函数，特殊角的三角函数值。【分析】 菱形 ABCD周长为 8cm、 BAD=60 AOB为直角三角形，AB=2， OAB=30， OA=OC。 OA=OA sin OAB=323 。 AC=2 3 。2【三】解答题1. 福建福州 12 分，矩形 ABCD中， AB=4cm，BC=8cm，AC的垂直平分线 EF分别交 AD、 BC 于
5、点 E、 F，垂足为 O、 1如图 1，连接 AF、CE、求证四边形 AFCE为菱形，并求 AF 的长； 2如图 2，动点 P、Q分别从 A、C两点同时出发，沿 AFB和 CDE各边匀速运动一周、即点 P 自 A F B A 停止，点 Q自 C DE C 停止、在运动过程中，点 P 的速度为每秒5cm，点 Q的速度为每秒4cm，运动时间为t 秒，当 A、 C、 P、 Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，求t 的值、假设点P、Q的运动路程分别为a 、 b ( 单位 : cm , ab0 ), ， A、C、 P、 Q四点为顶点的四边形是平行四边形，求a 与 b 满足的数量关系式、【答案】 解： 1
6、证明：四边形 ABCD是矩形， AD BC。 CAD= ACB， AEF= CFE。 EF垂直平分 AC，垂足为 O， OA=OC。 AOE COF ASA。 OE=OF。四边形AFCE为平行四边形。又 EF AC，四边形AFCE为菱形。设菱形的边长AF=CF=xcm，那么 BF= 8 x cm，在 Rt ABF中， AB=4cm，由勾股定理得42+8 x2 =x2，解得 x=5。 AF=5cm。 2显然当 P 点在 AF 上时， Q点在 CD上，此时 A、C、P、Q四点不可能构成平行四边形；同理 P 点在 AB上时， Q点在 DE 或 CE上，也不能构成平行四边形、因此只有当 P 点在 BF
7、上、 Q点在 ED上时，才能构成平行四边形。以 A、 C、 P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，PC=QA。点 P 的速度为每秒5cm，点 Q的速度为每秒4cm，运动时间为t 秒， PC=5t， QA=12 4t 。 5t=12 4t ，解得 t= 4 。3以 A、 C、 P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，t= 4 秒。3由题意得，以 A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，点 P、 Q在互相平行的对应边上、分三种情况：i 如图 1，当 P 点在 AF 上、 Q点在 CE上时， AP=CQ，即 a12b , 得 ab12 ；ii如图 2，当 P 点在 BF 上、 Q点在 DE
8、上时， AQ=CP，即 12ba , 得 ab12 ；iii如图 3，当 P 点在 AB上、Q点在 CD上时， AP=CQ，即 12ab , 得 ab12 。综上所述，a 与 b 满足的数量关系式是ab12 ab0 。【考点】 矩形的性质，全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，勾股定理，平行四边形的判定和性质，菱形的判定和性质。【分析】 1先证明四边形AFCE为平行四边形，再根据对角线互相垂直平分的平行四边形是菱形作出判定；根据勾股定理即可求得AF 的长。 2分情况讨论可知，当 P 点在 BF 上、 Q点在 ED上时，才能构成平行四边形，根据平行四边形的性质列出方程求解即可。分三种情况
9、讨论可知 a 与 b 满足的数量关系式。2. 福建泉州12 分 如图，在直角坐标系中，点A 的坐标为 0， 8，点B b， t 在直线 x=b 上运动，点 D、 E、 F 分别为 OB、0A、 AB的中点，其中 b 是大于零的常数、1判断四边形 DEFB的形状、并证明你的结论；2试求四边形 DEFB的面积 S与 b 的关系式；3设直线 x=b 与 x 轴交于点 C，问：四边形 DEFB能不能是矩形？假设能、求出 t 的值；假设不能，说明理由、【答案】 解： 1四边形 DEFB是平行四边形。证明如下： D、E 分别是 OB、 OA的中点， DE AB。同理， EF OB。四边形DEFB是平行四边
