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1、首届中国东南地区数学奥林匹克第一天一、 数 a、 b、 c 足 a22b23c23，求 ： 3 a9 b27 c1二、 D是 ABC 的 BC上的一点，点2P 在 段 AD上， 点 D作一直 分 与 段AB、PB交于点 M、 E，与 段 AC、PC的延 交于点 F、N。如果 DE=DF，求 ： DM=DN三、（ 1）是否存在正整数的无 数列 an ，使得 任意的正整数n 都有 an212anan2 。（ 2）是否存在正无理数的无 数列an ，使得 任意的正整数n都有 a22a an 2。n 1n四、 定大于2004 的正整数n，将 1、 2、 3、 n2 分 填入n n 棋 （由 n 行 n
2、列方格构成）的方格中，使每个方格恰有一个数。如果一个方格中填的数大于它所在行至少2004个方格内所填的数， 且大于它所在列至少2004 个方格内所填的数， 称 个方格 “ 格”。求棋 中“ 格”个数的最大 。第二天（ 2004 年 7 月 11 日 8 ： 00 12 ： 00温州）五、已知不等式2(2 a 3)cos()62sin 23a6 于0,4sin cos2恒成立，求 a 的取 范 。六、 点 D 等腰 ABC 的底 BC上一点， F 为过 A、D、C三点的 在ABC 内的弧上一点， B、D、F三点的 与 交于点。求 ：CD EF DFAEBD AFABE七、 n 支球 要 行主客
3、双循 比 （每两支球 比 两 ，各有一 主 比 ），每支球 在一周 （从周日到周六的七天）内可以 行多 客 比 。 但如果某周内 球 有主 比 ， 在 一周内不能安排 球 的客 比 。如果 4 周内能 完成全部比 ，球 n 的最大 。注： A、 B 两 在 A 方 地 行的比 ，称 A 的主 比 ， B 的客 比 。八、求 足xyyzzu0 ，且 1x、 y、 z、 u10 的所有四元有序整数 xyyzzu（ x, y, z,u ）的个数。首届中国 南地区数学奥林匹克（答案）一、解：由柯西不等式， (a2b 3c)2(2222( 2b) 2( 3c)29123 ) ( 1a)所以， a 2b
4、3c3 ，所以 3 a9 b27 c33 3 (a 2b 3c)33 3 31二、 明：对 AMD 和直 BEP用梅涅 斯定理得：对 AFD 和直 NCP用梅涅 斯定理得：对 AMF 和直 BDC用梅涅 斯定理得：APDEMB1(1)，PD EMBAACFNDP1(2) ，CFNDPAABMDFC1(3)BMDFCAA（1）（ 2）（3）式相乘得： DEFNMD1，又 DE=DF，EMNDDF所以有DMDN，PDMDEDNDE所以 DM=DN。MCDBNF三、解：（1）假 存在正整数数列 an 足条件。an212an an2 , an0,an1an11 an 2.a2 , nan 12 an
5、222 an 32n 2 a1又 a21 a2an1 a2a122 2 a1, 所以有 an12n 2a1对 n=2， 3，4，成立。1a21a221a2anan 12(nan 2 .2n 2a12) ( n 3)a12( n 2) ( n 3). 1a12n 12所以 ana21。2n2a1n2设 a222 k , 2k1 ), kN ，取 Nk3 ， 有N 1k 22212k 121aNa21， 与 aN 是正整数矛盾。2N 2a1N 22k 1a1k 1所以不存在正整数数列 an 足条件。（2） an(n 1)( n 2)就是 足条件的一个无理数数列。此 有an214an an23,4,
6、.,n 2a222an an 2 。四、解： 叙述方便，如果一个方格中填的数大于它所在行至少 2004 个方格中所填的数， 称此格 行 的。由于每一行中填 小的 2004 个数的格子不是行 的，所以每一行中有n 2004 个行 的。一个方格 “ 格”一定是行 的，所以棋 中“ 格”个数不大于n(n2004)。另一方面，将棋 的第i (i1,2,3,., n) 行，第i、i1、.、i2003（大于n 取模n的余数）列中的格子填入“没有“ * ”的格子。没有“* ”。将 1、2、3、 2004n* ”的格子中填的数大于有“填入有“ * ”的格子，其余的数填入* ”的格子中任何一个数，所以棋 上没有
