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1、课题学习,猜想,证明与拓广,教学目标： 1.知识与技能 (1)经历猜想、证明、拓广的过程，增强问题意识和自主探索意识，获得探索和发现的体验. （2）在问题解决过程中综合运用所学的知识，体会知识之间的内在联系，形成对数学的整体性认识. 2.过程与方法 在探究过程中,感受由特殊到一般、数形结合的思想方法，体会证明的必要性;发展学生的推理能力. 教学重点难点 1.重点:通过对一个开放性、探究性的课题的探索，获得探索和发现的体验，体现归纳、综合和拓展，感悟处理问题的策略和方法. 2.难点:处理问题的策略和方法.,挑战“自我”,猜想,证明与拓广,1.任意给定一个正方形,是否存在另一个正方形,它的周长和面
2、积分别是已知正方形周长和面积的2倍?,2.你准备怎么去做? 3.你有哪些解决方法?,挑战“自我”,解:设给定的正方形边长为a,则其面积是a2.,猜想,证明与拓广,若周长倍增,即边长变为2a,则面积应为4a2;,若面积倍增,即面积变为2a2,则其边长应为 a.,无论从哪个角度考虑,都说明不存在这样的正方形.,挑战“自我”,猜想,证明与拓广,任意给定一个矩形,是否存在另一个矩形,它的周长和面积是已知矩形周长和面积的2倍?,老师提示: 矩形的形状太多了我们可以先研究一个具体的矩形,比如长和宽分别为2和1,怎么样?,挑战“自我”,由特殊到一般,解:如果矩形的长和宽分别为2和1,那么其周长和面积分别为6
3、和2.,所求矩形的周长和面积应分别为12和4.,接下来该怎么做?你有何想法?,有两种思路可供选择: 先从周长是12出发,看面积是否是4; 或先从面积是4出发,看周长是否是12.,挑战“自我”,(1)从周长是12出发,看面积是否是4; 如果设所求矩形的长为x,那么它宽为6-x,其面积为x(6-x).根据题意,得 x(6-x)=4. 即 x2-6x+4=0. 如果这个方程有解,则说明这样的矩形存在. 解这个方程得:,猜想,证明与拓广,结论:如果矩形的长和宽分别为2和1,那么存在另一个矩形,它的周长和面积是已知矩形周长和面积的2倍.,挑战“自我”,(2)从面积是4出发,看周长是否是12. 解:如果设
4、所求矩形的长为x,那么宽为4/x,其周长为x+4/x).根据题意,得 x+4/x=6. 即 x2-6x+4=0. 显然这个方程有解,由此说明这样的矩形存在. 解这个方程得:,猜想,证明与拓广,结论:如果矩形的长和宽分别为2和1,那么存在另一个矩形,它的周长和面积是已知矩形周长和面积的2倍.,挑战“自我”,由特殊到一般,如果已知矩形的长和宽分别为3和1,是否还有相同的结论? 如果已知矩形的长和宽分别为4和1,5和1,n和1呢? 更一般地,当已知矩形的长和宽分别为m和n时,是否仍然有相同的结论? 还等什么！用实际行动证明.,由特殊到一般,挑战“自我”,分析:如果矩形的长和宽分别为m和n,那么其周长
5、和面积分别为2(m+n)和mn,所求矩形的周长和面积应分别为4(m+n)和2mn. 从周长是4(m+n)出发,看面积是否是2mn; 解:如果设所求矩形的长为x,那么它宽为2(m+n)-x,其面积为x2(m+n)-x.根据题意,得 x2(m+n)-x=2mn. 即 x2-2(m+n)x+2mn=0. 解这个方程得:,若从面积是2mn出发,可得同样的结论.,挑战“自我”,结论:任意给定一个矩形,必然存在另一个矩形,它的周长和面积是已知矩形周长和面积的2倍.,猜想,证明与拓广,老师期望: 同学们,把自己对上述探究过程中的方法和感受与同伴进行交流,这样会使受益匪浅.,老师提示: 在探索结论:“任意给定
6、一个矩形,必然存在另一个矩形,它的周长和面积是已知矩形周长和面积的2倍.”的过程中,我们经历了猜想,由特殊到一般的尝试,证明,拓广的全过程,从而得到了一般性的结论.,任意给定一个矩形,是否一定存在另一个矩形,它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的一半? 你准备怎么去做?请预习书第167页,猜想,证明与拓广,挑战“自我”,挑战自我,1.观察下列各式:,你能得到怎样的结论?并证明你的结论.,解题思路:通过类比引伸推广,归纳出一般结论,解题关键是探索归纳,猜想.,2.已知:(1)如图,ABBD于点B,CDBD于点D, AD和BC相交于点E,EFBD于点F. 求证:,(2)若将图1中的垂直改为斜交,如图2,AB/CD,AD与BC相交于点E,EF/AB交BD于点F,则(1)的结论还成立吗?如果成立,请给予证明;不成立,请说明理由.,(3)猜想SABD、SBED和SBDC有什么关系?并证明你的猜想.,知识的升华,P155习题 1、2题. 祝你成功！,驶向胜利的彼岸,结束寄语,函数来自现实生活,函数是描述现实世界变化规律的重要数学模型. 函数的思想是一种重要的数学思想,它是刻画两个变量之间关系的重要手段. 从函数的图象中获取信息的能力是学好数学必需具有的基本素质.,