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1、x =1 +3t ,A BC D2 1kk2019 年北京市高考数学试卷（理科）一、选择题 共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题 目要求的一项。1已知复数 z =2 +i，则 z z =()A 3B 5C3 D52执行如图所示的程序框图，输出的 s值为 ( )A1 B2 C3 D43已知直线 l的参数方程为 (t 为参数），则点(1,0) 到直线 ly =2 +4t的距离是 ( )1 2 4 65 5 5 54已知椭圆x2 y 2+ =1(a b 0) 的离心率为 a 2 b 212，则 ( )Aa2 =2b 2B 3a2 =4b 2C a =2bD
2、 3a =4b5若 x ， y 满足 | x | 1 -y ，且 y-1 ，则 3x +y 的最大值为 ( )A -7B1 C5 D76 在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述两颗星的星等与亮度满足 5 Em -m = lg 1 ，其中星等为 m 的星的亮度为 E ( k =1,2) 已知太阳的星等是 -26.7 ，天 2 E2狼星的星等是 -1.45 ，则太阳与天狼星的亮度的比值为 ( )A1010.1 B10.1 C lg10.1D 10-10.17 设点 A ， B ， C 不共线，则“ AB 与 AC 的夹角为锐角”是“ | AB +AC |BC | ”的 ( )A充分而不必
3、要条件 C充分必要条件B必要而不充分条件 D既不充分也不必要条件8 数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线 C : x 2 +y 2 =1+| x | y 就是其中之一（如 图）给出下列三个结论：曲线 C 恰好经过 6 个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；第 1 页（共 17 页）2曲线 C 上任意一点到原点的距离都不超过 2 ； 曲线 C 所围成的“心形”区域的面积小于 3 其中，所有正确结论的序号是 ( )A B C D 二、填空题 共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分。9函数f ( x) =sin 2 x 的最小正周期是 10设等差数列 a 的前 n 项和为 S ，若a =-3
4、，S =-10 ，则a = ，S 的最小值为 n n 2 5 5 n11 某几何体是由一个正方体去掉一个四棱柱所得，其三视图如图所示如果网格纸上小正方形的边长为 l，那么该几何体的体积为 12已知 l ， m 是平面 a 外的两条不同直线给出下列三个论断： l m ； m / /a ； l a 以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题： 13设函数 f ( x ) =ex+ae-x(a 为常数）若 f ( x ) 为奇函数，则 a =；若 f ( x ) 是 R 上的增函数，则 a 的取值范围是 14 李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、
5、西瓜、桃， 价格依次为 60 元 / 盒、65 元 / 盒、80 元 / 盒、90 元 / 盒为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到 120 元，顾客就少付 x 功后，李明会得到支付款的 80% 当 x =10 时，顾客一次购买草莓和西瓜各 1 盒，需要支付元每笔订单顾客网上支付成元；在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则 x 值为 三、解答题 共 6 小题，共 80 分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。第 2 页（共 17 页）的最大15（13 分）在 DABC 中， a =3 ， b -c =2 ，1cos B =- 2（）求
6、b ， c的值；（）求 sin( B -C ) 的值16 （14 分）如图，在四棱锥 P -ABCD 中， PA 平面 ABCD ， AD CD ， AD / / BC ，PA =AD =CD =2 ， BC =3 E 为 PD 的中点，点 F 在 PC 上，且 （）求证： CD 平面 PAD ；（）求二面角 F -AE -P 的余弦值；PF 1= PC 3（）设点 G 在 PB 上，且PG 2= 判断直线 AG 是否在平面 AEF 内，说明理由 PB 317（13 分）改革开放以来，人们的支付方式发生了巨大转变近年来，移动支付已成为 主要支付方式之一为了解某校学生上个月 A ， B 两种移动
