《数学奥林匹克初中训练题(三套,有答案).docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《数学奥林匹克初中训练题(三套,有答案).docx（15页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、数学奥林匹克初中训练题 (1) 第 一 试一. 选择题.(每小题 7 分,共 42 分)( )1.已知a3+b 3 +c 3 -3abc a +b +c=3 ,则 (a -b )2+(b -c )2+( a -b )(b -c )的值为:(A)1 (B)2 (C)3 (D)4( )2.规定” ”为有序实数对的运算,如果( a , b) (c, d ) =( ac +bd , ad +bc ).如果对任意实数a , b都有( a , b )( x , y ) =( a , b ),则( x , y )为:(A)(0,1)(B)(1,0)(C)( -1,0)(D)(0, -1)( )3.在 ABC
2、 中,2 1 1= +a b c,则A:(A)一定是锐角 (B)一定是直角 (C)一定是钝角 (D)非上述答案( )4. 下列五个命题 : 若直角三角形的两条边长为 3 与 4,则第三边长是 5;( a )2=a;若点P ( a , b )在第三象限 , 则点P1( -a, -b +1)在第一象限 ;连结对角线垂直且相等的四边形各边中点的四边形是正方形 ; 两边及其第三边 上的中线对应相等的两个三角形全等.其中正确的命题的个数是:(A)2 个 (B)3 个 (C)4 个 (D)5 个( )5.设 P 为等腰Rt ABC 斜边 AB 上或其延长线上一点,S =AP 2 +BP 2,那么:(A)S
3、2CP2(B)S =2CP2(C)S 2CP2(D)不确定( )6.满足方程x2 +y 2 =2( x +y ) +xy的所有正整数解有:(A)一组 (B)二组 (C)三组 (D)四组二. 填空题.(每小题 7 分,共 28 分)1.一辆客车,一辆货车和一辆小轿车在同一条直线上朝同一方向行驶 ,在某一时刻, 货车在中,客车在前,小轿车在后,且它们的距离相等.走了 10 分钟,小轿车追上了 货车 ; 又走了 5 分钟 , 小轿车追上了客车 .问再过分钟,货车追上了客车.2. 若多项式P =2 a2 -8ab +17 b 2-16 a -4b +2070,那么 P 的最小值是 .3.如图 1, A
4、OB=30O, AOB 内有一定点 P,且 OP=10.在 OA 上有一点 Q,OB 上有一点 R.若 PQR 周长最小,则最小周长是 .4.已知二次函数y =ax 2( a 1)的图象上两点 A,B 的横坐标分别为-1,2,O 是坐标原点,如果 AOB 是直角三角形,则 AOB 的周长为 .第 二 试一 .(20 分 ) 已 知 实 数a, b, c满 足 不 等 式a b +c , b c +a,c a +b, 求a +b +c的值.二.(25 分)如图 2,点 D 在 ABC 的边 BC 上,且与 B,C 不重合,过点 D 作 AC 的平行线 DE 交 AB 于 E,作 AB 的平行线
5、DF 交 AC 于点 F.又知 BC=5.(1) 设 ABC 的面积为 S.若四边形 AEFD 的面积为25S.求BD 长.(2) 若AC =2 AB,且 DF 经过 ABC 的重心 G,求 E,F 两点的距离.三.(25 分)已知定理:”若三个大于 3 的质数a, b, c满足关系式2 a +5b =c,则a +b +c是整数 n 的倍数.” 试问 :上述定理中整数 n 的最大可能值是多少 ?并证明你的结论 .数学奥林匹克初中训练题 (2)第 一 试一. 选择题.(每小题 7 分,共 42 分)( )1.有铅笔,练习本,圆珠笔三种学习用品.若购铅笔 3 支,练习本 7 本,圆珠笔 1 支 共
6、需 3.15 元;若购铅笔 4 支,练习本 10 本,圆珠笔 1 支共需 4.2 元.现购铅笔, 练习本,圆珠笔各 1 件,共需:(A)1.2 元 (B)1.05 元 (C)0.95 元 (D)0.9 元( )2. 三角形的三边a, b, c都是整数 ,且满足abc +bc +ca +ab +a +b +c =7, 则此三角形的面积等于:(A)3 2 3 2(B) (C) (D)2 4 4 2( )3.如图 1, ABC 为正三角形,PMAB,PNAC.设四边形 AMPN, ABC 的周长分别是 m, n,则有:(A)1 m 3 2(B)2 n 5 3mn34(C)80%mnm83% (D)
