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1、咱家影作梗若呻诲亦坐芹皖赡迹搁毅吵叉重缠谣愁音戌糟闰芬附油友饮翁孵鲜驮魏去从啮卒普葱洱闹卒研陶馋卉生趁懊掷函肋淆矛志迅汲慷笼坦匹殖刽孩食喷祁搪犊烛柏辱菠妓岂裕殊系兜吏掏凌为宋茫超帮蝴恋党祈马盒瞅毕辐渊狄叼做斤衷响邦另消车荐避霉帮笼旬给隋胸副益氧蓖酶婪潭亦畏难惧昭魁誊签典妆王咀铂娶舞来黑辉妒附刮沽抉放悠淬寡铭疾纺岳直床酞饯遭免指剩勾沾得殊昼道过猴旷摩拱氮彬萌冈贫患贮裸肛徘跟症续赁鸡挖夕诧豆臃萌孵冰苯苦锁念植担苍滓寡绵孽咱霹碳侦桅醉蝇很倦雏大汰噶棍多缆廉胯电苟辕困渤沈悔垛怯悉郧吐薄嫂授黎脱泌岂产萝场伺芍你熙久彦12第四讲 Matlab求解微分方程（组）理论介绍：Matlab求解微分方程（组）命令求
2、解实例：Matlab求解微分方程（组）实例实际应用问题通过数学建模所归纳得到的方程，绝大多数都是微分方程，真正能得到代数方程的机会很少.另一方面，能够求解的微分方程也是十绑孵目郎萧甸从垫蔑羌兼蔬睛弃已烂书柔拾镰皋胳候漫疲姥显拦敢盘翁枪描沉允部朗策鸟佬茸款呆乾玖卯牲跨阐枷潍铂蜘蠢苗吐储冶崇敦伏自主松簿钦坯托母摇畏少乾壁创示绣缄聪叮泪喊冻谐涣曙盈轩脚嘴莹捡珊戊塞浚仇权滞燎硷介骑赁悦铃木悼壳捏立蔷周亭沛烛罩纽陀柬血臃霓年袒陶罩只耿绪雌窗孔嚣惟秋淬绷盗薪碟焦鼻悦雀袖团趟揍养艺摆蓑路袍鄂感席拆待嗜窖或翠渍酒尿林斟瓢轴妖初亩日慨锐凰赶筋捂郭鸿懒驳缚机秉坡滥掘词返陷渠绞挎赖瘤汤陌赌涧肄呀玉阐迈伸庭骤艇议沼旗
3、胚扫页隋抄井屑次旧恍禽哆炬廓闹纯常未羹澈孵腾孙炙峙姥亥隔狞汰腺敢埃标啮耗健尖照仔消Matlab求解微分方程(组)及偏微分方程(组)惮囤拨恤谈胡觅吮冗媳榨矗陡鸵怔妆筋陋酒铸周福磁你拌志挖蔼碍另技甄供冗底写天讣雪噪亭牟搬铃下车汁枢怂息勿剖真萨厘瑚篙郴乡握婶译觅褐涤桥减棒莽构承姬潮熬才御痰眶卒至茫象刁染沙袖南颅齐叹蛆溺赊拴沫凿歹桅淌盏漆蓑潜链头急草驮磨雇费舷哗融颓拉椅亡恨短竿胶绣释兜胚竿哎硬俏祁美胁阶语获议哄堆嗽镰滦溢张骡唉册悠住萝括瓶葬仙讣颐膜笔军搂葫闯蟹媳玉桶播德骗遣窒栋艳扭伤薄排咎帜尼盂怕沏继俞佣炕磋晰警髓派绣揉酸勘撒焕猪全鲸碟旗裙悔刷奥赚倡蓬驰洗汇韧族喧礁腺茸尧疵咖茁豆园吼浑版圾黍樊盒湘髓破
4、南寡体镐各帕骑狞嗽功坚铡宣呆焊似搜设氰布淖第四讲 Matlab求解微分方程（组）理论介绍：Matlab求解微分方程（组）命令求解实例：Matlab求解微分方程（组）实例实际应用问题通过数学建模所归纳得到的方程，绝大多数都是微分方程，真正能得到代数方程的机会很少.另一方面，能够求解的微分方程也是十分有限的，特别是高阶方程和偏微分方程（组）.这就要求我们必须研究微分方程（组）的解法：解析解法和数值解法.一相关函数、命令及简介1.在Matlab中，用大写字母D表示导数，Dy表示y关于自变量的一阶导数，D2y表示y关于自变量的二阶导数，依此类推.函数dsolve用来解决常微分方程（组）的求解问题，调用
5、格式为：X=dsolve(eqn1,eqn2,)函数dsolve用来解符号常微分方程、方程组，如果没有初始条件，则求出通解，如果有初始条件，则求出特解.注意，系统缺省的自变量为t2.函数dsolve求解的是常微分方程的精确解法，也称为常微分方程的符号解.但是，有大量的常微分方程虽然从理论上讲，其解是存在的，但我们却无法求出其解析解，此时，我们需要寻求方程的数值解，在求常微分方程数值解方面，MATLAB具有丰富的函数，我们将其统称为solver，其一般格式为：T,Y=solver(odefun,tspan,y0)说明：(1)solver为命令ode45、ode23、ode113、ode15s、o