7、支付方式的使用情况，从全校 学生中随机抽取了 100 人，发现样本中 A ， B 两种支付方式都不使用的有 5 人，样本中仅 使用 A 和仅使用 B 的学生的支付金额分布情况如下：支付金额（元 ) 支付方式(0 ， 1000 (1000 ， 2000大于 2000仅使用 A仅使用 B18 人10 人9 人14 人3 人1 人（）从全校学生中随机抽取 1 人，估计该学生上个月 A ，B 两种支付方式都使用的概率； （）从样本仅使用 A 和仅使用 B 的学生中各随机抽取 1 人，以 X 表示这 2 人中上个月支 付金额大于 1000 元的人数，求 X 的分布列和数学期望；（）已知上个月样本学生的支
8、付方式在本月没有变化现从样本仅使用 A 的学生中，随 机抽查 3 人，发现他们本月的支付金额都大于 2000 元根据抽查结果，能否认为样本仅使 用 A 的学生中本月支付金额大于 2000 元的人数有变化？说明理由18（14 分）已知抛物线C : x2=-2py 经过点 (2, -1) （）求抛物线 C 的方程及其准线方程；（）设 O 为原点，过抛物线 C 的焦点作斜率不为 0 的直线 l交抛物线 C 于两点 M ， N ，直线 y =-1分别交直线 OM ， ON 于点 A 和点 B 求证：以 AB 为直径的圆经过 y 轴上的两 个定点19（13 分）已知函数f ( x) =14x3 -x 2
9、 +x （）求曲线 y = f ( x ) 的斜率为 l的切线方程；第 3 页（共 17 页）2（）当 x -2， 4 时，求证： x -6剟f ( x ) x ；（）设 F ( x ) =| f ( x ) -( x +a ) | (a R ) ，记 F ( x ) 在区间 -2 ， 4 上的最大值为 M （a）当M（a）最小时，求 a的值20 （13 分）已知数列 a ，从中选取第 i 项、第 in 1 2项、 、第 im项 (i i i ) 1 2 m，若a a a ，则称新数列 a ， a ， ， a 为 a 的长度为 m 的递增子列规定：数 i i i i i i n1 2 m 1
10、m列 a 的任意一项都是 a 的长度为 1 的递增子列n n（）写出数列 1，8，3，7，5，6，9 的一个长度为 4 的递增子列；（）已知数列 a 的长度为 p 的递增子列的末项的最小值为 a ，长度为 q 的递增子列的n m0末项的最小值为 a 若 p q ，求证： a b 0) 的离心率为 a 2 b 212，则 ( )Aa2 =2b 2B 3a2 =4b 2C a =2bD 3a =4b【思路分析】由椭圆离心率及隐含条件a2=b2+c2得答案【解析】：由题意，c 1 c 1 a -b 1 = ，得 = ，则 = ，a 2 a 2 4 a 2 4 4 a2-4b2=a2，即 3a2=4b
11、2故选： B 【归纳与总结】本题考查椭圆的简单性质，熟记隐含条件是关键，是基础题 5若 x ， y 满足 | x | 1 -y ，且 y-1 ，则 3x +y 的最大值为 ( )A -7B1 C5 D7【思路分析】由约束条件作出可行域，令 z =3 x +y ，化为直线方程的斜截式，数形结合得 到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案【解析】：由 作出可行域如图，y-1联立 ，解得 A(2, -1) ，x +y -1 =0令 z =3 x +y ，化为 y =-3x +z ，由图可知，当直线 y =-3x +z 过点 A 时， z 有最大值为 3 2 -1 =5 故选： C 【归纳与总结】本
12、题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法，是中档题 6 在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述两颗星的星等与亮度满足5 Em -m = lg 1 ，其中星等为 m 的星的亮度为 E ( k =1,2) 已知太阳的星等是 -26.7 ，天 2 E2狼星的星等是 -1.45 ，则太阳与天狼星的亮度的比值为 ( )A1010.1 B10.1 C lg10.1D 10-10.1【思路分析】把已知熟记代入5 E m -m = lg 12 E2，化简后利用对数的运算性质求解第 6 页（共 17 页）5 E10.1 【解析】：设太阳的星等是 m =-26.7 ，天狼星的星等是 m =-1.