10、形。 2 SAOB= 1 8 b=4b，2由 1得 EF OB， AEF AOB， SAEF： SAOB=1： 4，即 S AEF= 1 S AOB=b。4同理 S ODE=b。 S=SAOB SAEFSODE=4b b b=2b，即 S=2b b0。 3以 E 为圆心， OA长为直径的圆记为 E，当直线 x=b 与 E 相切或相交时，假设点 B 是切点或交点，那么由圆周角定理 ABO=90由 1知，四边形DEFB是矩形。此时 0 b 4，可得 AOB OBC， OBOA2，即 OB=OA?BC=8t。22222BCBO。在 Rt OBC中， OB=BC OC=tb t b =8t ，即 t
11、8t b =0，解得 t8644b216b2 。=422222当直线 x=b 与 E 相离即 b 4 时， ABO 90，四边形 DEFB不是矩形。综上所述：当 0 b4 时，四边形DEFB是矩形，这时， t416 b2 ，当b 4 时，四边形 DEFB不是矩形。【考点】 动点问题， 三角形中位线定理，平行四边形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，矩形的判定和性质，直线与圆的位置关系，解一元二次方程，圆周角定理，三角形外角定理。【分析】 1四边形DEFB是平行四边形、利用DE、EF 为 OAB的中位线证明平行四边形。 2根据 DE、 EF为 OAB的中位线可知， S AEF=S O
12、DE= 1 S AOB，利用 S=SAOB-S AEF-S4ODE可求S 与 b 的关系式。 3当 0 b 4 时，假设 ABO=90，四边形 DEFB是矩形， 由 Rt OCB Rt ABO，根据相似比得2222列方程OB=OA?BC，由勾股定理得OB=BC+OC，利用 b、t 分别表示线段的长，求解即可。当 b 4 时，由圆周角定理和三角形外角定理，知 ABO 90，四边形 DEFB不是矩形。3. 福建三明 12 分 如图，在梯形 ABCD中， AD BC， AD=AB，过点 A 作 AE DB交 CB的延长线于点 E、 1求证： ABD= CBD； 2假设 C=2 E，求证： AB=DC
13、；43在 2的条件下， sinC 5，AD 2，求四边形 AEBD 的面积、【答案】 解： 1证明： ADBC， ADB CBD。 AB AD， ADB ABD， ABDCBD。 2证明： AE DB， E CBD。由 1得 ABD CBD， ABC 2 CBD 2E。又 C 2 E， ABC C。在梯形 ABCD中， AB DC。4DF43过 D作 DF BC，垂足为 F，由 sinC ，得。5DC5由 2有 CD AB，又 AB AD2，42CD2， DF 5 。AD BC，AE DB，四边形 AEBD的平行四边形。S428 AD DF 25 5。四边形 AEBD【考点】 平行的性质，等腰
14、梯形的判定和性质，解直角三角形，锐角三角函数定义，勾股定理，平行四边形的判定和性质。【分析】 1由两直线AD BC，推知内错角 ADB= CBD；在 BAD中，根据等边 AB=AD，推知等角 ADB= ABD；所以由等量代换证得ABD= CBD。 2由两直线 AEDB，推知同位角 E=CBD；利用 1的结果、等量代换求得ABC=2 CBD=2 E；根据条件知 ABC= C，最后根据等腰梯形的性质知AB=DC。 3过 D作 DF BC，垂足为 F，构造四边形 AEBD的高、在直角三角形CDF中，利用DF 4；利用 2的结论以及勾股定理求得CD2 ，DF42锐角三角函数值的定义求得5；DC 5最后