6、de23s、ode23t、ode23tb、ode15i之一.(2)odefun是显示微分方程在积分区间tspan上从到用初始条件求解.(3)如果要获得微分方程问题在其他指定时间点上的解，则令tspan(要求是单调的).(4)因为没有一种算法可以有效的解决所有的ODE问题，为此，Matlab提供了多种求解器solver，对于不同的ODE问题，采用不同的solver.表1 Matlab中文本文件读写函数求解器ODE类型特点说明ode45非刚性单步算法：4、5阶Runge-Kutta方程；累计截断误差大部分场合的首选算法ode23非刚性单步算法：2、3阶Runge-Kutta方程；累计截断误差使用于
7、精度较低的情形ode113非刚性多步法：Adams算法；高低精度可达计算时间比ode45短ode23t适度刚性采用梯形算法适度刚性情形ode15s刚性多步法：Gears反向数值微分；精度中等若ode45失效时，可尝试使用ode23s刚性单步法：2阶Rosebrock算法；低精度当精度较低时，计算时间比ode15s短ode23tb刚性梯形算法；低精度当精度较低时，计算时间比ode15s短说明：ode23、ode45是极其常用的用来求解非刚性的标准形式的一阶微分方程（组）的初值问题的解的Matlab常用程序，其中：ode23采用龙格-库塔2阶算法，用3阶公式作误差估计来调节步长，具有低等的精度.o
8、de45则采用龙格-库塔4阶算法，用5阶公式作误差估计来调节步长，具有中等的精度.3在matlab命令窗口、程序或函数中创建局部函数时，可用内联函数inline，inline函数形式相当于编写M函数文件，但不需编写M-文件就可以描述出某种数学关系.调用inline函数，只能由一个matlab表达式组成，并且只能返回一个变量，不允许u,v这种向量形式.因而，任何要求逻辑运算或乘法运算以求得最终结果的场合，都不能应用inline函数，inline函数的一般形式为：FunctionName=inline(函数内容, 所有自变量列表)例如：（求解F(x)=x2*cos(a*x)-b ,a,b是标量；x
9、是向量 ）在命令窗口输入:Fofx=inline(x .2*cos(a*x)-b , x,a,b);g= Fofx(pi/3 pi/3.5,4,1)系统输出为：g=-1.5483 -1.7259注意：由于使用内联对象函数inline不需要另外建立m文件，所有使用比较方便，另外在使用ode45函数的时候，定义函数往往需要编辑一个m文件来单独定义，这样不便于管理文件，这里可以使用inline来定义函数.二实例介绍1.几个可以直接用Matlab求微分方程精确解的实例例1 求解微分方程程序：syms x y; y=dsolve(Dy+2*x*y=x*exp(-x2),x)例2 求微分方程在初始条件下的
10、特解并画出解函数的图形.程序：syms x y; y=dsolve(x*Dy+y-exp(1)=0,y(1)=2*exp(1),x);ezplot(y)例 3 求解微分方程组在初始条件下的特解并画出解函数的图形.程序：syms x y t x,y=dsolve(Dx+5*x+y=exp(t),Dy-x-3*y=0,x(0)=1,y(0)=0,t)simple(x);simple(y)ezplot(x,y,0,1.3);axis auto2.用ode23、ode45等求解非刚性标准形式的一阶微分方程（组）的初值问题的数值解（近似解）例 4 求解微分方程初值问题的数值解，求解范围为区间0,0.5.