13、45 ，1 2由题意可得： -1.45 -( -26.7) = lg 1 ，2 E2E 50.5 E lg 1 = =10.1 ，则 1 =10 E 5 E2 2故选： A 【归纳与总结】本题考查对数的运算性质，是基础的计算题7 设点 A ， B ， C 不共线，则“ AB 与 AC 的夹角为锐角”是“ | AB +AC |BC | ”的 ( )A充分而不必要条件 C充分必要条件B必要而不充分条件 D既不充分也不必要条件【思路分析】“ AB 与 AC 的夹角为锐角” “ | AB +AC |BC | ”，“| AB +AC |BC | ” “ AB 与 AC 的夹角为锐角”，由此能求出结果【解
14、析】：点A ， B ， C 不共线，“ AB 与 AC 的夹角为锐角” “ | AB +AC |BC | ”，“ | AB +AC |BC | ” “ AB 与 AC 的夹角为锐角”， 设点 A ， B ， C 不共线，则“ AB 与 AC 的夹角为锐角”是“| AB +AC |BC | ”的充分必 要条件故选： C 【归纳与总结】本题考查充分条件、必要条件、充要条件的判断，考查向量等基础知识，考 查推理能力与计算能力，属于基础题8 数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线C : x2+y2=1+| x | y 就是其中之一（如图）给出下列三个结论：曲线 C 恰好经过 6 个整点（即横、纵坐
15、标均为整数的点）； 曲线 C 上任意一点到原点的距离都不超过 2 ；曲线 C 所围成的“心形”区域的面积小于 3其中，所有正确结论的序号是 ( )AB C D【思路分析】将 x 图形可得换成 -x方程不变，所以图形关于 y 轴对称，根据对称性讨论 y 轴右边的【解析】：将x换成 -x方程不变，所以图形关于 y 轴对称，当 x =0 时，代入得y2=1 ， y =1，即曲线经过 (0,1) ， (0, -1) ；第 7 页（共 17 页）2115 11n 1当 x 0 时，方程变为y2-xy +x2-1 =0 ，所以 =x2-4( x2-1)0 ，解得x (0 ，2 33，所以 x只能取整数 1
16、，当 x =1 时，y2-y =0 ，解得 y =0 或 y =1 ，即曲线经过 (1,0) ， (1,1)，根据对称性可得曲线还经过 ( -1,0) ， ( -1,1)， 故曲线一共经过 6 个整点，故正确当 x 0 时，由 x2 +y 2 =1 +xy 得 x2 +y 2-1 =xyx2+y22，（当x =y 时取等）， x2+y 2 ，x2+y2 2 ，即曲线 C 上 y 轴右边的点到原点的距离不超过 2 ，根据对称性可得：曲线 C 上任意一点到原点的距离都不超过 2 ；故正确在 x轴上图形面积大于矩形面积 =12 =2 ， x轴下方的面积大于等腰直角三角形的面积1= 2 1 =1 ，因
17、此曲线 C 所围成的“心形”区域的面积大于 2 +1 =3 ，故错误 2故选： C 【归纳与总结】本题考查了命题的真假判断与应用，属中档题 二、填空题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分。9函数f ( x) =sin22 x 的最小正周期是p2【思路分析】用二倍角公式可得1 1f ( x ) =- cos(4 x) + ，然后用周期公式求出周期即可2 2【解析】：f ( x) =sin2(2 x ) ，1 1 p p f ( x) =- cos(4 x ) + ， f ( x) 的周期 T = ，故答案为：2 2 2 2【归纳与总结】本题考查了三角函数的图象与性质，关键是合理使用二倍角公
18、式，属基础题10 设等差数列 a 的前 n 项和为 S ，若 a =-3 ， S =-10 ，则 a =n n 2 5 5为 0 ， S 的最小值 n【思路分析】利用等差数列 a 的前 n 项和公式、通项公式列出方程组，能求出 a =-4，d =1 ，n 1由此能求出 a 的 S 的最小值5 n【解析】：设等差数列 a 的前 n 项和为 S ， a =-3， S =-10 ，n n 2 5a +d =-3 5 4 ，解得 a =-4， d =1 ， a =a +4 d =-4+4 1 =0 ，5a + d =-10 2n (n -1) n (n -1) 1 9 81S =na + d =-4n