15、根据平行四边形的判定定理知四边形AEBD的平行四边形， 再由平行四边形的面积公式，8求得 S 四边形 AEBD=AD?DF=5。4. 福建厦门 8 分 如图，在矩形 ABCD中， E 为 AB的中点、求证： EBC= ECB、E【答案】 证明： ABCD是矩形， A D A= D=90， AB=CD。 E是 AD中点， AE=DE。 ABE DCESAS。 BE=CE。CB BEC是等腰三角形。 EBC=ECB。【考点】 矩形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质。【分析】 要证出 EBC=ECB，只需证明 BEC 是等腰三角形，由此考虑到用ABE DCE进行证明。5. 福建龙
16、岩 10 分 如图，四边形 ABCD是平行四边形， BE、 DF分别是 ABC、 ADC的平分线，且与对角线 AC分别相交于点 E、F。求证： AE=CF 【答案】 证明：平行四边形 ABCD中， AD BC， AD=BC， ACB= CAD、 BE、DF分别是 ABC、 ADC的平分线， BEC= ABE+ BAE=FDC+ FCD= DFA。 BEC DFA ASA。 CE=AF。【考点】 平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质。【分析】 根据角平分线的性质先得出 BEC= DFA，然后再证 ACB= CAD，再证出 BEC DFA，从而得出 CE=AF。6. 福建莆田 8 分 如图、在
17、 ABC中、 D 是 AB的中点、 E 是 CD的中点、过点 C 作 CF AB 交 AE 的延长线于点F、连接 BF。 1 (4 分) 求证： DB=CF； 2 (4 分) 如果 AC=BC、试判断四边彤 BDCF的形状、并证明你的结论。【答案】 解： 1证明： CFAB， DAE= CFE。 DE=CE， AED= FEC， ADE FCEAAS。AD=CF。 AD=DB， DB=CF。 2四边形 BDCF是矩形。证明如下： DB=CF， DB CF，四边形 BDCF为平行四边形。0 AC=BC， AD=DB， CD AB。 CDB=90。四边形BDCF是矩形。【考点】 平行的性质，全等三
18、角形的判定和性质，等腰三角形的性质，矩形的判定。【分析】 1根据 CF AB，可知 DAE= CFE，得出 ADE FCE，再根据等量代换可知DB=CF。 2根据 DB=CF， DBCF，可知四边形 BDCF为平行四边形，再由 AC=BC， AD=DB，根据等腰三角形三线合一的性质得出四边形BDCF是矩形。7. 福建南平 12 分1操作发现：如图 1，在矩形 ABCD中， E 是 BC的中点，将 ABE沿 AE折叠后得到 AFE，点 F 在矩形 ABCD内部，延长AF 交 CD于点 G、猜想线段GF与 GC有何数量关系？并证明你的结论、2类比探究：如图 2，将 1中的矩形ABCD改为平行四边形
19、，其它条件不变， 1中的结论是否仍然成立？请说明理由、【答案】 解： 1猜想线段GF=GC。证明如下：连接EG。 E 是 BC的中点， BE=CE。将 ABE沿 AE折叠后得到AFE， BE=EF。 EF=EC。 EG=EG， C= EFG=90， ECG EFG HL。 FG=CG。 21中的结论仍然成立、证明如下：连接EG，CF。 E 是 BC的中点， BE=CE。将 ABE沿 AE折叠后得到AFE， BE=EF， B= AEF。 EF=EC。 EFC= ECF。四边形 ABCD是平行四边形， B= D。 ECD=180 D， EFG=180 AEF=180 B=180 D。 ECD= EFG。 GFC= GFE- EFC= ECG- ECF= GCF。 FG=CG。【考点】 翻折变换折叠问题 ，全等三角形的判定和性质；角平分线的性质，平行四边形的性质，矩形的性质，等腰三角形的判定和性质。【分析】 1根据翻折的性质得出BE=EF， B= EFA，利用三角形全等的判定得ECGEFG，即可得出答案。2利用平行四边形的性质，首先得出 C=180 D， EFG=180 D，从而得出 ECG=EFG，再利用EF=EC，得出 EFC= ECF，即可得出答案。