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1、江苏省苏中三市（南通泰州扬州）2012 届高三 3 月第一次调研测试2012.03数学（ ?）（正题）一、填空 . 本大 共 10小 ，每小 5 分，共 50 分. 把正确答案填在相 位置 .1在平面直角坐 系中，双曲 的离心率 2若复数 足（ i 是虚数 位）， 3在右 的算法中，最后 出的的 依次是4 一 组 数 据9.8 ， 9.9 ， 10 ， 10.2的 平 均 数 为10 ， 则 该 组 数 据 的 方 差为5 全集，集合， （用列 法表示） 6在平面直角坐 系中，已知向量， 7将甲、 乙两个球随机放入 号 1,2,3 的 3 个盒子中， 每个盒子的放球数量不限， 在 1,2号盒子
2、中各有1 个球的概率 8 P 函数 象上异于原点的 点，且 象在点P 的切 的 斜角 ， 的取 范 是9如 ，矩形 ABCD 的三个 点 A、B、C 分 在函数的 象上，且矩形的 分 平行于两坐 ，若点 A 的 坐 2， 点 D的坐 10 察下列等式：31 ，1339 ，1232333，61332333，00134 1猜想： 132333n3（ n N* ）.11在棱 4 的正方体ABCDA1 B1C1 D1 中， E，F 分 棱 AA1 , D1C1 上的 点，点 G 为正方形 B1 BCC1 的中心， 空 四 形AEFG 在 正方体各个面上的正投影所构成的 形中，面 的最大 12若 a1
3、xsin xa2 x 任意的 x 0, 都成立， a2 a1 的最小 213 如 图 ， 在 平 面 直 角 坐 标 系 xOy 中 ， F1 , F2 分 别 为 椭 圆x2y21(ab 0) 的左、右焦点， B， C 分 的上、a2b2下 顶 点 ， 直 线 BF2 与 椭 圆 的 另 一 个 交 点 为 D ， 若cosF1 BF27 ， 直 CD 的斜率 2514各 均 正偶数的数列 a1 ,a2 , a3 ,a4 中，前三 依次成公差 d( d0)的等差数列，后三 依次成公比 q 的等比数列，若a4a1二、 解答题88，则 q 的所有可能的值构成的集合为. 本大题共2 小题，共 30
4、 分 . 解答时要求写出必要的文字说明、证明过程或推理步骤 .15.在斜三角形ABC 中，角A ，B ， C 的对边分别为a ， b ， c.（1）若2sin A cosCsin B ，求a的值；（2）若sin( 2AB)3sin B ，求ctan A的值 .tan C16.如图，在六面体ABCDA1 B1C1D1 中，AA1 / CC1 ，A1 BA1D ，ABAD.求证：（ 1）AA1BD ；（ 2） BB1 / DD1 .17.将 52 名志愿者分成A ， B 两组参加义务植树活动，A 组种植组种植 200 捆沙棘树苗 .假定 A ， B 两组同时开始种植 .2 小时，种植一捆沙棘树苗用
5、时1（1）根据历年统计，每名志愿者种植一捆白杨树苗用时25小时 .应如何分配 A ， B 两组的人数，使植树活动持续时间最短？（2）在按（ 1）分配的人数种植1 小时后发现，每名志愿者种植一捆白杨树苗仍用时2 小5时，而每名志愿者种植一捆沙棘树苗实际用时2 小时，于是从 A 组抽调6 名志愿者加入 B 组3继续种植，求植树活动所持续的时间.18.如 图 ， 在 平 面 直 角 坐 标 系 xOy 中 ， 已 知 圆 C1 : ( x1)2y 21， 圆C2 : ( x 3) 2( y 4)21.（1）若过点C1( 1,0) 的直线 l 被圆 C2 截得的弦长为6 ，求直线 l 的方程；5（2）
6、设动圆 C 同时平分圆C1 的周长、圆 C2 的周长 .证明：动圆圆心C 在一条定直线上运动；动圆 C 是否经过定点？若经过，求出定点的坐标；若不经过，请说明理由.19.已知函数f ( x)xsin x.（1）设 P ， Q 是函数f (x) 的图象上相异的两点，证明：直线（2）求实数 a 的取值范围，使不等式 f ( x)ax cos x在 0,220.设数列 an 的各项均为正数 .若对任意的 nN ，存在 kN ，使得 an k2an an 2 k 成立，则称数列为“Jk 型”数列 .（1）若数列an是“ J2 ”型数列，且 a28 ， a8 1 ，求 a2n ；（2）若数列an既是“
