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1、曲边梯形的面积与定积分曲边梯形的面积与定积分 一一. . 定积分的实际背景定积分的实际背景 1. 1. 曲边梯形的概念曲边梯形的概念 (1). (1). 图图中的阴影中的阴影部分类似于一个梯形，但其中一边是曲部分类似于一个梯形，但其中一边是曲 线线 y=f(x) y=f(x) 的一段的一段. . (2). (2). 由直线由直线x=ax=a，x=bx=b (ab)(ab)，y=0y=0和曲线和曲线 y=f(x) y=f(x) 所围成的所围成的 图形称为图形称为曲边梯形曲边梯形. . 还记得还记得“梯形梯形”的面积公式吗的面积公式吗 ？ 怎么怎么求求“曲边梯形曲边梯形”的面积呢的面积呢 ？ 一一
2、. . 定积分的实际背景定积分的实际背景 1. 1. 求求曲边梯形曲边梯形的面积的面积 【提示提示】“ “曲边图形曲边图形” ”与与“ “直边图形直边图形” ”有着密切的联系；它们的主要有着密切的联系；它们的主要 区别在于前者有一条边是区别在于前者有一条边是曲线段曲线段，而后者各边均为，而后者各边均为直线段直线段； (1).(1).如果可以用适当的直线段代替图中的曲线段如果可以用适当的直线段代替图中的曲线段以直代曲以直代曲，就，就 可以可以近似地近似地求出曲边梯形的面积；求出曲边梯形的面积； (2).(2).怎怎样样“ “以直代曲以直代曲” ”才能使所求的面积才能使所求的面积比较精确地比较精确
3、地表示曲边梯形的表示曲边梯形的 面积呢？面积呢？ P 实验说明实验说明：在：在点点 P P 附近附近我们我们可以用这条可以用这条直线直线 l l 来代替的曲线；来代替的曲线； 也就是说：也就是说：在点在点P P附近，曲线可以看作附近，曲线可以看作直线；直线； 即即在很小范围在很小范围内内“ “以以直代直代曲曲” ”可以提高精确度可以提高精确度. . P 放大再放大 P 一一. . 定积分的实际背景定积分的实际背景 1. 1. 求求曲边梯形曲边梯形的面积的面积 观察下面的实验 为实现为实现“ “以直代曲以直代曲” ” 将区间将区间a, ba, b分割成若干个分割成若干个非常小非常小的区间的区间
4、y = f(x) bax y O A1 用一个矩形的面积用一个矩形的面积A A 1 1 近似代替曲边梯形的面积近似代替曲边梯形的面积A A 一一. . 定积分的实际背景定积分的实际背景 1. 1. 求求曲边梯形曲边梯形的面积的面积 A A A A 1 1 差距巨大差距巨大 A A A A 1 1 + + A A 2 2 用两个矩形的面积 近似代替曲边梯形的面积A，得 y = f(x) bax y O A1 A2 一一. . 定积分的实际背景定积分的实际背景 1. 1. 求求曲边梯形曲边梯形的面积的面积 差距很大差距很大 A A A A 1 1 + + A A 2 2 + + A A 3 3 +
5、 + A A 4 4 用四个矩形的面积用四个矩形的面积 近似代替曲边梯形的面积近似代替曲边梯形的面积A A，得，得 y = f(x) bax y O A1A2A3A4 一一. . 定积分的实际背景定积分的实际背景 1. 1. 求求曲边梯形曲边梯形的面积的面积 差距较大差距较大 y = f(x) bax y O 将曲边梯形分成将曲边梯形分成 n n个小曲边梯形，并用小矩阵形的个小曲边梯形，并用小矩阵形的 面积代替小曲边梯形的面积，于是曲边梯形的面积面积代替小曲边梯形的面积，于是曲边梯形的面积A A近近 似为似为A A1+ A2 + + An A1AiAn 当当n n无限增大时，以直代曲无限增大时
6、，以直代曲 无限逼近无限逼近 一一. . 定积分的实际背景定积分的实际背景 1. 1. 求求曲边梯形曲边梯形的面积的面积 比较接近比较接近 一一. . 定积分的实际背景定积分的实际背景 1. 1. 求求曲边梯形曲边梯形的面积的面积 例例1. 1. 求曲线求曲线y=y=x x 2 2 与直线与直线x=1, y=0 x=1, y=0所围成的区域的面积所围成的区域的面积. . (1) (1) 分割分割将区间0,1等分为n个小区间，每个小区间的长度 均为 ，记作 ； (2) (2) 近似替代近似替代过各分点作x轴的垂线，把曲边梯形分割成n 个小曲边梯形，再以小区间的左端点的纵坐标为高，x为 底作n个小
7、矩形，用这些小矩形的面积近似地替代相应的曲 边梯形的面积； (3) (3) 求和求和所有小矩形面积之和等于： (4) (4) 取极限取极限所有小矩形面积之和等于： 基本步骤总结基本步骤总结 一一. . 定积分的实际背景定积分的实际背景 2. 2. 求变力所做的功求变力所做的功 例例2. 2. 弹簧在拉伸过程中，力与弹簧的伸长量成正比，弹簧在拉伸过程中，力与弹簧的伸长量成正比， 即即F(x)=F(x)=kxkx (k(k是常数，是常数，x x是伸长量是伸长量). ). 求弹簧从平衡求弹簧从平衡 位置拉长位置拉长 b b 所做的功所做的功. . 二二. . 定积分的概念定积分的概念 1. 1. 概
8、念概念 二二. . 定积分的概念定积分的概念 2. 2. 关于定积分概念的几点说明关于定积分概念的几点说明 (1) f(x)(1) f(x)叫做被积函数；叫做被积函数； a a、b b分别叫做定积分的下限、上限；分别叫做定积分的下限、上限； x x叫做积分变量；叫做积分变量； f(x)f(x)dxdx叫做被积式；叫做被积式； a, ba, b叫做积分区叫做积分区 间间. . (2) (2) 如果如果f(x)f(x)在在a, ba, b上的定积分存在，则称上的定积分存在，则称f(x)f(x)在在 a,ba,b 上可积；上可积； (3) a, (3) a, b bD D (D (D为为f(x)f(
9、x)的定义域的定义域) )； (4) (4) 定积分定积分 是一个常数，只与是一个常数，只与f(x)f(x)和和 a,ba,b 有关；有关； (5) (5) 各小区间的长度各小区间的长度xx i i 可以不相等可以不相等. . 3. 3. 用定义求定积分的基本步骤用定义求定积分的基本步骤 分割；分割； 近似替代；近似替代； 求和；求和； 取极限取极限. . (化整为零） (以直代曲) (积零为整) (使近似变精确) 三三. . 定积分的性质和运算法则定积分的性质和运算法则( (设 设f(x)f(x)是连续函数是连续函数) ) 三三. . 定积分的几何意义定积分的几何意义 强调：强调：当被积函数式中有当被积函数式中有加减运算加减运算时，必须时，必须加括号加括号. . 三三. . 定积分的几何意义定积分的几何意义 应用定积分的几何意义求下列定积分应用定积分的几何意义求下列定积分