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1、2.5 夹角的计算,1,北师大版选修2夹角计算,一、复习引入,用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”.,（1）建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题；,（2）通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间距离和夹角等问题；,（3）把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义。,（化为向量问题）,（进行向量运算）,（回到图形）,2,北师大版选修2夹角计算,二、空间“夹角”问题,1.异面直线所成角,l,m,l,m,若两直线 所成的角为 , 则,3,北师大版选修2夹角计算,1共面直线的夹角 当两条直线l1与l2共面时，我们把两条直
2、线交角中，范围在_内的角叫作两直线的夹角 2异面直线的夹角 当直线l1与l2是异面直线时，在直线l1上任取一点A作ABl2，我们把直线l1与直线AB的夹角叫作异面直线l1和l2的夹角,s1，s2,s1，s2,|coss1，s2|,总结：,4,北师大版选修2夹角计算,例1.,5,北师大版选修2夹角计算,解：以点C为坐标原点建立空间直角坐标系 如图所示，设 则：,所以：,所以 与 所成角的余弦值为,6,北师大版选修2夹角计算,2. 线面角,平面外一条直线与它在该平面内的投影的夹角叫作该直线与此平面的夹角夹角的范围是 ,7,北师大版选修2夹角计算,l,8,北师大版选修2夹角计算,例2.如图所示，已知
3、直角梯形ABCD，其中ABBC2AD，AS平面ABCD，ADBC，ABBC，且ASAB求直线SC与底面ABCD的夹角的正弦值,解析由题设条件知，以点A为坐标原点，分别以AD、AB、AS所在直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系(如图所示),9,北师大版选修2夹角计算,10,北师大版选修2夹角计算,将二面角转化为二面角的两个面的方向向量（在二面角的面内且垂直于二面角的棱）的夹角。如图（2），设二面角 的大小为 其中AB,3、二面角,方向向量法,11,北师大版选修2夹角计算,注意法向量的方向：同进同出，二面角等于法向量夹角的补角；一进一出，二面角等于法向量夹角,将二面角转化为二面角的两个面的法
4、向量的夹角.如图，向量 ，则二面角 的大小 ,若二面角 的大小为 , 则,法向量法,3、二面角,12,北师大版选修2夹角计算,总结：,n1，n2,n1，n2,|cosn1，n2|,13,北师大版选修2夹角计算,例2 正三棱柱 中，D是AC的中点，当 时，求二面角 的余弦值。,14,北师大版选修2夹角计算,故,则可设 =1， ，则B(0,1,0),作 于E, 于F， 则 即为二面角 的大小,在 中， 即E分有向线段 的比为,15,北师大版选修2夹角计算,由于 且 ，所以,在 中，同理可求,即二面角 的余弦值为,16,北师大版选修2夹角计算,解法二：同法一，以C为原点建立空间直角坐标系 C-xyz,在坐标平面yoz中,设面 的一个法向量为,同法一，可求 B(0,1,0),由 得,解得,所以，可取,即二面角 的余弦值为,方向朝面外， 方向朝面内，属于“一进一出”的情况，二面角等于法向量夹角,17,北师大版选修2夹角计算,课堂小结：,1.异面直线所成角：,2.直线与平面所成角：,3.二面角：,关键：观察二面角的范围,18,北师大版选修2夹角计算,