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1、寄 语,也不属于有钱人,而是属于有心人.,这个世界,不属于有权人,2,第一节、不定积分概念与基本积分公式,第三节、有理函数和可化为有理函数的不定积分,本章内容：,第二节、换元积分法与分部积分法,第八章,不定积分,二、第二类换元法,第二节,一、第一类换元法,换元积分法与分部积分法,第8章,三、分部积分法,第二类换元法,第一类换元法,基本思路,设,可导,则有,一、第一类换元法,定理1.,则有换元,公式,(也称配元法,即, 凑微分法),例1. 求,解: 令,则,故,原式 =,注: 当,时,例2. 求,解:,令,则,想到公式,例3. 求,想到,解:,(直接配元),例4. 求,解:,类似,例5. 求,解
2、:, 原式 =,常用的几种配元形式:,万能凑幂法,例6. 求,解: 原式 =,例7. 求,解: 原式 =,例8. 求,解: 原式 =,例9. 求,解法1,解法2,两法结果一样,例10. 求,解法1,解法 2,同样可证,或,例11. 求,解: 原式 =,例12 . 求,解:,例13. 求,解:,原式 =,例14. 求,解: 原式=,分析:,例15. 求,解: 原式,小结,常用简化技巧:,(1) 分项积分:,(2) 降低幂次:,(3) 统一函数: 利用三角公式 ; 配元方法,(4) 巧妙换元或配元,万能凑幂法,利用积化和差; 分式分项;,利用倍角公式 , 如,思考与练习,1. 下列各题求积方法有何
3、不同?,2. 求,提示:,法1,法2,法3,二、第二类换元法,第一类换元法解决的问题,难求,易求,若所求积分,易求,则得第二类换元积分法 .,难求，,定理2 . 设,是可导函数 , 且,具有原函数 ,证:,令,则,则有换元公式,例16. 求,解: 令,则, 原式,例17. 求,解: 令,则, 原式,例18. 求,解:,令,则, 原式,令,于是,原式,例19. 求,解: 令,则,原式,当 x 0 时, 类似可得同样结果 .,小结:,1. 第二类换元法常见类型:,令,令,令,或,令,令,2. 常用基本积分公式的补充,(7) 分母中因子次数较高时, 可试用倒代换,令,解: 原式,例20. 求,例21
4、. 求,解:,例22. 求,解: 原式 =,例23. 求,解: 原式,例24. 求,解: 令,得,原式,例25. 求,解: 原式,令,例16,思考与练习,1. 下列积分应如何换元才使积分简便 ?,令,令,令,2. 已知,求,解: 两边求导, 得,则,(代回原变量),3. 求下列积分:,4.,求不定积分,解：,利用凑微分法 ,原式 =,令,得,分子分母同除以,5.,求不定积分,解:,令,原式,44,由导数公式,积分得:,分部积分公式,或,1) v 容易求得 ;,容易计算 .,三、 分部积分法,45,例1. 求,解: 令,则, 原式,思考: 如何求,提示: 令,则,原式,46,例2. 求,解: 令
5、,则,原式 =,47,例3. 求,解: 令,则, 原式,48,例4. 求,解: 令, 则, 原式,再令, 则,故 原式 =,说明: 也可设,为三角函数 , 但两次所设类型,必须一致 .,49,解题技巧:,把被积函数视为两个函数之积 ,按 “ 反对幂指三” 的,顺序,前者为 后者为,例5. 求,解: 令, 则,原式 =,反: 反三角函数 对: 对数函数 幂: 幂函数 指: 指数函数 三: 三角函数,50,例6. 求,解: 令, 则,原式 =,51,例7. 求,解: 令,则, 原式 =,52,例8. 求,解: 令,则,得递推公式,53,说明:,递推公式,已知,利用递推公式可求得,例如,54,例9.
6、 证明递推公式,证:,注:,或,55,说明:,分部积分题目的类型:,1) 直接分部化简积分 ;,2) 分部产生循环式 , 由此解出积分式 ;,(注意: 两次分部选择的 u , v 函数类型不变 , 解出积分后加 C ),例4,3) 对含自然数 n 的积分, 通过分部积分建立递 推公式 .,56,例10. 已知,的一个原函数是,求,解:,说明: 此题若先求出,再求积分反而复杂.,57,例11. 求,解: 令,则,原式,令,58,例12. 求,解法1 先换元后分部,令,即,则,故,59,解法2 用分部积分法,60,小结,分部积分公式,1. 使用原则 :,2. 使用经验 :,“反对幂指三” , 前 u 后,3. 题目类型 :,分部化简 ;,循环解出;,递推公式,4. 计算格式 :,61,例13. 求,解:,令,则,可用表格法求 多次分部积分,62,例14. 求,解: 令,则,原式,原式 =,63,思考与练习,1. 下述运算错在哪里? 应如何改正?,得 0 = 1,答: 不定积分是原函数族 , 相减不应为 0 .,求此积分的正确作法是用换元法 .,64,2. 求,提示:,65,3.,求不定积分,解：,方法1,(先分部 , 再换元),令,则,66,方法2,(先换元,再分部),令,则,故,67,作业,P189,