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1、第四章 位置运动学,东北大学人工智能与机器人研究所 2016.9,几个基本概念,运动学：处理运动的几何学以及与时间有关的量， 而不考虑引起运动的力。 位置运动学：只处理运动的几何学，而不考虑运动 的时间。 机器人的位置运动学存在有两类问题： 1、根据关节变量求手部位姿是位置运动学正问题； 2、根据手部位姿求关节变量是位置运动学逆问题， 又称为手臂解。,关节空间,笛卡儿空间,正向变换,逆向变换,笛卡尔空间又常称之为任务空间,本章的主要内容,4.1D-H参数的确定 4.2从关节变量到手部位姿运动学正问题 4.3从手部位姿到关节变量运动学逆问题 习题,4.1 D-H参数的确定,具有n个关节自由度的机
2、器人系统，其齐次矩阵可表示为,为建立运动学方程，要讨论相邻连杆运动关系，为此引入机器人学中的重要参数Denavit-Hartenberg参数，简称为D-H参数。,4.1.1以回转副连接的两杆件的D-H参数的确定,定义：在杆件i-1前端的坐标系 视为基础坐标系B，在杆件i 前端的坐标系 视为运动 坐标系H。,i-1和i 关节各坐标轴的定义,C）手爪坐标系,z轴设在手指接近物体的方向，称为接近矢量 ；y轴设在两手指的连线方向，称为方位矢量 ；x轴由右手系确定，即 ，称为法向矢量。,B）基座坐标系和n坐标系的确定,从基座到末端执行器，给各关节依次标号：1，2，、，n；在基座上设置右手直角坐标系O0，
3、使Z0沿着关节1的轴线，X0或Y0可以任选。 最后一个坐标系On与末端执行器（手爪）的坐标系重合。,4.1.2 变换矩阵的确立,若已知四个参数 、 、 及 就完全确定了连杆i-1和连杆i之间的相对关系。对此，我们建立i-1和i坐标系之间的变换关系。对于旋转关节可以确定以下的齐次矩阵：,对于 旋转关节：,（1）绕Zi-1轴旋转i角，使Xi-1轴与Xi轴和Zi-1轴在同一平面上；,（2）沿Zi-1轴平移一距离di，使Xi-1轴与Xi轴重合；,（3）沿Xi轴平移一距离ai，使连杆i-1的坐标系原点与连杆i的坐标系原点重合；,（4）绕Xi轴旋转i角，使Zi-1轴与Zi轴重合。,将上式展开,4.1.3以
4、移动副连接的两杆件的 D-H参数的确定,若杆件以移动副相连接时，则连杆的坐标系的建立与参数的规定同回转副连接的杆件的规定相类似，但是连杆的长度已经没有意义，故可以令其为零。可得齐次矩阵为,4.2从关节变量到手部位姿 运动学正问题,4.2.1三种简化情况的齐次变换矩阵 a、 关节变量是伸缩臂的长度d,b、 -r 操作机（平行轴情况）,简化转动关节 条件：杆件均为直杆，即为公共法线，与x轴重合。故d=0.,4.2.2运动学方程求解实例,6关节机器人手爪坐标系,机器人的最后一个构件（手部）由三个自由度来确定位置，三个自由度确定其方向； 我们将描述其位置和方向的坐标系原点定在两个手指的中间，用一个向量
5、P描述这个原点；三个向量 ， 和 描述机器人的姿态； 当手部处于初始位置和姿态时，向量 指向手接近物体的方向，其单位向量 称为接近向量；向量 的单位向量 称为方向向量；向量 的单位向量 称为法线向量。,6关节机械手的端部对基座的关系可用下列矩阵表示：,变换Z机械手与参考坐标系的相对关系， 变换E机械手与其端部工具的关系， 变换X此工具端部对参考坐标系的位置和方向,从图中可求得：,具有6个简化转动关节的操作机,6个简化转动关节的操作机由转动坐标臂和手腕组成，如图所示：,6关节操作机齐次矩阵中的D-H参数,对于简化转动关节 。,由上述条件可得：,则：,其中：,PUMA560运动学方程,（）i是从X
6、i-1到Xi绕Zi-1旋转的角度； （）di是从Xi-1到Xi沿Zi-1测量的距离； （） ai是从Zi-1到Zi沿Xi测量的距离；（）i是从Zi-1到Zi绕Xi旋转的角度。,（1）连杆参数,（2）A矩阵,零位校验：,零位校验：,零位校验：,零位校验：,零位校验：,零位校验：,=,零位校验： 令 得,Stanford机器人 运动学,（）i是从Xi-1到Xi绕Zi-1旋转的角度； （）di是从Xi-1到Xi沿Zi-1测量的距离； （）ai是从Zi-1到Zi沿Xi测量的距离；（）i是从Zi-1到Zi绕Xi旋转的角度。,（1）连杆参数,（2）A矩阵,这里略去了零位校验,本文讲述的方法,书上讲述的方法