19、 + = (n - )2 - ，2 2 2 2 8 n =4 或 n =5 时， S 取最小值为 S =S =-10 故答案为：0， -10 n 4 5【归纳与总结】本题考查等差数列的第 5 项的求法，考查等差数列的前 n 项和的最小值的求第 8 页（共 17 页）法，考查等差数列的性质等基础知识，考查推理能力与计算能力，属于基础题11 某几何体是由一个正方体去掉一个四棱柱所得，其三视图如图所示如果网格纸上小正方形的边长为 l，那么该几何体的体积为 40 【思路分析】由三视图还原原几何体，然后利用一个长方体与一个棱柱的体积作和求解 【解析】：由三视图还原原几何体如图，该几何体是把棱长为 4 的
20、正方体去掉一个四棱柱，则该几何体的体积1V =4 2 2 + (2 +4) 2 4 =40 2故答案为：40【归纳与总结】本题考查由三视图求面积、体积，关键是由三视图还原原几何体，是中档题12已知 l， m 是平面 a 外的两条不同直线给出下列三个论断： l m ； m / /a； l a以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题： 若 l a， l m ，则 m / /a 【思路分析】由 l ， m 是平面 a 外的两条不同直线，利用线面平行的判定定理得若 l l m ，则 m / /a【解析】：由l ， m 是平面 a 外的两条不同直线，知：a ，由线面平行的判定
21、定理得：若l a ，l m ，则m / /a故答案为：若l a ，l m ，则m / /a【归纳与总结】本题考查满足条件的真命题的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置 关系等基础知识，考查推理能力与计算能力，属于中档题13 设函数 f ( x) =ex+ae-x(a 为常数）若 f ( x) 为奇函数，则 a =-1；若 f ( x ) 是 R 上第 9 页（共 17 页）(-x(的增函数，则 a的取值范围是 【思路分析】对于第一空：由奇函数的定义可得 f (-x) =-f ( x ) ，即e-x+aex=-ex+ae-x)，变形可得分析可得 a的值，即可得答案；对于第二空：求出函数的导数
22、，由函数的导数与单调性的关系分析可得f ( x) 的导数f (x) =ex-ae0 在 R 上恒成立，变形可得： a e 2 x 恒成立，据此分析可得答案【解析】：根据题意，函数 f ( x) =ex+ae-x，若 f ( x ) 为奇函数，则 f (-x) =-f ( x ) ，即e-x+aex=-ex+ae-x)，变形可得 a =-1，函数 f ( x) =ex+ae-x，导数 f (x) =ex-ae-x若 f ( x ) 是 R 上的增函数，则 f ( x ) 的导数 f (x) =e x -ae -x0 在 R 上恒成立，变形可得：a e 2 x 恒成立，分析可得 a 0 ，即 a
23、的取值范围为 ( -，0 ；故答案为： -1， ( -，0 【归纳与总结】本题考查函数的奇偶性与单调性的判定，关键是理解函数的奇偶性与单调性 的定义，属于基础题14 李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为 60 元 /盒、65 元 /盒、80 元 /盒、90 元 /盒为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到 120 元，顾客就少付 x 元每笔订单顾客网上支付成 功后，李明会得到支付款的 80% 当 x =10 时，顾客一次购买草莓和西瓜各 1 盒，需要支付 130 元；在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价
24、的七折，则 x 值为 的最大【思路分析】由题意可得顾客一次购买的总金额，减去 x，可得所求值；在促销活动中，设订单总金额为 m 元，可得 ( m -x ) 80%m 70% ，解不等式，结合恒成立思想，可得 x的最大值【解析】：当 x =10 时，顾客一次购买草莓和西瓜各 1 盒，可得 60 +80 =140 （元 ) ， 即有顾客需要支付 140 -10 =130 （元 ) ；在促销活动中，设订单总金额为 m 元，可得 ( m -x ) 80%m 70% ，即有mx ，8由题意可得 m120 ，可得120x =15 ， 8则 x 的最大值为 15 元故答案为：130，15【归纳与总结】本题考