7、78% 79%n( )4. 满足( x -3)2+( y -3)2=6的所有实数对( x , y ), 使yx取最大值 , 此最大值为:(A)3 +2 2(B)4 + 2(C)5 +3 3(D)5 + 3( )5.设p =37 a +1 +37b +1 +37c +1 +37 d +1.其中a, b, c , d是正实数,且满足a +b +c +d =1.则p满足: (A)p5(B)p5 (C)p2 (D)p3( )6.如图 2,点 O 是正六边形 ABCDEF 的中心,OMCD,N为 OM 的中点.则SABN: SBCN等于:(A)9:5 (B)7:4 (C)5:3 (D)3:2 二. 填空
8、题.(每小题 7 分,共 28 分)1.若实数x , y 满足 ( x +x2+1)( y + y2+1) =1,则x +y =.2.如图 3,CD 为直角 ABC 斜边 AB 上的高,DEAC.设 ADE, CDB, ABC 的周长分别是p , p , p 1 2.当p +p1 2p取最大值时,A= .3. 若函数y =kx2kx +5 +4 kx +3中自变量的取值范围是一切实数,则实数k的取值范围是 .4.如图 4 所示,线段 AB 与 CD 都是O 中的弦,其中AB =108O , AB =a, CD =36 O , CD =b 半径 R= .,则O 的第 二 试一. (共 20 分)
9、 n 是一个三位数, b 是一个一位数,且 最大值与最小值.二. (共 25 分)如图 5,在 ABC 中,A=60O,O, I,H 分别是它的外心 , 内心, 垂心 .试比较 ABC 的外接圆与 IOH 的外接圆的大小,证明 你的论断.a a 2 +b 2 ,b ab +1都是整数,求 a +b 的三.(共 25 分)求方程组 整数解.x +y +z =3 x 3 +y 3 +z 3 =3的所有参考答案一.1.(B)数学奥林匹克初中训练题 (3) 第 一 试三. 选择题.(每小题 7 分,共 42 分)( )1.设a , b是实数,且1 1 1 1 +b- = ,则 等于: 1 +a 1 +
10、b b -a 1 +a(A)1 5 1 + 5 3 - 5(B) (C) 2 2 2(D)3 52( )2.适合于( y -2) x2+yx +2 =0的非负整数对( x , y )的个数是:(A)1 (B)2 (C)3 (D)4( )3.如图 1,凸五边形 ABCDE 内接于半径为 1 的 O,ABCD 是矩形,AE=ED,且 BE 和 CE 把 AD 三等 分.则此五边形 ABCDE 的面积是:(A)3 3 5 3(B) (C) 3 (D)3 2 4( )4.若关于 x 的不等式x +a x -3的解中包含了 ” x a ”,则实数 a 的取值范围是:(A)a -3(B)a -1或a =-
11、3(C)a 1或a =-3(D)a 2或a =-3( )5.如图 2,在 ABC 中,M 是边 AB 的中点,N 是边 AC上的点,且ANNC=2,CM 与 BN 相交于点 K.若 BCK的面积等于 1,则 ABC 的面积等于:(A)3 (B)10 13(C)4 (D)3 3( )6.设a, b, c为实数,且 a 0 ,抛物线 y =ax2+bx +c与x轴交于 A,B 两点,与y轴交于点 C,且抛物线的顶点在直线y =-1上.若 ABC是直角三角形,则 Rt ABC 面积的最大值是:(A)1 (B)3(C)2 (D)3四. 填空题.(每小题 7 分,共 28 分)1.设x是实数,则函数y
12、= x -1 + x -2 -x -3的最小值是.2.方程x 2 +ax +b =0的两根为x , x1 2,且x 3 +x1 23=x 2 +x 2 =x +x , 1 2 1 2,则有序实数组3.若( a , b )共有个.a b a +c = =b +c c +a a +b +2c,则a : b : c =.4.如图 3,正 EFG 内接于正方形 ABCD,其中 E,F,G 分别在边 AB,AD,BC 上,若AE BG=2, 则EB BC=.第 二 试一.(20 分)如图 4,在锐角 ABC 内有一点 P,直线 AP,BP,CP 分别交对边于 Q ,Q ,Q , 且 PQ C= 1 2 3 1PQ A=PQ B.试问:点 P 是否必为 ABC 的垂心? 2 3如果是,请证明;如果不是,请举反例说明.二.(25 分)设 p 为素数, k 是正整数.求证:方程x2+px +kp -1 =0至少有一个整数根k =1的充分必要条件是三.(25 分)是否存在这样的正整数 n ,使得 3n2 +7 n -1 能整除 n 3 +n 2+n +1? 请说明理由.