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1、在这里，没有考不上的研究生。高数中的重要定理与公式及其证明（一）考研数学中最让考生头疼的当属证明题， 而征服证明题的第一关就是教材上种类繁多的定理证明。 如果本着严谨的对待数学的态度， 一切定理的推导过程都是应该掌握的。但考研数学毕竟不是数学系的考试，很多时候要求没有那么高。而有些定理的证明又过于复杂， 硬要要求自己掌握的话很多时候可能是又费时又费力，最后还弄得自己一头雾水。因此，在这方面可以有所取舍。现将高数中需要掌握证明过程的公式定理总结如下。 这些证明过程， 或是直接的考点，或是蕴含了重要的解题思想方法， 在复习的初期， 先掌握这些证明过程是必要的。1）常用的极限limln(1 x)ex
2、1ax1ln a ，lim(1 x)a11cosx1x1 ，limx1，limxxa ，limx22x 0x 0x 0x 0x 0【点评】：这几个公式大家在计算极限的过程中都再熟悉不过了，但有没有人想1过它们的由来呢？事实上，这几个公式都是两个重要极限lim(1x) xe 与x 0lim sin x1的推论，它们的推导过程中也蕴含了计算极限中一些很基本的方法技x 0x巧。证明：lim ln(1 x)1e 两边同时取对数即得 lim ln(1 x)1 ：由极限 lim(1 x)x1 。x 0xx 0x 0xlimex 11：在等式 limln(1x)1 中，令 ln(1x)t ，则 xt1。由于
3、极限xxex 0x 0过程是 x0 ，此时也有 t 0，因此有 limt1。极限的值与取极限的符号tt 0e1是无关的，因此我们可以吧式中的t 换成 x ，再取倒数即得 lim ex11。x0xlim ax1ln a ：利用对数恒等式得 lim ax1lim ex ln a 1 ，再利用第二个极限可x 0xx 0xx 0x得 limex ln a1exln a1ax1xln a limln a 。因此有 limln a 。x 0x 0 xln ax 0x跨考魔鬼集训营 01在这里，没有考不上的研究生。lim(1x) a1a ：利用对数恒等式得x0xlim(1x) a1lim ealn(1x)1
4、a lim ea ln(1 x )1 ln(1 x)a lim ea ln(1 x )1 lim ln(1 x)ax0xx 0xx 0 a ln(1x)xx 0 a ln(1x) x 0x上式中同时用到了第一个和第二个极限。2sin 2 xsin x21cosx11cos x11：利用倍角公式得lim22。limx22limx22limx2x 0x 0x 0x2 x 022）导数与微分的四则运算法则(u v)u v ,d( u v) du dv(uv) uv uv ,d( uv)vduudv( u )vuuv,d( u )vduudv (v0)vv2vv2【点评】：这几个求导公式大家用得也很多
5、，它们的证明需要用到导数的定义。而导数的证明也恰恰是很多考生的薄弱点， 通过这几个公式可以强化相关的概念，避免到复习后期成为自己的知识漏洞。 具体的证明过程教材上有， 这里就不赘述了。3）链式法则设 yf (u), u(x) ，如果( x) 在 x 处可导，且f (u) 在对应的 u( x) 处可导，则复合函数 yf ( ( x) 在 x 处可导可导，且有：f ( (x)f (u) (x)或 dydy dudxdu dx【点评】：同上。4）反函数求导法则设函数 yf ( x) 在点 x 的某领域内连续，在点x0 处可导且 f ( x)0 ，并令其反函数为 xg ( y0 )g( y) ，且 x
6、0 所对应的 y的值为 y0 ，则有：11或 dx1f ( x0 )f ( g( y0 )dydydx【点评】：同上。跨考魔鬼集训营 02在这里，没有考不上的研究生。5）常见函数的导数xx1 ，cosx ， cosxsin x ，sin x11ln x， log a x，xx ln aex x， ax xee ln a【点评】：这些求导公式大家都很熟悉，但很少有人想过它们的由来。实际上，掌握这几个公式的证明过程， 不但可以帮助我们强化导数的定义这个薄弱点， 对极限的计算也是很好的练习。现选取其中典型予以证明。证明：xx1 ：导数的定义是 f ( x)limf ( xx)f ( x) ，代入该公
7、式得x 0xxlim(xx)x(1x )11 lim(1x ) 1x1 。最后一xxxxxxxx 0x0x步用到了极限(1x) a1x0 的情形。limxa 。注意，这里的推导过程仅适用于x 0x 0 的情形需要另行推导，这种情况很简单，留给大家。sin xcosx ：利用导数定义sin xlimsin(xx)sin x ，由和差化积公式得x0xsin(xx)sin x2cos(xx )sinx22sin x 的证明类limxlimxcos x 。 cosxx 0x0似。ln x1： 利 用 导 数 定 义 ln xlimln( xx)ln xlimln(1x)1 。xxxxxx0x 0log a x1的证明类似（利用换底公式log a xln x ）。x ln aln aex xx e(x x)exlim exe x 1x。 ax xln a 的e：利用导数定义 elimxxeex 0x0证明类似（利用对数恒等式a xex ln a ）。跨考魔鬼集训营 03