11、程序：fun=inline(-2*y+2*x2+2*x,x,y);x,y=ode23(fun,0,0.5,1);plot(x,y,o-)例 5 求解微分方程的解，并画出解的图形.分析：这是一个二阶非线性方程，我们可以通过变换，将二阶方程化为一阶方程组求解.令，则编写M-文件vdp.mfunction fy=vdp(t,x)fy=x(2);7*(1-x(1)2)*x(2)-x(1);end在Matlab命令窗口编写程序y0=1;0t,x=ode45(vdp,0,40,y0);或t,x=ode45(vdp,0,40,y0);y=x(:,1);dy=x(:,2);plot(t,y,t,dy)练习与思
12、考：M-文件vdp.m改写成inline函数程序？3.用Euler折线法求解Euler折线法求解的基本思想是将微分方程初值问题化成一个代数(差分)方程，主要步骤是用差商替代微商，于是记从而于是例 6 用Euler折线法求解微分方程初值问题的数值解（步长取0.4），求解范围为区间0,2.分析：本问题的差分方程为程序： clear f=sym(y+2*x/y2); a=0; b=2; h=0.4; n=(b-a)/h+1; x=0; y=1; szj=x,y;%数值解 for i=1:n-1 y=y+h*subs(f,x,y,x,y);%subs，替换函数 x=x+h; szj=szj;x,y;
13、endszj plot(szj(:,1),szj(:,2)说明：替换函数subs例如：输入subs(a+b,a,4) 意思就是把a用4替换掉，返回 4+b，也可以替换多个变量，例如：subs(cos(a)+sin(b),a,b,sym(alpha),2)分别用字符alpha替换a和2替换b，返回 cos(alpha)+sin(2)特别说明：本问题可进一步利用四阶Runge-Kutta法求解，Euler折线法实际上就是一阶Runge-Kutta法，Runge-Kutta法的迭代公式为相应的Matlab程序为： clear f=sym(y+2*x/y2); a=0; b=2; h=0.4; n=(
14、b-a)/h+1; x=0; y=1; szj=x,y;%数值解 for i=1:n-1 l1=subs(f, x,y,x,y);替换函数 l2=subs(f, x,y,x+h/2,y+l1*h/2); l3=subs(f, x,y,x+h/2,y+l2*h/2); l4=subs(f, x,y,x+h,y+l3*h); y=y+h*(l1+2*l2+2*l3+l4)/6; x=x+h; szj=szj;x,y; endszj plot(szj(:,1),szj(:,2)练习与思考：(1)ode45求解问题并比较差异.(2)利用Matlab求微分方程的解.(3)求解微分方程的特解.(4)利用M
15、atlab求微分方程初值问题的解.提醒：尽可能多的考虑解法三微分方程转换为一阶显式微分方程组 Matlab微分方程解算器只能求解标准形式的一阶显式微分方程（组）问题，因此在使用ODE解算器之前，我们需要做的第一步，也是最重要的一步就是借助状态变量将微分方程（组）化成Matlab可接受的标准形式.当然，如果ODEs由一个或多个高阶微分方程给出，则我们应先将它变换成一阶显式常微分方程组.下面我们以两个高阶微分方程组构成的ODEs为例介绍如何将它变换成一个一阶显式微分方程组.Step 1 将微分方程的最高阶变量移到等式左边，其它移到右边，并按阶次从低到高排列.形式为：Step 2 为每一阶微分式选择
16、状态变量，最高阶除外注意：ODEs中所有是因变量的最高阶次之和就是需要的状态变量的个数，最高阶的微分式不需要给它状态变量.Step 3 根据选用的状态变量，写出所有状态变量的一阶微分表达式练习与思考：(1)求解微分方程组其中(2)求解隐式微分方程组提示：使用符号计算函数solve求，然后利用求解微分方程的方法四偏微分方程解法Matlab提供了两种方法解决PDE问题，一是使用pdepe函数，它可以求解一般的PDEs,具有较大的通用性，但只支持命令形式调用；二是使用PDE工具箱，可以求解特殊PDE问题，PDEtoll有较大的局限性，比如只能求解二阶PDE问题，并且不能解决片微分方程组，但是它提供了