7、“*”的格子都 “ 格” ，共有n(n2004) 个。此 每行有2004 个格子有“ * ”，每列也有2004 个格子有“ * ”（如 ）。 上，当1 i 2003 ，第 i 列的第 1、2、 i 、 n+i 2003、 n+i 2002、. 、 n 行中有“ * ”。当 i 2004 ，第 i 列的第 i 2003、 i 2002 、 .、 i 行中有“ * ”。所以每行有2004 个格子有“ * ”，每列也有2004 个格子有“ * ”（如 ）*所以棋 中“ 格”个数的最大 是n(n2004) 。五、解： sincosx ， cos()2 x,sin 2x21,x1, 242从而原不等式可
8、化 ：(2a3) x62( x21) 3a66x22即 2x22ax3x3a40, 2x(xa)3( xa)0，xxx(2 x3)20x1,2(1)xax原不等式等价于不等式（1）x1,2,2x30（ 1）不等式恒成立等价于 x2a0x1,2 恒成立。x从而只要 a( x2( x1,2) 。)maxx22又容易知道上递减，。f ( x)x在1, 2( xx )max3 ( x1, 2 )x所以 a3 。六、证明：设AF 的延长线交BDF 于 K，AEFAKB ,AEFAKB ，因此EKBK,AEAK。于是要证（ 1），AFABAFABA只需证明： CD BKDFAKBDAB (2)231又注意
9、到KBDKFDC 。我们有 S DCK1CDBK sinCF2E1BS ABDAB sinCDCBD进一步有21 AKS ADKDF sinC2因此要证（2），只需证明 S ABDS DCKS ADK （ 3）而（ 3）S ABCS AKCBK / AC(4)事实上由BKAFDBKAC 知（ 4）成立，得证。七、解：（ 1）如右图所示：表格中有“* ”，表示该球队在该周有主场比赛，不能出访。容易验证，按照表中的安排， 6 支球队四周可以完成该项比赛。（ 2）下面证明7 支球队不能在四周完成该项比赛。设 Si (i1,2,3, 4,5,6,7)表示i 号球队的主场比赛周次的集合。假设4 周内能完
10、成该项比赛， 则 Si是1 ，2，3，4 的非空真子集。一方面由于某周内该球队有主场比赛，在这能安排该球队的客场比赛，所以Si (i1,2,3, 4,5,6,7) 中，没有一个集是另一个的子集。另一方面，设球第第第第队一二三四周周周周1*2*3*4*5*6*一周内不A1, 1,2, 1,2,3 , B2,2,3 ,2,3,4, C3, 1,3, 1,3,4D4, 1,4, 1,2,4, E2,4, F3,4由抽屉原理，一定存在i , j,ij ,i , j1,2,3,4,5，Si, Sj 属于同一集合A 或B 或C 或 D 或E 或 F，必有SiSj或 SjSi 发生。所以，n 的最大值是6。
11、八、解：设(, , ,)abbccd 。fa b c dabbccd记 A :( x, y, z, u) |1x, y, z, u10,f ( x, y, z,u)0 ，B :( x, y, z, u) |1x, y, z, u10,f ( x, y, z,u)0 ，C :( x, y, z, u) |1x, y, z, u10, f ( x, y, z,u)0 ，显然 card ( A)card (B)card (C )10 4 。我们证明 card ( A)card ( B) 。对每一个 ( x, y, z,u)A ，考虑 ( x, u, z, y) 。( x, y, z, u)Af (x
12、, y, z,u)0xyyzzuux0xyyzzuuxxuuzzyyx0f (x, y, z,u)0( x,u, z, y)Bx u u z zyyx接着计算 card (C ) 。( x, y, z,u)Cxzyuxz yu( zx)(u y)( xzyu)0(xy)( zu)( yz)(ux)设 C1( x, y, z, u) | xz,1x, y, z, u10 ，C2( x, y, z, u) | xz, yu,1x, y, z, u 10 ，C3( x, y, z, u) | xz, yu, xzyu, 1x, y, z,u10 。满足abc d , (a, b, c, d ) 为 1、 2、 3、.、 10 的两两不同的无序四元组只有1623,1824,11025, 2634, 2936, 21045,3846, 31056, 41058 。满足 xy, zu, xz 的四元组共90 个，满足 x z, yu, x z 的四元组共90 个，card (C 3 )4299090252, card (C1)1000, card (C 2)900。所以， card (C )2152,card ( A)3924 。