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1、第九讲几何图形的归纳、猜想问题( 含解析 )第九讲几何图形的归纳, 猜想 , 证明问题【前言】 行新 以来，中考加大了 考生 ， ，猜想 方面能力的考察，然而由于数列的系 知 要到高中才会正式考察，因此大多放在填空 来出。 08 年的中考填空 是一道代数 ，差不多展 出了 种 。 09 年的一模，二模也只是 少的区 出了 种 ， 然而中考的 候就出了一道几何方面的 n 等分点 。 因此今年的一模二模， 种有关几何的 ， 猜想 天盖地而来， 确 是一个重要的 向 。而且依照学生反映， 种 一般 ，得分率特 低， 常有同学 +填空就只 了 一道。 关于 来 ， 思考的方法是最重要的， 因此一下我
2、通 今年的一二模真 来看看如何 种新 型。第一部分真题精讲【例 1】 2017，海淀，一模如 ， n +1 个 2 的等 三角形有一条 在同一直 上， B2 D1 C1的面 ，S1B3D2C2的面 S2，Bn 1DnCn的面 Sn，那么 S2=； Sn=_用含 n 的式子表示、B1B 2B3B4B5D1D 2D 3D4 AC1C2C 3C4C5【思路分析】 拿到 种 型， 第一步确 是 清所求的 形到底是什么 的。此 好，将阴影部分 出，不至于看 。然而假如不 就会有同学 以 所求的面 是B2 AC2 ,B3 AC3 种的 , 第二步确 是看 些 形之 有什么共性和 系. 首先 S2 所代表的
3、三角形的底 C2 D 2是三角形 AC2D 2 的底 , 而那个三角形和AC3B3 是相似的 . 因此 的比例确 是AC2 与 AC3 的比 . 因此 S21223. 接下来通 , 我 23323 明所求的三角形有一个最大的共性确 是高相等, 为3 接上面所有的B 点，将阴影部分放在反 来的等 三角形中看。那么既然是求面 ，高相等，剩下的自然确 是底 的 了。我 明所有的B,C 点 的 基本上平行的，因此自然能 得出Dn 自然是所在 上的 n+1 等分点 . 例如 D2确 是 B2n11是C2 的一个三等分点 . 因此 DnCn2 (n+1-1n 1什么意思 ?什么原因要减1?) S Bn 1
4、D C1 Dn Cn312n33nn n22 n 1n1【例 2】 2017，西城，一模在平面直角坐标系中，我们称边长为1 且顶点的横纵坐标均为整数的正方形为单位格点正方形，如图，菱形ABCD 的四个顶点坐标分别是( 8 ，0) ， (0 ，4) ， (8 ，0)， (0 ， 4) ，那么菱形 ABCD 能覆盖的单位格点正方形的个数是_个；假设菱形 An BnCn Dn 的四个顶点坐标分别为( 2n，0)，(0 ，n)，(2n ，0)，(0 ，n) n 为正整数，那么菱形能An BnCn Dn覆盖的单位格点正方形的个数为_ 用含有 n 的式子表示、y4 BAC- 8O8 x- 4 D【思路分析
5、】 此题方法比较多，例如第一空直截了当数格子都能够数出是48笑。那个地方笔者提供一种方法， 其他方法大伙能够自己去想想看。因为求的是菱形包涵的正方形个数， 因此只需求出被 X,Y 轴所分的四个三角形包涵的个数，再乘以 4 即可。 比如我们来看第二象限那个三角形。第二象限菱形那条边过-2n,0 (0,n),自然能够写出直线解析式为y1x n , 斜率1 意味着什么 ?看上图 , 注意箭头标注的那些空白三角形, 这些 RT 三角形221一共有 2n/2=n 个 , 他们的纵直角边与横直角边的比是不是确实是?而且这些直角三角形基2本上全等的 , 面积均为两个单位格点正方形的一半. 那么整个的AOB
6、的面积自然确实是1 2n n , 所有 n 个空白小三角形的面积之和为n 12 1 , 相减之后自然确实是所有格点正22方形的面积 n2n , 也确实是数量了 . 因此整个菱形的正方形格点确实是4n24n .【例 3】 2017，平谷，一模如图， AOB45 ，过 OA 上到点 O 的距离分别为 1，3，5，7，911. 的点作 OA 的垂线与OB 相交，得到并标出一组黑色梯形，它们的面积分别为S1， S2， S3， S4， 、那么第一个黑色梯形的面积S1；观看图中的规律，第n ( n 为 正 整 数 ) 个 黑 色 梯 形 的 面 积 Sn、BS3S2S4S101357911 13 .A【思
7、路分析】 此题方法也比较多样。所有阴影部分基本上一个直角梯形，而因为AOB45，因此梯形的上下底长度分别都对应了垂足到0 点的距离 , 而高那么是固定的 2。第一个梯形上底是1，下底是 3，因此14 . 第二个梯形面积S11 3 2215 7 2 12, 第三个是1, 至此 , 我们发明此题中梯形面积数值S2S329 11 2 202上事实上确实是上下底的和. 而且各个梯形的上底基本上前一个梯形上底加上4。因此第 n个梯形的上底确实是1+4(n-1)=4n-3,( 第一个梯形的上底1 加上 (n-1) 个 4. ) 下底自然确实是 4n-1, 因此 Sn 确实是 8n-4.【例 4】2017，