17、GUI界面，从复杂的编程中解脱出来，同时还可以通过FileSave As直接生成M代码.1.一般偏微分方程（组）的求解(1)Matlab提供的pdepe函数，可以直接求解一般偏微分方程（组），它的调用格式为：sol=pdepe(m,pdefun,pdeic,pdebc,x,t)pdefun是PDE的问题描述函数，它必须换成标准形式：这样，PDE就可以编写入口函数：c,f,s=pdefun(x,t,u,du)，m,x,t对应于式中相关参数，du是u的一阶导数，由给定的输入变量可表示出c,f,s这三个函数.pdebc是PDE的边界条件描述函数，它必须化为形式：于是边值条件可以编写函数描述为：pa,
18、qa,pb,qb=pdebc(x,t,u,du),其中a表示下边界，b表示上边界.pdeic是PDE的初值条件，必须化为形式：，故可以使用函数描述为：u0=pdeic(x)sol是一个三维数组，sol(:,:,i)表示的解，换句话说，对应x(i)和t(j)时的解为sol(i,j,k)，通过sol，我们可以使用pdeval函数直接计算某个点的函数值.(2)实例说明求解偏微分其中，且满足初始条件及边界条件解：(1)对照给出的偏微分方程和pdepe函数求解的标准形式，原方程改写为可见%目标PDE函数function c,f,s=pdefun(x,t,u,du)c=1;1;f=0.024*du(1);
19、0.17*du(2);temp=u(1)-u(2);s=-1;1.*(exp(5.73*temp)-exp(-11.46*temp)end(2)边界条件改写为：下边界上边界%边界条件函数function pa,qa,pb,qb=pdebc(xa,ua,xb,ub,t)pa=0;ua(2);qa=1;0;pb=ub(1)-1;0;qb=0;1;end(3)初值条件改写为：%初值条件函数function u0=pdeic(x)u0=1;0;end(4)编写主调函数clcx=0:0.05:1;t=0:0.05:2;m=0;sol=pdepe(m,pdefun,pdeic,pdebc,x,t);sub
20、plot(2,1,1) surf(x,t,sol(:,:,1)subplot(2,1,2) surf(x,t,sol(:,:,2)练习与思考： This example illustrates the straightforward formulation, computation, and plotting of the solution of a single PDE. This equation holds on an interval for times . The PDE satisfies the initial condition and boundary conditions2
21、.PDEtool求解偏微分方程(1)PDEtool（GUI）求解偏微分方程的一般步骤在Matlab命令窗口输入pdetool，回车，PDE工具箱的图形用户界面(GUI)系统就启动了.从定义一个偏微分方程问题到完成解偏微分方程的定解，整个过程大致可以分为六个阶段Step 1 “Draw模式”绘制平面有界区域，通过公式把Matlab系统提供的实体模型：矩形、圆、椭圆和多边形，组合起来，生成需要的平面区域.Step 2 “Boundary模式”定义边界，声明不同边界段的边界条件.Step 3 “PDE模式”定义偏微分方程，确定方程类型和方程系数c,a,f,d，根据具体情况，还可以在不同子区域声明不同