7、J3 ”型数列，又是“J 4 ”型数列，证明：数列an 是等比数列 .数学（）（附加题）21. 选做题A . 选修 41：几何证明选讲如图， AB 是半圆O 的直径，延长AB 到 C ，使BC3 ，CD 切半圆于点D ，DEAB ，垂足为E ，若AE： EB3: 1，求DE的长 .B . 选修42 ：矩阵与变换在平面直角坐标系xOy 中，直线01y kx 在矩阵对应的变换下得到的直线经过点10P( 4,1) ，求实数 k 的值 .C . 选修 44 ：坐标系与参数方程在极坐标系中，已知圆a sin（ a0 ）与直线cos()1相切，求实数 a 的值 .45 ：不等式选讲4D . 选修已知 a
8、，b， c 满足abc1( a2)(b2)(c2)27.，求证：22. 已知数列 an满足： a11， an 12an（ nN ） .2an 1（1）求 a2， a3 的值；（2）证明：不等式 0 anan1 对于任意的 nN 都成立 .23.如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线的顶点在原点，焦点为F (1,0) ，过抛物线在 x轴上方的不同两点A 、 B 作抛物线的切线AC 、 BD ，与 x 轴分别交于 C 、 D 两点，且 AC与 BD 交于点 M，直线 AD 与 BC 交于点 N .（ 1）求抛物线的标准方程；（ 2）求证： MN x 轴；（3）若直线 MN 与 x 轴的交点恰为F
9、 (1,0) ，求证：直线AB 过定点 .江苏省苏中三市（南通泰州扬州）2012测试数学 讲评建议1考查双曲线的标准方程与几何性质答案：22考查复数的四则运算答案：1 + 2i3考查基本算法语句答案：2， 14考查总体特征数的估计答案：0.025考查集合的运算、一元二次不等式，本题要提醒学生注意审题答案：0 ， 1考查平面向量的数量积 本题可以直接出b = (， ，得a b0，也可以由aa1 b564 2)2得 a2 1 ab 5 ，即 51 a b 5 ，所以 ab 0 答案： 0227考查古典概型答案：298考查导数、基本不等式，倾斜角与斜率的关系y1(3x1) 1233 ，所以2x2ta
10、n 3 ，得 答案：，23239 考查幂、指、对函数的图像与性质以及基本运算能力，基本思路为yAxA xD，yA yBxB xCyCyD ，其中 A、B、C 点坐标分别为(1，(4,2)，1答案： 1 ，1,2)(4,)242410考查合情推理能力和等差数列知识，提醒学生从等号右侧数都为平方数入手寻找发现规n( n2律答案：1)211考查空间几何体知识和空间想象能力，本题源于必修2立体几何章节复习题A1FB1 A1D1 (F) DFD1FC1CEA1B1GGGGEEDCB ADAA (E)BBA（第 11 题）如 ，当 E 与 A1 重合， F 与 B1 重合 ，四 形AEFG 在前、后两个面
11、的正投影的面 最大 12；如 ，当 E 与 A1 重合，四 形AEFG 在左、右两个面的正投影的面 最大 8；如 ，当 F 与 D 重合，四 形AEFG 在上、下两个面的正投影的面 最大 8； 上得，面 最大 12.答案： 1212考 数在研究函数上的 用、三角函数的 象与性 ，由 形可知， 当 原点的直 点， ，12 ；当 原点的直 点，0 的切 ，21取得最小a 取得最大 a值 1； 割 逼近切 的思想方法答案：1213考 的 准方程与几何性 、直 的斜率、二倍角公式， 合性 由cosF1BF27 运用二倍角公式得e 3 ，再由b2kBDkCDbkCD ，得 kCDbc，故255a 2ca