8、丰台，一模在平面直角坐标系中，横坐标、纵坐标都为整数的点称为整点、请你观看图中正方形A1B1C1D1 ， A2B2C2D2， A3B3C3D3 每个正方形四条边上的整点的个数、按此规律推算出正方形A10B10C10D10 四条边上的整点共有个、yA33D 3A22D 2A11D 1-3 -2 -1 O1 2 3xB1-1C1B2-2C2B3-3C3【思路分析】此题看似麻烦，然而只要把握住“正方形”那个关键就能够了。关于An Bn Cn Dn 来说 , 每条边的长度是2n, 那么自然整点个数确实是2n+1，因此四条边上整点一共有(2n+1)x4-4=8n(个) (要减去四个被重复算的顶点),因此
9、 A10 B10 C10 D10 确实是80 个 .【例 5】 2017，宣武，一模如图， ABC 中， ACB=90， AC=BC=1，取斜边的中点，向斜边做垂线，画出一个新的等腰直角三角形，如此接着下去，直到所画直角三角形的斜边与 ABC的 BC边重叠为止，如今那个三角形的斜边长为 _、【思路分析】 此 依旧要找出每个三角形和上一个三角形之 的 律 系。关 “中点”“垂 ”“等腰直角” 。 就意味着每个三角形的 角基本上45 度，同 直角 基本上上一个三角形直角 的一半。 一圈是360 度，包涵了8 个 45。因此 到第八次就能 和BC重叠了，如今 ABC的 1 ，故而得解。8【例 6】
10、2017， 沟，一模如 ，以等腰三角形 AOB 的斜 直角 向外作第2 个等腰直角三角形ABA1，再以等腰直角三角形ABA1的斜 直角 向外作第3 个等腰直角三角形 A1 BB1，如此作下去，假 OA OB1 ，那么第 n 个等腰直角三角形的面 Sn_ n 正整数 .B2A1AOBB1【思路分析】 和上 特 似的几何 形外延拓展 。依旧一 慢慢找小三角形面 的 律。由 可得2 ，S32nS1 1 ，S24. ，分子确 是 1,2,4,8,16如此的数列。因此 Sn2222【 】 几何 形的 事 上就包括了代数方面的数列 ，只只是需要考生自己找出 形与 形之 的 系而已。关于 ， 首先确 是要
11、真 ， 看清晰 目所求的未知量是什么，然后找出各个未知量之 的 系， 其中就包括了 找未知量的拓展 程中， 哪些 了，哪些没有 。最后依照 些 系列出通 去求解。在遇到具体关系特 找的 ，不妨先写出第一 ，第二 ，第三 然后去找数式上的 律，如上面例6确 是一例， 假如 于几何 形当中等腰三角形直角 的平方，反而会使 复 化，直截了当列出前几 的面 就能 大胆的猜 出来 果了。 目 算量往往不大， 重在思考和分析的方法， 考生 心掌握。第二部分发散思考【思考 1】 2017，西城，二模如 ，在平面直角坐 系xOy中， B1 (0,1) ， B2(0,3) ， B3(0,6) ，B4 (0,10
12、) ，以 B1B2 角 作第一个正方形A1B1C1B2，以B2 B3 角 作第二个正方形A2 B2C2 B3，以 B3 B4 角 作第三个正方形 A3 B3 C3 B4，假如所作正方形的 角 Bn Bn 1都在y 上，且的 度依次增加1 个 位， 点都在第一象Bn Bn 1An限内 n 1，且 n 整数、那么 A1的 坐 ；用n的代数式表示An 的 坐 ：、【思考 2】 2017，朝阳，二模如 ，在平面直角坐 系中，一 棋子从点P 开始跳 ，第一次跳到点 P 关于 x 的 称点 P1 ，接着跳到点P1关于 y 轴的 称点 P2 ，第三次再跳到点P2 关于原点的 称点 ，如此循 下去、当跳 第2
13、017 次 ，棋子落点 的坐 是、【思考 3】 2017，昌平 , 一模关于大于或等于2 的自然数n 的平方 行如下“分裂”，分裂成 n 个 奇数的和，那么自然数 72 的分裂数中最大的数是，自然数n 2 的分裂数中最大的数是 .【思考 4】 2017，延 ，一模一个 点在第一象限及x 、 y 上运 ，在第一秒 ，它从原点运 到(0，1) ，然后接着按 中箭 所示方向运 , 即 (0，0)(01)，(11)，(10)， ，且每秒移 一个 位，那么第 35 秒 点所在位置的坐 是_y【思考 5】 2017，海淀，二模3如 ，将 1 n21, 2, 3,的正方形 片从左到右 次 放，其 的正(n)12方形的中心依次 A1, A2, A3, . 假 放前 6个正方形 片，那么 中被遮盖的 段虚 部分012 3xA 3A 4之和 ；假 放前nn 大于1 的正A 1A 2整数个正方形 片，那么 中被遮盖的 段虚 部分之和 .第三部分思考题解析【思考 1 答案】 2； (n1)22【思考 2 答案】3， 2【思考 3 答案】 13； 2n-1【思考 4 答案】5， 0【思考 5 答案】 10， 1 (n2)( n1)4