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1、2.3数学归纳法,第二章推理与证明,学习导航 学习目标 重点难点 重点:用数学归纳法证明一些简单的数学命题. 难点:数学归纳法的原理理解.,1.数学归纳法 一般地,证明一个与正整数n有关的命题,可按下列步骤进行: (1)(归纳奠基)证明当n取第一个值_时命题成立;,n0(n0N*),(2)(归纳递推)假设_时命题成立,证明当_时命题也成立. 只要完成这两个步骤,就可以断定命题对从n0开始的所有_都成立. 上述证明方法叫做_.,nk(kn0,kN*),nk1,正整数n,数学归纳法,2.用框图表示数学归纳法的步骤,想一想 数学归纳法的第一步n的初始值是否一定为1? 提示:不一定.,【名师点评】用数
2、学归纳法证明与自然数有关的一些等式命题关键在于“先看项”,弄清等式两边的构成规律,等式的两边各有多少项,项的多少与n的取值是否有关.由nk到nk1时,等式的两边会增加多少项,增加怎样的项.,变式训练,【名师点评】对于与正整数有关的不等式的证明,如果用其他方法比较困难,此时可考虑使用数学归纳法证明,使用数学归纳法的难点在第二个步骤上,这时除了一定要运用归纳假设外,还要较多地运用不等式证明的其他方法,对所要证明的不等式加以变形,寻求其与归纳假设的联系是问题的突破口.,变式训练 2.求证:如果x是实数,x1且x0,n为大于1的自然数,那么(1x)n1nx.,证明:(1)当n2时,左边(1x)212x
3、x2, 右边12x,因为x0,所以不等式成立. (2)假设当nk时不等式成立,即(1x)k1kx. 那么当nk1时, 左边(1x)k1(1x)k(1x),因为x1,所以上式(1kx)(1x)1(k1)xkx21(k1)x. 所以当nk1时,不等式成立. 由(1)(2)及数学归纳法可知原不等式成立.,【思路点拨】,【名师点评】由已知求出数列的前几项,提出猜想,然后再用数学归纳法证明,证明的关键是根据已知条件和假设寻找ak与ak1 或Sk与Sk1之间的关系,使命题得证.,变式训练 3.已知数列an的第一项a15且Sn1an(n2,nN*). (1)求a2,a3,a4,并由此猜想an的表达式; (2
4、)用数学归纳法证明an的通项公式. 解:(1)a2S1a15,a3S2a1a210, a4S3a1a2a3551020, 猜想an52n2(n2,nN*).,3.求证an1(a1)2n1能被a2a1整 除,nN*. 证明:(1)当n1时,a11(a1)211a2a1,命题显然成立. (2)假设当nk时, ak1(a1)2k1能被a2a1整除,则当nk1时, ak2(a1)2k1aak1(a1)2(a1)2k1 aak1(a1)2k1(a1)2(a1)2k1a(a1)2k1 aak1(a1)2k1(a2a1)(a1)2k1. 由归纳假设,上式中的两项均能被a2a1整除,故当nk1时命题成立. 由
5、(1)(2)可知,对nN*,命题成立.,方法技巧 数学归纳法的两个步骤之间的联系 第一步是验证命题递推的基础,第二步是论证命题递推的依据,这两个步骤缺一不可,只完成步骤(1)而缺少步骤(2)就作出判断,可能得出不正确的结论.因为单靠步骤(1),无法递推下去,即n取n0以后的数时命题是否正确,我们无法判定,同样只有步骤(2)而缺少步骤(1)时,也可能得出不正确的结论,缺少步骤(1)这个基础,假设就失去了成立的前提,步骤(2)也就没有意义了.,失误防范 应用数学归纳法应注意: (1)数学归纳法仅适用于与正整数n有关的数学命题的证明. (2)在证明nk1命题成立时,必须使用归纳假设的结论,否则就不是数学归纳法.,本部分内容讲解结束,按ESC键退出全屏播放,