25、查不等式在实际问题的应用，考查化简运算能力，属于中档题 三、解答题共 6 小题，共 80 分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。15（13 分）在 DABC 中， a =3 ， b -c =2 ，1cos B =- 2（）求 b ， c的值；第 10 页（共 17 页）2（）求 sin( B -C ) 的值【思路分析】（）利用余弦定理可得b2=a2+c2-2 ac cos B ，代入已知条件即可得到关于 b的方程，解方程即可；（） sin( B -C ) =sin B cos C -cos B sin C ，根据正弦定理可求出 sin C ，然后求出 cos C ，代 入即可得解【解析】
26、：（） a =3 ， b -c =2 ，1cos B =- 2 由余弦定理，得 b2=a2+c2-2 ac cos B =9 +(b -2)21-2 3 (b -2) (- )2， b =7 ， c =b -2 =5 ；（）在 DABC 中，1 3cos B =- ， sin B = ，2 2由正弦定理有：c b=sin C sin B， sin C =c sin Bb=35 5 3= ，7 1411b c ， B C ， C 为锐角， cos C = ，143 11 1 5 3 4 3 sin( B -C ) =sin B cos C -cos B sin C = -( - ) =2 14
27、2 14 7【归纳与总结】本题考查了正弦定理余弦定理和两角差的正弦公式，属基础题16 （14 分）如图，在四棱锥 P -ABCD 中， PA 平面 ABCD ， AD CD ， AD / / BC ，PF 1PA =AD =CD =2 ， BC =3 E 为 PD 的中点，点 F 在 PC 上，且 = PC 3（）求证： CD 平面 PAD ；（）求二面角 F -AE -P 的余弦值；（）设点G 在 PB 上，且PG 2= 判断直线 AG 是否在平面 AEF 内，说明理由 PB 3【思路分析】（）推导出 PA CD ， AD CD ，由此能证明 CD 平面 PAD （）以 A 为原点，在平面
28、ABCD 内过 A 作 CD 的平行线为 x轴， AD 为 y 轴， AP 为 z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角 F -AE -P 的余弦值（）求出AG =(4 2，0，3 3)，平面 AEF 的法向量 m =(1 ，1， -1) ，4 2 2m AG = - = 0 ， 3 3 3从而直线 AG 不在平面 AEF 内【解答】证明：（） PA 平面 ABCD ， PA CD ， AD CD ， PA AD = A ， CD 平面 PAD 第 11 页（共 17 页）2 2 4解：（）以 A 为原点，在平面 ABCD 内过 A 作 CD 的平行线为 x AD 为 y 轴， AP
29、 为 z 轴，建立空间直角坐标系，轴，A(0 ，0， 0) ， E (1，0， 1) ， F (2 2 4AE =(1 ，0， 1) ， AF =( , , )3 3 3， ， ) ， P (0 ，0， 2) ， 3 3 3，平面 AEP 的法向量 n =(1 ，0， 0) ， 设平面 AEF 的法向量 m =( x ， y ， z ) ，则m AE =x +z =0 2 2 4m AF = x + y + z =0 3 3 3，取 x =1 ，得 m =(1，1， -1) ，设二面角 F -AE -P 的平面角为 q ，则3 二面角 F -AE -P 的余弦值为3cosq =| m n |
30、1 3 = =| m | | n | 3 3（）直线 AG 不在平面 AEF 内，理由如下：点 G 在 PB 上，且PG 2 4 2 = G ( ，0， )PB 3 3 3， AG =(4 2，0， )3 3，平面 AEF 的法向量 m =(1 ，1， -1) ， 4 2 2m AG = - = 0 ，3 3 3故直线 AG 不在平面 AEF 内【归纳与总结】本题考查线面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查直线是否在已 知平面内的判断与求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理 能力与计算能力，属于中档题17（13 分）改革开放以来，人们的支付方式发生了巨大转变近年