7、,3.1.3.3另一种连杆坐标系的建立,结论：,3 .选择不同的连杆坐标系，相应的连杆参数将会发生变化。,.一般来说，机器人的坐标系可以任意建立；,.如果不是按照D-H方法建立连杆坐标系，则不能按照A矩阵表达式来求解相邻连杆坐标系之间的变换；,4.3从手部位姿到关节变量 运动学逆问题,4.3.1 -r 操作机的手臂解 对于-r 操作机，其逆变换就是由表示手部位姿的齐次矩阵求操作机的两个关节变量。 由手坐标系到基座坐标系的齐次矩阵可以表示为：,即：,其中：,令上面矩阵的对应元素分别相等，则：,从而推出：,而：,令其中的对应元素分别相等，则可以得到：,正解：,其实问题很简单,逆解：,4.3.2手部
8、姿态角的确定,手部的姿态可以用绕x，y，z轴依次转动侧摆，俯仰和横滚获得：,等式左式与右式对应元素相等，最终可得：,4.3.3 6关节操作机的手臂解,6关节操作机位置运动学逆问题就是由描述手部位姿的齐次矩阵 求解构成手臂的六个关节角 、 、 、 、 、 ，这一逆问题又称为手臂解。 操作机手部位姿的齐次矩阵为：,将上式等式两边左乘以 矩阵则可以得到：,令左式与右式的矩阵元素（3，4）相等可得：,于是得到：,由于无法找到新的关节角的解，于是继续左乘 得到：,从以上方程无法找到有用的信息，这是因为这两个关节互相平行，事实上直到达到非平行关节时才能找到有用的方程，即：,进而可以写成：,令上式等式的对应
9、元素分别相等，则从（3,3）可以得到：,进而：,为了简化计算，规定：,所以：,最后为了获得 的信息，将最后的矩阵等式左乘以 可得到：,由上式可解出：,4.3.4 在求手臂解时出现的两个问题,奇异问题：当进行逆变换的计算时要做除法，而当分母趋于零时便会出现奇异现象。如在 r 操作机中r= 0。 退化问题：在求逆问题时可能出现多解现象，即同一操作机位姿对应于多于一组的关节变量的解存在，则手臂处于退化状态。显然这种不确定性的问题很容易解决。,奇异问题：,边界奇异形位：PUMA 560的3在-90附近，手臂伸直，处于边界奇异状态； 内部奇异形位：由两个关节轴线或多个关节轴线重合造成的。操作臂各关节运动
10、相抵消，不产生操作运动。PUMA 560 5= 0时，关节4和6轴线重合，丧失了一个自由度，处于内部奇异状态。,机器人奇异情况分析,退化问题,在操作机的设计中，为了达到回避障碍等目的，常常需要使操作机具有多于6个的自由度。这时同一手臂的位姿有无穷多个关节变量相对应，称为无穷退化手臂。人的手臂就具有这种特点。,PUMA机器人的四种运动学逆解,手腕翻转的两种逆解,习题 转动平动三关节手臂习题解 垂直三关节手臂习题解,3.1.3.5关节空间和操作空间,机械手的末端位姿由n个关节变量所决定，这n个关节变量统称为n维关节矢量 ，所有关节矢量 构成的空间称为关节空间。,末端手爪的位姿是在直角坐标空间中描述
11、的，即用操作空间或作业定向空间来表示。,各驱动器的位置统称为驱动矢量 。所有驱动矢量构成的空间称为驱动空间。,3.2 移动机器人运动学,以两轮差速驱动方式的移动机器人为例，建立其运动学方程。所做的基本假设如下： (1) 车体所在路面为光滑平面； (2) 车轮在运动过程中，在纵向作纯滚动，没有侧向滑移； (3)车体有关参数，如左右轮直径和左右轮间距在车体负载与空载情况下相同。,左轮,右轮,由理论力学的知识可知，P是机器人的速度瞬心，所以在两轮的连线上速度呈梯形线形分布，则o点的速度，也即移动机器人移动的线速度Vo为：,将线速度分别投影到世界坐标系上得：,由VL和VR与P构成的几何关系可得,从而可知移动机器人的角速度,于是可得移动机器人的运动学方程,又因为有：,The End of Chapter 4,