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1、广东省2009届高三数学模拟试题分类汇总立体几何一、选择题1、（2009揭阳）某师傅需用合板制作一个工作台，工作台由主体和附属两部分组成，主体部分全封闭，附属部分是为了防止工件滑出台面而设置的三面护墙，其大致形状的三视图如右图所示(单位长度: cm), 则按图中尺寸，做成的工作台用去的合板的面积为（制作过程合板的损耗和合板厚度忽略不计）（）D A. B C. D. 2、（2009广东五校）在下列关于直线、与平面、的命题中，真命题是（ ）B（A）若，且，则 （B）若，且，则（C）若，且，则 （D）若，且，则3、（2009番禺）一个几何体的三视图如右图，其中主视图和左视图都是边长为1的正三角形，那
2、么这个几何体的侧面积为（）A A B C D4、（2009吴川）已知、是两个不同平面，m、n是两条不同直线，则下列命题不正确的是( )DA则Bmn，m，则nCn，n，则 Dm，mn，则n5、（2009北江中学）如图是一个空间几何体的主视图、左视图、俯视图，如果主视图、左视图所对应的三角形皆为边长为2的正三角形，主视图对应的四边形为正方形，那么这个几何体的体积为（）B A BC D不确定6、（2009北江中学）已知是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，给出下列命题：若；若； 如果相交；若其中正确的命题是 （ ） DABCD7、（2009珠海）已知某个几何体的三视图如下，根据图中标出的尺寸（单
3、位：cm），可得这个几何体的体积是（ C ）A B C D8、（2009潮州）设、是空间不同的直线或平面，对下列四种情形： 、均为直线； 、是直线，是平面； 是直线，、是平面； 、均为平面。其中使“且”为真命题的是 （）CA B C D 9、（2009澄海）设m，n是两条不同的直线，是三个不同的平面，给出下列四个命题：若m，n，则mn；若，m，则m；若m，n，则mn；若，则其中正确命题的序号是（）AA和 B和 C和 D和10、（2009韶关田家炳）设是两条不同的直线，是两个不同的平面，下列命题中，其中正确的命题是（ ）A. B. C. D. 二、解答题1、（2009广雅期中）已知四棱锥的三视图
4、如下图所示，是侧棱上的动点.(1) 求四棱锥的体积；(2) 是否不论点在何位置，都有？证明你的结论；(3) 若点为的中点，求二面角的大小.ABCDPEABCDEF2、（2009广雅期中）如图，已知平面，平面，为等边三角形，为的中点.(1) 求证：平面；(2) 求证：平面平面；(3) 求直线和平面所成角的正弦值.3、（09广东四校理期末）如图所示,在矩形ABCD中，AD=2AB=2，点E是AD的中点，将DEC沿CE折起到DEC的位置，使二面角DECB是直二面角. （1）证明：BEC D； （2）求二面角DBCE的正切值. 4（09广东四校文期末）如图：直三棱柱ABCA1B1C1中， AC=BC=
5、AA1=2，ACB=90.E为BB1的中点，D点在AB上且DE=.（）求证：CD平面A1ABB1；（）求三棱锥A1CDE的体积.PBCDAEF5、（09北江中学文期末）如图，在底面是矩形的四棱锥中，面，、为别为、的中点，且， ，（）求四棱锥的体积；（）求证：直线平面 6、（2009广东东莞）在直三棱柱中，且异面直线与所成的角等于，设.ABCA1B1C1（1）求的值； （2）求平面与平面所成的锐二面角的大小.7、（2009广州海珠）如图6，在直角梯形ABCP中，AP/BC，APAB，AB=BC=，D是AP的中点，E，F，G分别为PC、PD、CB的中点，将沿CD折起，使得平面ABCD,如图7.（）
6、求证：AP/平面EFG； () 求二面角的大小;图6（）求三棱椎的体积.图78、（2009广州（一）如图，四棱锥中，平面，四边形是矩形，、分别是、的中点若，（）求证：平面；（） 求点到平面的距离；（）求直线平面所成角的正弦值9、（2009广东揭阳）如图，已知是底面为正方形的长方体，点是上的动点（1）试判断不论点在上的任何位置，是否都有平面垂直于平面？并证明你的结论；（2）当为的中点时，求异面直线与所成角的余弦值；（3）求与平面所成角的正切值的最大值10、（2009广东潮州期末）如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，垂直于底面，分别为的中点。 (1)求证：；（2）求与平面所成的角；（3）求截面的面积
