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1、【知识要点】求几何体外接球的半径一般有两种方法:模型法和解三角形法.模型法就是把几何体放在长方体中，使几何体的顶点和长方体的若干个顶点重合，则几何体的外接球和长方体的外接球是重合的，长方体的外接球的半径 r =12a2+b2+c2就是几何体的外接球半径.如果已知中有多个垂直关系，可以考虑用此种方法.解三角形法就是找到球心 O 和截面圆的圆心 O，找到OO、球的半径 OA 、截面圆的半径 OA确定的Rt DOOA,再解 Rt DOOA求出球的半径 OA .【方法讲评】方法一解题情景模型法已知中有多个垂直关系，可以考虑用此种方法.把几何体放在长方体中，使几何体的顶点和长方体的若干个顶点重合，则几何
2、体的外接解题步骤球和长方体的外接球是重合的，长方体的外接球的半径 r =12a2+b2+c2就是几何体的外接球半径.【例 1】已知四面体中， ， ， ，平面 ，则四面体外接球的表面积为_【点评】 (1) 本题看起来没有三条直线相交于一点且两两垂直的模型 , 但是通过推理分析得到了PA、PB、PC两两垂直,所以可以采用模型法来求几何体外接球的半径. （2）利用模型法解答时，一定要保证几何体的所有顶点都和长方体的顶点重合，这才能保证几何体的外接球和长方体的外接球是同一个外接球，才能用长方体的外接球半径公式r =12a2+b2+c2，有一个点不是长方体的顶点都不行.【反馈检测 1】已知棱长为6的正四
3、面体（四个面都是正三角形的三棱锥）的四个顶点都在同一球面上，则球的体积为_.方法二解题情景解三角形法几何体不能放到长方体模型中.找到球心O和截面圆的圆心O，找到OO、球的半径OA、截面圆的半径OA确定的解题步骤Rt DOOA,再解Rt DOOA求出球的半径OA.【例 2】在直三棱柱ABC -A B C 1 1 1中， AB =4，AC =6，A =p3，AA =41，则直三棱柱ABC -A B C 1 1 1的外接球的表面积.【点评】(1)由于本题的几何体不宜放在长方体模型中,所以用解三角形法解答. （2）利用解三角形法求几何体外接球的半径，先要找到球心O的位置，要找球心O的位置，没有固定的规
4、律，要结合几何体的特征，发挥自己的空间想象力分析，本题由于是直三棱柱，所以球心在上下底面外接圆圆心连线的中点， 如果是其它的几何体就不是这个位置了. 找到球心 O 的位置后，再确定截面圆的圆心O 位置，再表示出球1心 O 到截面圆圆心 O 的距离 OO ，这个是难点，要结合几何图形分析 .最后是解1 1Rt DOO A1，求出球的半径 R. （2）如果几何体底面是三角形，求截面圆的半径ra，一般利用正弦定理 =2 rsin A求截面圆的半径r.【反馈检测 2】已知三棱锥的四个顶点都在同一个球面上，底面满足，若该三棱锥体积最大值为 3，则其外接球的表面积为（ ）A.B. C. D.【反馈检测 3
5、】已知三棱锥的所有顶点都在球 的球面上， ， ， ， ，A. B.，则球 的表面积为（）C. D.高中数学常见题型解法归纳及反馈检测第 62 讲：几何体外接球的半径的求法参考答案【反馈检测 1 答案】92【反馈检测 1 详细解析】【反馈检测 2 答案】D【反馈检测 2 详细解析】因为为等腰直角三角形，所以 AC 为截面圆的直径，故该三棱锥的外接球的球心 O 在截面 ABC 中的射影为 AC 的中点 D，当 P,O,D 三点共线且 P,O 位于截面同一侧的棱锥的体积最大，棱锥的最大高度为 ，所以,在中，求出,由勾股定理得，设外接球的半径为 则，解得 ,所以外接球的表面积为，选 D.【反馈检测 3 答案】A