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1、,线性代数期末复习,1,线代期末复习,题型分析：,填空题、选择题 15-30%,基本计算题 75-50%,证明题 10-20%,2,线代期末复习,务必掌握的计算：,1、三、四阶行列式、 n 阶行列式、 箭形行列式、 范德蒙行列式的计算。,2、解非齐次线性方程组（含参数）。 或向量组的线性表出问题。,3、求矩阵的秩（向量组的秩与最大无关组） 、 求矩阵的逆（如 解矩阵方程）。,4、求平面与直线的方程及位置关系。,5、用正交变换化实二次型为标准形。 或化二次方程为标准方程 或(用正交矩阵将实对称)矩阵对角化(方阵的k次幂）。 或已知实对称阵A的特征值、特征向量，求A。 或判定实二次型的正定性。,3
2、,线代期末复习,证明题：,1、向量组的线性相关性.,2、矩阵的可逆性.,3、矩阵的特征值与特征向量.,4、其它。,4,线代期末复习,n 阶方阵A可逆的充要条件：,5,线代期末复习,设n阶方阵A满足：,则,（2）kA的特征值为（ ）；,（3）Ak的特征值为（ ）；,（1）AT的特征值为（ ）；,（4）A可逆时，A-1的特征值为（ ）；,（5）A可逆时，A*的特征值为（ ）；,（6）设,则f(A)的特征值为（ ）,矩阵的特征值与特征向量：,的特征值（ ）,6,线代期末复习,特征向量的性质：,1,2 矩阵 A 不同特征值对应的特征向量线性无关 .,3 实对称矩阵 A 不同特征值对应的特征向量相互正交
3、。 .,7,线代期末复习,向量组的线性相关性：,1、若1, 2, , s线性无关， ,1, 2, , s线性相关，则 可由1, 2, , s线性表出，且表达式唯一。,2、若向量组()可由组()线性表出，则 R(）R(),3、若向量个数“多”的向量组可由个数“少”的线性表出， 则“多”的向量组必线性相关。,4、整体无关，则部分无关。（部分相关则整体相关）。,5、维数小于个数的向量组必线性相关。,8,线代期末复习,1, 2, , n线性无关, AX = 0 只有零解.,R(1, 2, , n)=n;,若x11+ x22+ + xmm =0，则 有 x1= x2= = xm=0,A=(1, 2, ,
4、 n),9,线代期末复习,1、AX = 0 有非零解, A的列向量组 1, 2, , n线性相关,设A =(1, 2, , n),线性方程组解的存在性：,2. AX = 0 只有零解,A的列向量组 1, 2, , n线性无关,( n为A的列数！,n亦为方程未知量的个数！）,10,线代期末复习,3、AX = b 有解, b可由1, 2, , n线性表出,11,线代期末复习,2、平面及直线的方程及位置关系。,1、向量的加、减、数乘、内积、外积、混合积。,空间解析几何：,3、三类二次曲面的标准方程及图形, 柱面方程与旋转面方程及图形.,12,线代期末复习,实对称矩阵的相似对角化 .,即: 实对称阵必
5、可对角化！,实对称阵A与 既相似又合同！,13,线代期末复习,用正交变换化实二次型为标准形,对任实二次型f(X),都存在正交变换X=CY, 使,其中 1 ，2 ，n是A 的特征值.,定理:,注：1.可逆变换不改变二次型的正、负惯性指数， 因此可逆变换也不改变二次型的正定性.,2.可逆变换不改变二次型的秩。,14,线代期末复习,(2002级期末考试题),填空题:,15,线代期末复习,选择题:,-,-,16,线代期末复习,A,（2004年考研题一）,选择题:,17,线代期末复习,A,（2003级期末考题）,（92年考研一）,选择题,18,线代期末复习,D,选择题,19,线代期末复习,D,（线性代数
6、单元检测题三）,选择题,20,线代期末复习,B,（线性代数单元检测题三）,21,线代期末复习,（2009年期末考题10分）,22,线代期末复习,例,(2005年数学竞赛题10分),.,(2015年期末考试题8分）,23,线代期末复习,第六章习题解答,(见P212定理1）,24,线代期末复习,（注意：此题没要求求正交变换！）,设实二次型,25,线代期末复习,26,线代期末复习,27,线代期末复习,28,线代期末复习,29,线代期末复习,.,30,线代期末复习,完!,谢谢大家！,31,线代期末复习,（年考研一）,32,线代期末复习,选择题:,33,线代期末复习,P208，18、某生产线每年一月份进行熟练工与非熟练工的 人数统计，然后将1/6熟练工支援其它部门，其缺额 由招收新的非熟练工补充。新老非熟练工经培训及 年终考核有2/5成为熟练工。设第n 年一月份统计的 熟练工和非熟练工所占百分比分别为xn,yn,记为,（1）求 与 的关系，并写成矩阵形式。,解：,34,线代期末复习,35,线代期末复习,36,线代期末复习,（2010年期末考题10分）,37,线代期末复习,祝新年快乐！,谢谢大家！,38,线代期末复习,