12、2kCDbc12. 提醒学生注意体会和使用“kBDkCDb2” 一重要 答案：12a 225a22514考 数列 合知 解答 程如下：设 a1，a1d ，a12d ，a188 ，其中 a1 ，d 均 正偶数， 则 (a12d) 2( a1d )(a188) ，整理得a4d(22d )0 ，所以 (d22)(3d 88)0 ，即 22d88， d可能 24，13d88326， 28，当 d24 ， a112 ， q5；当 d26 ， a1208 （舍去）；当 d28 ， a1168 ，35q8；7所以 q 的所有可能 构成的集合 5 ，8. 答案：5，8373715考 正、余弦定理、两角和的三角
13、函数， 提醒学生考 “斜三角形” 个条件第 1 小 的解法 可以 ：2sin Acos C sin Bsin( AC)sin A cos Ccos Asin C ，于是 sin Acos C cos Asin C0 ，即 sin( AC) 0 . 3 分因 A， C 三角形的内角，所以A C， ，从而 A C 0 ，所以 a = c，故 a =1.7 分c第 2 小 ，可先用A+B 与 A 求解，最后化 A、 C 的关系16考 直 与平面平行、垂直的判定与性 ，提醒学生要 范 写17考 函数模型及其 用，可以从 和 苗数两个角度考 18考 直 与 的方程、直 与 、 与 的位置关系，考 学生运
14、算能力思路 2： C ： x2y2DxEyF0 （ D 2E24F0 ），易得 C1222 x0 ，： xy圆 C2 ： x2y26x 8 y24 0 ，由 得 ( D 2) x EyF0 ，将 C1 (1，0) 代入得 FD2 ，由得 ( D6) x( E8) yF24 0 ，将 C2(3，4)代入得 ED 6 ，代入得22Dx(D6) yD20 ，xy整理得 (xy2220 ，1)D x y 6 yxy1，x13 2，x13 2，0得2或2由x2y26 y 2 0y 23 2，y23 2，22所以定点的坐 132，232，1 32，2 322222思路 3（几何方法）：利用定点 M 在直
15、C1C2 上， C1C2 的中点 N， 心 C 满足 CC12+12=r 2= CN2+CM2 ， CM 2= CN2 CC12 +1= C1N2+1=9 ， 而得出 （建 堂上不 解）19考 函数的 像与性 ，第 2 小 思路2 依 意得， Q(x) g ( x) f ( x)，ax cos x x sin x x021 当 a0 ， Q(x)0 恒成立； 8 分2 当 a0 ， Q ( x)(a 1)cos xaxsin x1 ，10 分， 上 减， ， Q (x)0 ， Q( x) 在00 a 22所以 Q( x)Q(0) 0 恒成立；12 分a 2 ，注意到当 x， ， x sin x
16、 ，02于是 Q( x)ax cos xx sin x ax cos x 2 xx(a cos x2) ，必存在 x0，使得当 x(0，x) ，有 Q( x )0 ，不能使恒成立 .0200Q(x) 0 上所述， 数a 的取 范 a2 16 分20考 等比数列知 ，第 2 小 思路2：由 知，当n8 ，an6， an3 ，an， an 3， an6 成等比数列；an6， an2 ，an 2， an6 也成等比数列从而当 n8 ， an2 an3an 3 an6 an6（ * ）且 an 6an6 an 2an2 所以当 n8 ， an2 an2an 2，即 an 2ananan2于是当 n9
17、， an 3， an 1，an 1， an 3 成等比数列，从而 an 3an 3 an 1an 1，故由（ *）式知 an2 an 1an 1，即 an 1ananan 1当 n 9 ， qan an 1当 2 m 9 ， m 6 8，从而由（ * ）式知 am 62 amam 12，故 am 72 am1am13，2am 1am 13 ，从而 am 72am 6amam 12于是 am 1q 2q amq因此 an 1q 任意 n 2 都成立an因 a42a1a7，所以 q2 a2a4 a3 a2a4a7a7 a6 a5q3 ，a1a3 a2 a1a1a4a6 a5 a4于是 a2q a1