31、来，移动支付已成为 主要支付方式之一为了解某校学生上个月 A ， B 两种移动支付方式的使用情况，从全校 学生中随机抽取了 100 人，发现样本中 A ， B 两种支付方式都不使用的有 5 人，样本中仅 使用 A 和仅使用 B 的学生的支付金额分布情况如下：支付金额（元 )(0 ， 1000 (1000 ， 2000 第 12 页（共 17 页）大于 2000支付方式仅使用 A仅使用 B18 人10 人9 人14 人3 人1 人（）从全校学生中随机抽取 1 人，估计该学生上个月 A ，B 两种支付方式都使用的概率； （）从样本仅使用 A 和仅使用 B 的学生中各随机抽取 1 人，以 X 表示这
32、 2 人中上个月支 付金额大于 1000 元的人数，求 X 的分布列和数学期望；（）已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化现从样本仅使用 A 的学生中，随 机抽查 3 人，发现他们本月的支付金额都大于 2000 元根据抽查结果，能否认为样本仅使 用 A 的学生中本月支付金额大于 2000 元的人数有变化？说明理由【思路分析】（）从全校所有的 1000 名学生中随机抽取的 100 人中， A ， B 两种支付方 式都不使用的有 5 人，仅使用 A 的有 30 人，仅使用 B 的有 25 人，从而 A ， B 两种支付方 式都使用的人数有 40 人，由此能求出从全校学生中随机抽取 1 人，估计
33、该学生上个月 A ， B 两种支付方式都使用的概率（）从样本仅使用 A 和仅使用 B 的学生中各随机抽取 1 人，以 X 表示这 2 人中上个月支 付金额大于 1000 元的人数，则 X 的可能取值为 0，1，2，分别求出相应的概率，由此能 求出 X 的分布列和数学期望 E ( X ) （）从样本仅使用 A 的学生有 30 人，其中 27 人月支付金额不大于 2000 元，有 3 人月 支付金额大于 2000 元，随机抽查 3 人，发现他们本月的支付金额都大于 2000 元的概率为C 3p = 3C 3301= ，不能认为认为样本仅使用 A 的学生中本月支付金额大于 2000 元的人数有 40
34、60变化【解析】：（）由题意得：从全校所有的 1000 名学生中随机抽取的 100 人中，A ， B 两种支付方式都不使用的有 5 人，仅使用 A 的有 30 人，仅使用 B 的有 25 人， A ， B 两种支付方式都使用的人数有：100 -5 -30 -25 =40 ， 从全校学生中随机抽取 1 人，估计该学生上个月 A ， B 两种支付方式都使用的概率p =40100=0.4 （）从样本仅使用 A 和仅使用 B 的学生中各随机抽取 1 人，以 X 表示这 2 人中上个月支 付金额大于 1000 元的人数，则 X 的可能取值为 0，1，2，样本仅使用 A 的学生有 30 人，其中支付金额在
35、 (0 ， 1000 的有 18 人，超过 1000 元的有 12 人，样本仅使用 B 的学生有 25 人，其中支付金额在 (0 ， 1000 的有 10 人，超过 1000 元的有 15 人，P( X =0) =18 10 180 6 = = ，30 25 750 25第 13 页（共 17 页）y xy xP ( X =1) =18 15 12 10 390 13 + = = ，30 25 30 25 750 2512 15 180 6P ( X =2) = = =30 25 750 25 X 的分布列为：，XP0 1 26 13 625 25 25数学期望6 13 6E ( X ) =0 +1 +2 =1 25 25 25（）不能认为样本仅使用 A 的学生中本月支付金额大于 2000 元的人数有变化， 理由如下：从样本仅使用 A 的学生有 30 人，其中 27 人月支付金额不大于 2000 元，有 3 人月支付金 额大于 2000 元，随机抽查 3 人，发现他们本月的支付金额都大于 2000 元的概率为p =C 3 13 = ，C 3 406030虽然概率较小，但发生的可能性为14060故不能认为认为样本仅使用 A 的学生中本月支付金额大于 2000 元的人数有变化 【归纳与总结】本题考查概率、离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查古典概型、 相互独立事