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1、第三课三角恒等变换核心速填 (教师用书独具 )1C()cos () cos_cos_?sin_sin_.2S()sin ()sin_cos_cos_sin_.3T()tan ()tan tan .1?tan tan 4二倍角公式2： sin 22sin_cos_.(1)S：cos 2 cos2 22 2(2)C2sin2cos112sin .(3)T22tan ：tan 22 .1tan 5半角公式1cos (1)S2： sin 2 2.1 cos (2)C2： cos 22.1 cos 1 cos sin.(3)T： tansin 221 cos 1 cos6有关公式的逆用及变形(1)tan
2、 tan tan ()(1?tan tan )21cos 221 cos 2(2)cos 2， sin 2.(3)1 sin 2 (sin cos )2，sin cos 2sin4 .7辅助角公式f(x)asin xbcos x2b2asin(x)体系构建 题型探究 第 1页给值求值问题给出某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，解题的关键在于“变角”使其角相同或具有某种关系， 解题的基本方法是： 将待求式用已知三角函数表示 将已知条件转化而推出可用的结论 其中“凑角法”是解决此类问题的常用技巧 解题时首先是分析已知式与待求式之间角、 函数、结构间的差异，有目的的将已知式、 待求式的一方
3、或两方加以变换， 找出它们之间的联系，最后求出待求式的值已知 31104 ， tan tan 3 .(1)求 tan 的值；225sin28sin2cos 211cos 2 8(2)求2sin的值 .2【导学号： 79402144】思路探究 (1)结合 的取值范围，求解 tan 的值； (2)利用降幂公式和诱导公式先统一角，通过三角变换转化成关于tan 的式子代入求值即可解(1)由 tan 1 10，得 3tan2 10tan 30，即 tan 3 或 tan tan 31 3.31又 4 ，所以 tan 3.51 cos 1cos 2 4sin 1128(2)原式 2cos 5 5cos 8
4、sin 1111cos 1622cos 4sin 3cos 4tan 35 2 26 . 2cos 跟踪训练 35331已知 sin4 13，cos 45，且 044，求 cos( )的值 .第 2页【导学号： 79402145】3解04 4 ，3 3 4 4 ， 240.353又 sin 4 13， cos 45，312 cos 4 13.4sin 4 5.3cos()sin 2 sin4 4335312433 sin 4 cos 4 cos 4 sin 4 135 13 5 65.三角函数式的化简与证明三角函数式的化简是三角变换应用的一个重要方面，其基本思想方法是统一角、统一三角函数的名称
5、在具体实施过程中，应着重抓住“角”的统一通过观察角、函数名、项的次数等，找到突破口，利用切化弦、升幂、降幂、逆用公式等手段将其化简三角函数式的证明实质上也是化简，是有方向目标的化简； 根本原则：由繁到简，消除两端差异，达到证明目的1 sin 2cos 2证明： tan .1 sin 2cos 2思路探究 可从左边向右边证明，先把角由2向 转化，再实现函数名称向tan 转化sin 2 1 cos 2解左边sin 2 1 cos 22sin cos 2sin2 sin cos sin 22sin cos 2cos cos cos sin tan 右边跟踪训练 第 3页3xx2sin x2求证： t
6、an2 tan 2cos xcos 2x.证明 2sin xcos xcos 2x3x x2sin 2 23xx3xxcos 2 2 cos 2 23xcosx3xxsin3xsinx2 sin cossin2 3xtan22222tanx.3xx3xx222cos2 cos 2cos2cos 2三角恒等变形的综合应用与三角恒等变形有关的综合问题一般有以下两种类型：(1)以三角恒等变形为主要的化简手段，考查三角函数的性质当给出的三角函数关系式较为复杂，我们要先通过三角恒等变换， 将三角函数的表达式变形化简，将函数表达式变形为 yAsin(x)k 或 yAcos(x)k 等形式，然后再根据化简后
7、的三角函数，讨论其图象和性质(2)以向量运算为载体，考查三角恒等变形这类问题往往利用向量的知识和公式，通过向量的运算， 将向量条件转化为三角条件， 然后通过三角变换解决问题；有时还从三角与向量的关联点处设置问题， 把三角函数中的角与向量的夹角统一为一类问题考查已知向量 a(1，3)，b(sin x，cos x)，f(x)ab.22cossin 1(1)若 f() 0，求2的值；2sin 4(2)当 x0， 时，求函数 f(x)的值域22cos 2 sin 1思路探究 (1)可先由 f() 0 求 tan ，再化简后，由 tan 值2sin4代入求值；(2)先化简成 f(x) Asin(x)的形
8、式，再据 x 范围求 x范围，进而求得f(x)的值域第 4页解(1) a(1，3)， b (sin x， cos x)， f(x) ab sin x 3cos x， f() 0，即 sin 3cos 0， tan 3，22cossin 122sin 4cos sin sin cos 1 tan tan 11 331 2 3.(2)f(x)sin x 3cos x2sin x3， 2 x0 ， x3 3， 3 ，当 x3 3，即 x 0 时，取最小值3， 5当 x3 2，即 x 6 时，取最大值 2， 当 x0， 时，函数 f(x)的值域为 3，2跟踪训练 3已知向量 m(sin A， cos
9、A)，n(3， 1)，且 mn1，且 A 为锐角(1)求角 A 的大小；(2)求函数 f(x)cos 2x4cos Asin x(xR)的值域解(1)由题意得 mn3sin A cos A1，AA ，12sin61 sin62.第 5页 由 A 为锐角得 A 6 6， A 3.1(2)由(1)知 cos A 2，所以 f(x)cos 2x2sin x12sin2x2sin x1 23 2 sin x2 2.因为 xR，所以 sin x 1,1，因此，13当 sin x2时， f(x)有最大值2，当 sin x 1 时， f(x)有最小值 3，3所以所求函数 f(x)的值域为 3，2 .转化与化
10、归的思想三角式的恒等变换是解三角函数问题的方法基础，所谓三角式的恒等变换，就是运用有关概念和公式把给定的三角式化为另一等价形式 转化与化归的思想是三角恒等变换应用最广泛的， 也是最基本的数学思想， 它贯穿于三角恒等变换的始终，要认真体会理解，在解题过程中学会灵活应用412 已知 sin 2 5，cos 213，且 2和 2分别为第二、第三 象限角，求 tan2 的值思路探究 先根据 2，2 的范围求得其正、 余弦再求正切值， 最后由2 2 2求解 4解 sin 2 5，且 2为第二象限角， cos sin2 32215.12又 cos 2 13，且 2为第三象限角，2 5 sin 2 1cos
11、 213.45 tan 2 3，tan 2 12，第 6页 tan 2 tan 2 2 45tan 2 tan 2 3126345 16.1 tan 2 tan 21312跟踪训练 53 4已知 sin cos 5 ， 0， 4 ，sin 4 5， 4，2 .(1)求 sin 和 cos 的值；(2)求 cos 4的值 .【导学号： 79402146】21解 (1)由题意得 (sin cos ) 5，即 1sin 21，5 sin 24 又 0，2，5.22 3 cos 2 1 sin 2 5，21cos 24 cos 25， 0，4 ， cos 2 2 5， 5 51 5 sin 5 5 . (2) 4， 2 ，4 0，4 ， 4 cos 4 5，cos 4 cos 4 cos cos 4 sin sin 4第 7页2 545311 5 5 5 5 5 25 .第 8页