2021年高考复习,全国各地高考试题分类汇编解析几何(解答题).docx

《2021年高考复习,全国各地高考试题分类汇编解析几何(解答题).docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2021年高考复习,全国各地高考试题分类汇编解析几何(解答题).docx（37页珍藏版）》请在三一文库上搜索。

1、2021年高考复习,全国各地高考试题分类汇编。解析几何(解答题)2014年全国各地高考试题分类汇编（文数）解析几何（解答题）（2014安徽文数）21（本小题满分13分）设1F ，2F 分别是椭圆E ：22221x ya b+=(0)a b 的左、右焦点，过点1F 的直线交椭圆E 于,A B 两点，113AF F B =（1）若2|4,AB ABF =的周长为16，求2AF ； （2）若23cos 5AF B =，求椭圆E 的离心率 解：（1）由113AF F B =，4AB =，得13AF =，11F B =因为2ABF 的周长为16， 所以由椭圆定义可得416a =，1228AF AF a

2、+=故212835AF a AF =-=-=（2）设1F B k =，则0k 且13AF k =，4AB k =由椭圆定义可得223AF a k =-，22BF a k =-在2ABF 中，由余弦定理可得222222222cos AB AF BF AF BF AF B =+-， 即()()()()()222642322325k a k a k a k a k =-+-化简可得()()30a k a k +-=，而0a k +， 故3a k =于是有213AF k AF =，25BF k =因此22222BF F A AB =+，可得12F A F A ，1AF F 为等腰直角三角形从而2c a

3、 =，所以椭圆的离心率2c e a = （2014北京文数）19（本小题满分14分）已知椭圆C ：2224x y +=（1）求椭圆C 的离心率； （2）设O 为原点，若点A 在直线2y =上，点B 在椭圆C 上，且OA OB ，求线段AB 长度的最小值解：（1）由题意知，椭圆C 的标准方程为22142x y +=所以24a =，22b =，从而2222c a b =-=因此2a =，c =C的离心率2c e a = （2）直线AB 与圆222x y +=相切证明如下：设点,A B 的坐标分别为()00,x y ，(),2t ，其中00x 因为OA OB ，所以0OA OB ?=uu r uu

4、u r ，即0020tx y +=，解得002yt x =-当0x t =时，202t y =-，代入椭圆C的方程，得t =AB的方程为x =圆心O 到直线AB的距离d =AB 与圆222x y +=相切当0x t 时，直线AB 的方程为()0022y y x t x t-=-，即()()0000220y x x t y x ty -+-= 圆心O 到直线AB 的距离d =又220024x y +=，0 2y t x =-，故d =AB 与圆222x y +=相切（2021大纲文数）22（本小题满分12分）已知抛物线C ：22(0)y px p =的焦点为F ，直线y=4与y 轴的交点为P ，

5、与C 的交点为Q ，且54QF PQ =（1）求C 的方程；（2）过F 的直线l 与C 相交于A ，B 两点，若AB 的垂直平分线l 与C 相交于M ，N 两点，且A ，M ，B ，N 四点在同一圆上，求l 的方程 解：（1）设()0,4Q x ，代入22y px =得08x p =所以8PQ P =，0822p p QF x p=+=+由题设得85824p p p+=+，解得2p =-（舍去）或2p =所以C 的方程为24y x = （2）依题意知l 与坐标轴不垂直，故可设l 的方程为()10x my m =+代入24y x =得2440y my -=设()11,A x y ，()22,B

6、x y ，则124y y m +=，124y y =-故AB 的中点为()221,2D mm +，()21241AB y y m =-=+又l 的斜率为m -，所以l 的方程为2123x y m m=-+ 将上式代入24y x =，并整理得()2244230y y m m+-+=设()33,M x y ，()44,N x y ， 则344y y m +=-，()234423y y m ?=-+故MN 的中点为222223,E m mm ?+- ?，(234241m MN y m+=-=由于MN 垂直平分AB ， 故A ，M ，B ，N 四点在同一圆上等价于12AE BE MN =，从而2221

7、144AB DE MN +=， 即()()()2222222244121224122m m m m m m m+?+= ? ?化简得210m -=，解得1m =或1m =-所求直线l 的方程为10x y -=或10x y +-=（2014福建文数）21（本小题满分12分）已知曲线上的点到点(0,1)F 的距离比它到直线3y =-的距离小2 （1）求曲线的方程；（2）曲线在点P 处的切线l 与x 轴交于点A 直线3y=分别与直线l 及y 轴交于点,M N ，以MN 为直径作圆C ，过点A 作圆C 的切线，切点为B ，试探究：当点P 在曲线上运动（点P 与原点不重合）时，线段AB 的长度是否发生变