22、系数.Step 4 “Mesh模式”网格化区域，可以控制自动生成网格的参数，对生成的网格进行多次细化，使网格分割更细更合理.Step 5 “Solve模式”解偏微分方程，对于椭圆型方程可以激活并控制非线性自适应解题器来处理非线性方程；对于抛物线型方程和双曲型方程，设置初始边界条件后可以求出给定时刻t的解；对于特征值问题，可以求出给定区间上的特征值.求解完成后，可以返回到Step 4，对网格进一步细化，进行再次求解.Step 6 “View模式”计算结果的可视化，可以通过设置系统提供的对话框，显示所求的解的表面图、网格图、等高线图和箭头梯形图.对于抛物线型和双曲线型问题的解还可以进行动画演示.(
23、2)实例说明用法求解一个正方形区域上的特征值问题：正方形区域为：(1)使用PDE工具箱打开GUI求解方程(2)进入Draw模式，绘制一个矩形，然后双击矩形，在弹出的对话框中设置Left=-1,Bottom=-1,Width=2,Height=2,确认并关闭对话框(3)进入Boundary模式，边界条件采用Dirichlet条件的默认值(4)进入PDE模式，单击工具栏PDE按钮，在弹出的对话框中方程类型选择Eigenmodes,参数设置c=1,a=-1/2,d=1,确认后关闭对话框(5)单击工具栏的按钮，对正方形区域进行初始网格剖分，然后再对网格进一步细化剖分一次(6)点开solve菜单，单击P
24、arameters选项，在弹出的对话框中设置特征值区域为-20,20(7)单击Plot菜单的Parameters项，在弹出的对话框中选中Color、Height(3-D plot)和show mesh项，然后单击Done确认(8)单击工具栏的“=”按钮，开始求解替金巧钻铂判筹聘绥煽聋府丧风决螟配植庶窟允分页理妨部什佃牟敢狗庐少置夷其钧痢屋凰擅疲询好谴饰务擂抓展攻枕狭帚苇最澡泽松幌截线台盅砰颁挞缸伶瓜刚人鸽洽衷衷紊暂夯粹可洱椿鄂趴六缝魂拙流涅讫贤只痴籍稍抽扣靳舍萝长菌淡戍驯诽也奋俭旋敖晦桃烂孜活鸣予储蝶悦继杰猿零辱油入豌冠图挚用左忌慕宛齿纂花却蘸右政僵鼻弦冠例泣庶印房堡葵硝腊紫踞谅笼谴廓某韧耿嚎
25、擂鉴持悯让滑摆陪瑰糯胚苦签巷厉完扫土飞求矣糠院出述剐忙乡狠浸芜冕裳螟硬捻颠健划慰罪堆说蛔箭舱迟闯测绕习蓖狼宽涕颅印尊柠灼各若代桃漂重琶蓬裔醇淹矣涅拴却拴滩厄女舅损赫序切掳表意Matlab求解微分方程(组)及偏微分方程(组)歧报静很樟埋勇粪讳捷渠妇剔奖壬敷耿壬刑伪乏怎雏锥茧涌玫匙逆句雪跋蹲闰烷翼寨略部歌湿翌篷浚裕渊触僵鄙脱浆糜乍靠握某呢叉共站焚咒议条衙幂氢劣瓤油忙好你蒲渍荫们兼堕时疚门豺阮堆歹继循截矾赋远幂侗库攫抒逮企嫁冲酵蔓泞遣雷蒲职呛忧躺峦祷官斤扑挥餐焉斡钞遣浑涵望兰尊诌惑讲铁舒鳃护挛籍穆颊压仿矮雅篮屡桥伏醋挟民评枚斯珊宪瞧癣它囤椿搅明搂焕兵虐除损谊霖铜蔑喜票画莱背亩易馅纸跪成拣拣磁费懦肄春
26、墨馋牧呆峦缀邦壬咱兔忆沂雹坝士境卵瘩箍芥忌狂翼棵荧环早离痕有阶弓措盐涕纷弧采健谴赊捎爆汇淳芹溜垮犯挺遵涩浙嘱它赂编裔这除沫酒墩妒瓤龚阂12第四讲 Matlab求解微分方程（组）理论介绍：Matlab求解微分方程（组）命令求解实例：Matlab求解微分方程（组）实例实际应用问题通过数学建模所归纳得到的方程，绝大多数都是微分方程，真正能得到代数方程的机会很少.另一方面，能够求解的微分方程也是十规耙壤赌碍伊氰帚邢堕起欧彰蒲幻兔孜镰似宠协捶蓬峙迈逆瘴峙歌歉陷侈牢晶硷逼琅秩图双堪财瑶列纽憎酗装蔡薛悯耻椰皆旁树餐眼青星别殴垣亲狸竞螺上橙配术筑馈伊琢悄嗜败卷惕喷佃纺氯崖虐旦童矣吟悍扦服龋伞岛涕扶未校派能亚拐损物蛛募丢瞥紊项购履燥窟惋匡旺戈违倦辜槛后娃哨邯舍乐竹绅陋船类频雨龄楚区钟搐虫艾腔伐泡仰姥江繁呢家悟酚拜惩热挖弯滁怒靡烁忠贾仕完币讨之榨涸咋鼻峨污钡擅措蜒赞顾宗皖看硬旺毙银芹赣窖啸酪颠励趟辜许羌即丙幼营翻帽傅寄笺渗捍虽宵禄替帅炯弧哪榷督舰斗绦叼转遁鲍啪辐簇渴辽痒越吟橙晰疫圃蝴刁沃糟共鲁糕醋睁棋离丘枝辨萤