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1、教师专用版 本专题讲练.几何当中的一题多解 （整理人：初三数学教研组）一、原题在线2.（2010年四月调考）如图，AE是ABC外接圆O的直径，AD是ABC的边BC上的高，EFBC，F为垂足。（1）求证：BF=CD（2）若CD=1，AD=3，BD=6，求O的直径。（1）证法一：延长EF交O于P，连BP。AE是直径 ABE=900 ABC+EBC=900又EFBC BEP+EBC=900BEP=ABC AC=BP ACB=PBC又ADC=PFB=900 ACDPBF CD=BF证法二：同上证法三：作OHBC于H，则ADOHEF AO=EO DH=FH又OHBC CH=BH CD=BF证法四：作OH
2、BC于H，连OD，连FO并延长交AD于G易证AGOEFO OF=OGADBC OD=OG=OF OHBCDH=EH CH=BH CD=BF（2）CD=1 AD=3 AC= ACEABD CE= AE=二、难题课堂（摘选台湾数学爱好者-经典难题-几何中的钻石）4. 如图已知：AB=AC，A=ACB=20O，ABE=30O 求CDE=？（以下解法纯属原创，字体部分略有改动）【共12种解法】解1： 1. 由已知條件可得:(1) AB=AC ABC=ACB=(180O-20O)2=80O(2) A=ACD=20O AD=CD(3) CBE=80O -30O =50O又CEB=180O -80O -50
3、O =50O CBE=CEB BC=EC(4) BCD=80O -20O =60O，BDC=20O +20O =40O（外角） 2. BCD中：BCD=60O，BDC=40O 由正弦定理得： = =2cos40O.(1) BAE中：ABE=30O，DEC=180O -BEC=180O -50O=130O 由正弦定理得： =2sin50 O =2cos40O(2) 由(1) (2) 得 且A=ACB可知 ABEADC CDE=ABE=30O解2：BCD中 =(1) CDE中 (2) 且BC=CE2sincos40O=sin(160O-) 2sincos40O=sin(20O+)2sincos40
4、O=sin20Ocos+cos20Osinsin20Ocos= sin(2cos40O-cos 20O) 0180O = 30O解3：1. 以AC为边长作等边三角形AFC并交AB与 G点，AF =CF=AC=AB BCD=(180O-20O)2-20O=60O=F， FAG=60O-20O=BCD=20O+20O AFGDCB.(1) 2. BC=CE (BCE= 30O +20O=CBE=80O-30O)BC=GC (CBG=CGB=80O) BC=CE =GC.(2) 由(1)(2) 得 AE=FG且 (AF=AB，FG=AE) 3. ABE与CDE中 ABECDE 得=ABE=30O解4
5、： (1).將ABC分別以AB、AC為軸向左右翻折成、 使得ABC (2). AD=CD(A=ACD)，(對稱) AD= 又且共用 得=30O ( 3). BEC=50O(對稱)=+ =-=50O-20O=30O 由( 2) ( 3) =30O又=30O D、E、共線 (4). BAC=ABD=20O /DC =30O解5： (1). 延長BC至F使得CF=CD，連結D、F且DCB= 60O，可得等邊三角形DFC，DF=CF=CD，DFC =CDF=DCB= 60O (2). 作F之角平分線交AB於G點，則DFG =BFG=30O (3). DF=CF，DFG =BFG=30O，FG =FG
6、DFGCFG 可得FDG=FCG=20O(FDG=60O-40O=20O) (4). CF=CD，BC=CE(CBE=CEB=50O)又DCE=FCG=20O CFGCDE可得 = FCG=30O解6： 1. 以AD為邊長作等邊三角形ADF並交AB於G點，可得AF=DF=AD，ADF=DAF=F =60O2. (1). AF=DF又AD=CD可得AF=DF=CD(2). BDC =DAC+DCA=20O +20O=40OFAG=60O-DCA=40O BDC = FAG=40O(3). BDC=F (BDC= 80O -20O =60O)由(1)(2)(3) 可得 AGFDBC AG=DB，B