7、。11、（2009珠海期末）已知平面，与交于点，（1）取中点，求证:平面。（2）求二面角的余弦值。12、（2009中山期末）如图，四面体ABCD中，O、E分别是BD、BC的中点，（I）求证：平面BCD；（II）求异面直线AB与CD所成角的余弦；（III）求点E到平面ACD的距离答案：1、解：(1) 由三视图可知，四棱锥的底面是边长为1的正方形，侧棱底面，且. 2分，即四棱锥的体积为. 4分(2) 不论点在何位置，都有. 5分证明如下：连结，是正方形，. 6分底面，且平面，. 7分又，平面. 8分不论点在何位置，都有平面. ABCDPEF不论点在何位置，都有. 9分(3) 解法1：在平面内过点作
8、于，连结.，RtRt，从而，.为二面角的平面角. 12分在Rt中，又，在中，由余弦定理得， 13分，即二面角的大小为. 14分解法2：如图，以点为原点，所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系. 则，从而ABCDPExyz，. 10分设平面和平面的法向量分别为，由，取. 11分由，取. 12分设二面角的平面角为，则， 13分 ，即二面角的大小为. 14分2、ABCDEFMHG方法一：(1) 证法一：取的中点，连.为的中点，且. 1分平面，平面， ，. 2分又，. 3分四边形为平行四边形，则. 4分 平面，平面，平面. 5分证法二：取的中点，连.为的中点，. 1分平面，平面，. 2分又，四边形为平行
9、四边形，则. 3分平面，平面，平面，平面.又，平面平面. 4分 平面，平面. 5分(2) 证：为等边三角形，为的中点，. 6分平面，平面，. 7分又，故平面. 8分，平面. 9分平面，平面平面. 10分(3) 解：在平面内，过作于，连. 平面平面， 平面.为和平面所成的角. 12分设，则，R t中，.直线和平面所成角的正弦值为.14分方法二：设，建立如图所示的坐标系，则.2分为的中点，. 3分(1) 证：， 4分，平面，平面. 5分(2) 证：， 6分，. 8分平面，又平面，平面平面. 10分(3) 解：设平面的法向量为，由可得： ，取. 12分 又，设和平面所成的角为，则 .直线和平面所成角
10、的正弦值为. 14分3、解：（1）AD=2AB=2，E是AD的中点，BAE，CDE是等腰直角三角形，易知, BEC=90，即BEEC.又平面DEC平面BEC，面DEC面BEC=EC,BE面DEC，又C D 面DEC , BECD； （2）法一：设M是线段EC的中点，过M作MFBC垂足为F，连接DM，DF，则DMEC. 平面DEC平面BEC,DM平面EBC, MF是DF在平面BEC上的射影，由三垂线定理得： DFBCDFM是二面DBCE的平面角.在RtDMF中，DM=EC=，MF=AB=即二面角DBCE的正切值为.法二：如图，以EB，EC为x轴、y轴，过E垂直于平面BEC的射线为z轴，建立空间直
11、角坐标系.则B（，0，0），C（0，0），D（0，）设平面BEC的法向量为；平面DBC的法向量为 tan= 二面角DBCE的正切值为.4、解：(1)在RtDBE中，BE=1，DE=，BD= AB， 则D为AB中点, 而AC=BC， CDAB 又三棱柱ABCA1B1C1为直三棱柱, CDAA1 又 AA1AB=A 且 AA1、AB 平面A1ABB1 故 CD平面A1ABB1 6分（2）解：A1ABB1为矩形，A1AD，DBE，EB1A1都是直角三角形，=222121= VA1CDE =VCA1DE = SA1DE CD= =1三棱锥A1CDE的体积为14分5、解：（1）取AD的中点O，连接EO,
12、则EO是PAD的中位线，得EOPA,故EOABCD,EO是四棱锥的高， 6分（2）取PC的中点G,连EG,FG, 由中位线得EGCD,EG=CD=AF, 四边形AFGE是平行四边形， 6分6、ABCA1B1C1FE解法一：（1），就是异面直线与所成的角，即，（2分）连接，又，则为等边三角形，4分由，；6分（2）取的中点，连接，过作于，连接，,平面 8分又，所以平面，即，所以就是平面与平面所成的锐二面角的平面角。10分在中，,，13分因此平面与平面所成的锐二面角的大小为。14分说明：取的中点，连接，同样给分（也给10分）解法二：（1）建立如图坐标系，于是，（）， 3分A1BCB1C1xyz由于异