18、故数列 an 等比数列南通市 2012 届高三第一次调研测试数学 II 讲评建议21【 做 】A 修 4 1：几何 明 本小 主要考 的几何性 等基 知 ，考 推理 能力 分10 分如 ， AB 是半 O 的直径，延 AB 到 C，使 BC3 ，DCD 切半 O 于点 D， DE AB，垂足 E若 AE EB31，求 DE 的 解： 接 AD、 DO、DB 由 AE EB 3 1，得 DO OE2 1又 DE AB，所以DOE 60 ACOEB故 ODB 正三角形 5 分（第 21 A 题）于是DAC30BDC 而ABD60，故C 30BDC 所以 DBBC3 在 OBD 中， DE3 DB3
19、 10 分22B 修 4 2：矩 与 10 分本小 主要考 二 矩 的 等基 知 ，考 运算求解能力 分在平面直角坐 系xOy 中，直 ykx 在矩 01 的 下得到的直 点10P(4, 1) ，求 数 k 的 解： T： xx ， x01xy，即x，y 5 分yyy10yxyx.代入直 ykx ，得 x ky 将点 P(4，1) 代入上式，得 k410 分C 修 4 4：坐 系与参数方程本小 主要考 直 与 的极坐 方程等基 知 ，考 运算求解能力 分10 分在极坐 系中，已知 a sin（ a0 ）与直 cos1 相切，求 数a 的 2解：将 a sin化成普通方程 x2y2ay ，整理，
20、得 x2yaa 224将直 cos1化成普通方程 x y20 6 分a22aa42 210 分由 意，得22 解得21D. (a 2)(b2)(c2)abc 2(ab bcca)4(abc)892(abbcca)4(abc)923 3 ( ab)(bc)( ca)433 abc27.22. 本 （ 2）可由 求出数列 an 的通 公式：（方法 1）因 a11， an 12an( nN* ) ，所以 an0( n N* ) .2an 1于是在 an 12an两 取倒数得 1111 ，整理得an1an 12an2111111an 112 an1 ，而 a1，所以 1n 1，得 1n 111110
21、，an2an2n所以 01111，an 12an故不等式0an an 1 于任意 nN* 都成立（方法 2）由 a11 ， a22 ，a34 ，a48，猜想： an1n 1 (nN* ) 2359112用数学 法 明猜想 明 ：当 n1 ，由（ 1），知 0a1a2 ，不等式成立4 分 当 nk (kN * ) ， 0akak1 成立，6 分 当 nk1 ，由 假 ，知ak 10 2ak12a2ak 1 ak1 2akak 112( aa)ak 2ak 1kk 1k0 ，ak 11 ak 1( ak 11)(ak1)(ak 1 1)(ak1)所以0ak 1ak2 ，即当 nk1 ，不等式成立N
22、 * 成立由，得不等式0anan1 于任意 n10 分23. 解：（ 1） 抛物 的 准方程 y22 px( p0)，由 意，得p1，即 p2 2所以抛物 的 准方程 y24 x 3 分（ 2） A( x1，y1 ) ， B( x2，y2 ) ，且 y10 ， y20 由 y24 x （ y0 ），得 y2x ，所以 y1x所以切 AC 的方程 yy1整理，得yy12( xx1 ) ，且 C 点坐 ( x1，0) 同理得切 BD 的方程 yy2且 D 点坐 ( x2，0) 1( xx1 ) ，即 yy12 ( x x1 ) x1y12( xx2 ) ，由消去 y ，得 xMx1 y2x2 y1 y1y2又直 AD 的方程 yy1( x x2 ) ，x1x2直 BC 的方程 yy2( x x1) x1x2由消去 y ，得 xNx1 y2x2 y1 y1y2所以 xMxN ，即 MNx （ 3）由 意， 设 M (1，y0 ) ，代入（1）中的， 得 y0 y12(1 x1) ， y0 y2所以 A( x1，y1)，B(x2，y2 ) 都 足方程 y0 y 2(1 x) 所以直 AB 的方程 y0 y 2(1 x) 5 分7 分2(1x2 ) 故直 AB 定点 ( 1，0) 10 分本 也可以在 A、 B 两点坐 (4m2 ，4m)，(4n2， 4n)，解得 M、N 的横坐 4mn