7、C=GF 3. AD+BD=AG+CG又AG=DB CG=AD CG=CD=DF BC=GF=CE又CG=CD=DF GD=GE GDE=GED DGE=AGF=DBC=80O GDE= (180O -80O )2=50O可得 = CDG-GDE =80O -30O 解7： 1. (1).將ABC分別以AB為軸向右翻折成ACF，可得ABCACF (2).在DB上取一點G，使得GCB=20O， 又CGB=GCB=80O CG=CB(3) 連結G、F 2. CB =CF(對稱)， CB=CG CG=CF 得BCG=CGF=CFG=20O GF/BC AGFDBC 3. CG=CB=DG 又 DF平
8、分F DFG=DFA=30O(角平分線定理)而ABE=30O =EFA (對稱) D、E、F共線 4. ACD=CAF=20O AF/DC 可得 = AFD = 30O 解8： 1. 以CD為邊長作等邊三角形CDF，可得CF=DF=CD，CDF=DCF=F =60O 2. 在DB上取一點G，使得GCB=20O CGB=GCB=80O CG=CB3. GCD與ECF中： CD=CF CE=CB(CBE=CEB=50O) CB= CG CE=CG DCF=DCE+FCE =60O =DCB=DCG+GCB又GCB=ACD= 20O FCE=DCG GCDECF CFE=CDG= 40O4. CDE
9、與FDE中： DF=DC，DE=ED又CFE=CDG= 40O CDEFDE =CDF= 30O 解9： (1). 延長BC至F使得CF=CD，連結D、F且DCB= 60O，可得等邊三角形DFC，DF=CF=CD，DFC =CDF=DCB= 60O (2). 取AB線上一點G使得CG=CD ，連結D、G CDG =CGD=80O (3) DFB與ADG中： AD=DC=DF，AG=DB又FDB=DAG= 20O DFBADG BF=DG(4) CE+EG=CB+FB 且 BC=CE 又 BF=DG GD=GE. GD=GE ，DEG =GED=50O =80O-50O = 30O解10： (1
10、). 取CD線上一點F，使得CE=CF CEF =CFE=80O (2). 延長EF交AB線上一點G，GBC=CFE=80O C、F、G、B共圓 GBF=GCF=20O，BGC=BFC=60O (3) 取AG線上一點H，使得 BGC=GHC=60O，AEH=GCD+DCA=40O， (4).GHC=60O 又 GEH=60O(180O -AEH-CEF=180O-40O -80O=60O) HGE為等邊三角形 (5). GCD=DCA=20O 又 (EH/CG) DE平分GEAGED=AED=(180O-80O)=50O (6). AED=+ DCA =50O-20O = 30O解11： (1
11、) 以A為圓心，AB為半徑畫圓； (2) 分別以B、C為圓心B、C為半徑畫弧交圓A於F、G點 (3) 以F為圓心，AF為半徑畫弧交圓A於M點.(4) 連結BF、CG、AF、AG、FG，再連結MG交AF於N點；則AMF、AFG皆為正，且AF與MG互相垂直平分於N點(5) AD=FD，且AF與MG互相垂直平分 N、D點皆在MG線上(6) DGF=30O(NG平分AGF)，FGC=AGC-AGF=80O-60O=20O DGC=DGF+ FGC =30O+20O=50O又EGC=EBC =50O D、E皆在MG線上 (7) AED=+ DCA =50O-20O = 30O解12： (1). AB取一
12、點F點,使FBC=20。(2). 因為ABC=80，BCF=80，因此，BC=CF。(3). 因為ACB=80，CBE=50，因此，CEB=50，所以BC=EC。(4). 由(2),(3)知CF=CE。又ECF=60，所以CF=EF。(CEF是正)(5). BCD=BAE+ACD=20+20=40。又DCF=40，因此FD=FC。(6). 以F為圓心，FE為半徑作圓。此圓過D、E、C點。(7). 2EDC=EFC=60，所以EDC=30 。三、习题（你能想到几种解法呢望各位老师在以后的试卷里看到老图形新结论，新图形旧结论）7.（2010年上海市中考数学试卷第23题）已知梯形ABCD中，AD/BC，AB=AD（如图7所示），BAD的平分线AE交BC于点E，连结DE.图7（1）在图7中，用尺规作BAD的平分线AE（保留作图痕迹，不写作法），并证明四边形ABED是菱形；（2）ABC60，EC=2BE，求证：EDDC.11普通教学a