13、面直线与所成的角，所以与的夹角为即6分（2）设向量且平面于是且，即且，又，所以，不妨设8分同理得，使平面，（10分）设与的夹角为，所以依，12分平面，平面，因此平面与平面所成的锐二面角的大小为。14分说明：或者取的中点，连接，于是显然平面7、解:() 证明:方法一)连AC,BD交于O点,连GO,FO,EO. E,F分别为PC,PD的中点,同理,四边形EFOG是平行四边形,平面EFOG. 3分又在三角形PAC中,E,O分别为PC,AC的中点,PA/EO4分平面EFOG,PA平面EFOG, 5分PA/平面EFOG,即PA/平面EFG. 6分方法二) 连AC,BD交于O点,连GO,FO,EO.E,F
14、分别为PC,PD的中点,同理又,平面EFG/平面PAB, 4分又PA平面PAB,平面EFG. 6分方法三)如图以D为原点,以为方向向量建立空间直角坐标系.则有关点及向量的坐标为:2分设平面EFG的法向量为取.4分,5分又平面EFG. AP/平面EFG. 6分()由已知底面ABCD是正方形,又面ABCD又平面PCD,向量是平面PCD的一个法向量,=8分又由()方法三)知平面EFG的法向量为9分10分结合图知二面角的平面角为11分() 13分14分8、解法一： （I）取PC的中点G，连结EG，FG，又由F为PD中点，则 F G . 2分= 又由已知有四边形AEGF是平行四边形. 4分 平面PCE，
15、EG5分 （II）3分.5分 （III）由（II）知直线FC与平面PCE所成角的正弦值为.4分解法二：如图建立空间直角坐标系A（0，0，0），P（0，0，3），D（0，3，0），E（，0，0），F（0，），C（，3，0）2分 （I）取PC的中点G，连结EG， 则G5分 （II）设平面PCE的法向量为 3分5分 （III） 2分直线FC与平面PCE所成角的正弦值为.4分9、解：（1）不论点在上的任何位置，都有平面垂直于平面.-1分证明如下：由题意知，又 平面又平面 平面平面-4分（2）解法一：过点P作，垂足为，连结（如图），则，是异面直线与所成的角-6分在中 , ， 又在中，-8分异面异面直线与
16、所成角的余弦值为-9分解法二：以为原点，所在的直线为x轴建立空间直角坐标系如图示，则，-6分异面异面直线与所成角的余弦值为-9分（3）由（1）知，平面，是与平面所成的角，-10分且-11分当最小时，最大，这时，由-13分得，即与平面所成角的正切值的最大值-14分10、（1）证明：因为是的中点， 所以。 由底面，得，又，即， 平面，所以 ， 平面， 。 4分（2）连结， 因为平面，即平面，所以是与平面所成的角， 在中，在中，故，在中, ，又，故与平面所成的角是。 10分（3）由分别为的中点，得，且，又，故，由（1）得平面，又平面，故，四边形是直角梯形，在中， 截面的面积。 14分11、解法1:(
17、1)联结，AC=AC，.2分为中点，.3分为中点，.4分平面.5分（2）联结，在等边三角形中,中线，6分又底面， ，.7分 平面平面。.8分过作于，则平面，取中点，联结、，则等腰三角形中，平面，是二面角的平面角.10分等腰直角三角形中，等边三角形中，Rt中，12分.二面角的余弦值为。.14分 解法2：以分别为轴，为原点，建立如图所示空间直角坐标系，2分是等边三角形，且是中点，则、4分（1）5分，平面.7分（2）设平面的法向量分别为，.9分则的夹角的补角就是二面角的平面角；.10分，由及得，.12分，二面角的余弦值为。.14分12、解：方法一：（I）证明：连结OC1分在中，由已知可得而即3分 又 平面5分（II）解：取AC的中点M，连结OM、ME、OE，由E为BC的中点知直线OE与EM所成的锐角就是异面直线AB与CD所成的角。6分 在中，7分是直角斜边AC上的中线，8分异面直线AB与CD所成角大小的余弦为；9分（III）解：设点E到平面ACD的距离为11分在中， 12分而13分点E到平面ACD的距离为14分方法二：（I）同方法一5分（II）解：以O为原点，如图建立空间直角坐标系，则6分7分9分异面直线AB与CD所成角大小的余弦为；10分（III）解：设平面ACD的法向量为则11分令得是平面ACD的一个法向量12分又点E到平面ACD的距离14分