8、化？证明你的结论 解：（1）解法一：设(),S x y 为曲线上任意一点，依题意， 点S 到()0,1F 的距离与它到直线1y =-的距离相等，所以曲线是以点()0,1F 为焦点，直线1y =-为准线的抛物线， 所以曲线的方程为24x y =解法二：设(),S x y 为曲线上任意一点，则()32y -=，依题意，点(),S x y 只能在直线3y =-的上方，所以3y -1y +，化简得，曲线的方程为24x y =（2）当点P 在曲线上运动时，线段AB 的长度不变证明如下： 由（1）知抛物线的方程为214y x =，设()()000,0P x y x ，则20014y x =，由12y x

9、=，得切线l 的斜率0012x x k y x =，所以切线l 的方程为()00012y y x x x -=-，即2001124y x x x =- 由20011240y x x x y ?=-?=?得01,02A x ?由20011243y x x x y ?=-?=?得0016,32M x x ?+ ?又()0,3N ，所以圆心0013,34C x x ?+ ?，半径0011324r MN x x =+，AB所以点P 在曲线上运动是，线段AB 的长度不变（2014广东文数）20（本小题满分14分）已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=的一个焦点为)，离心率（1）求椭圆C

10、 的标准方程； （2）若动点()00,P x y 为椭圆C 外一点，且点P 到椭圆C 的两条切线相互垂直，求点P的轨迹方程解：（1）由题意知c =c e a =，所以3a =，2224b a c =-=，故椭圆C 的标准方程为22194x y +=（2）当过P 点的两条切线的斜率均存在时，不妨设为12,k k ，则过P 点的切线方程可设为()0000y y k x x y kx y kx -=-?=+-，由0022194y kx y kx x y =+-?+=?消去y ， 有()()()222000094189360k x y kx kx y kx +-+-=，()()()2222000099

11、44y kx k k y kx ?=-+-=0?，整理得()22200009240x k x y k y -+-=，所以()2012021439y k k x x -=-，由已知得121k k =-，所以2 2 419y x -=-，所以220013x y +=，即此时点P 的轨迹方程为220013x y +=当两条切线中有一条垂直于x 轴时，此时P 点坐标为()3,2，也满足方程()22000133x y x +=综上所述，所求P 点的轨迹方程为220013x y += （2014湖北文数）22（本小题满分14分）在平面直角坐标系xOy 中，点M 到点(1,0)F 的距离比它到y 轴的距离多

12、1记点M 的轨迹为C （1）求轨迹C 的方程；（2）设斜率为k 的直线l 过定点(2,1)P - 求直线l 与轨迹C 恰好有一个公共点、两个公共点、三个公共点时k 的相应取值范围 解：（I ）设点(),Mx y ，依题意得1MFx =+1x +，化简整理得()221y x =+故点M 的轨迹C 的方程为24, 0,0, 0.x x y x ?=?（II ）在点M 的轨迹C 中，记1C ：24yx =，2C ：()00y x =由方程组()2124y k x y x-=+?=?可得()244210ky y k -+=（1）当0k =时，此时1y =把1y =代入轨迹C 的方程，得14x = 故此

13、时直线l ：1y =与轨迹C 恰好有一个公共点1,14? （2）当0k 时，方程的判别式为()21621k k ?=-+- 设直线l 与x 轴的交点为()0,0x ，则由()12y k x -=+，令0y =，得021k xk+=- （i ）若000x ?一个公共点，故此时直线l 与轨迹C 恰好有一个公共点 （ii ）若000x ?=?0x ?则由解得11,2k ?-?或102k -即当11,2k ?-?时，直线l 与1C 只有一个公共点，与2C 有一个公共点 当1,02k ?-?时，直线l 与1C 有两个公共点，与2C 没有公共点 故当11,01,22k ?-?时，直线l 与轨迹C 恰好有两

14、个公共点 （iii ）若000x ?则由解得112k -即当111,0,22k ?-? ?时，直线l 与1C 有两个公共点，与2C 有一个公共点，故此时直线l 与轨迹C 恰好有三个公共点综合（1）（2）可知，当()1,1,02k ?-+ ? 时，直线l 与轨迹C 恰好有一个公共点；当11,01,22k ?-? 时，直线l 与轨迹C 恰好有两个公共点；当111,0,22k ?- ? ? 时，直线l 与轨迹C 恰好有三个公共点（2014湖南文数）20（本小题满分13分）如图所示，O 为坐标原点，双曲线221112211:1(00)x y C a b a b -=，和椭圆222222222:+1(0

15、)y x C a b a b =均过点1P ?，且以1C 的两个顶点和2C 的两个焦点为顶点的四边形是面积为2的正方形（1）求12C C ，的方程；（2）是否存在直线l ，使得l 与1C 交于,A B 两点，与2C 只有一个公共点，且OA OB AB +=？证明你的结论 解：（1）由题意得：2211222241314131a b a b ?-=?-=?且222122a a b =-，又()221112222a a ?=，得211a =，所以213b = 2222222241311a b a b +=?=+?，则222214113b b +=+，整理得()2222422222223443133b

16、 b b b b b +=+=+， 化简得42223440b b -=，即()()22223220b b +-=，即222b =，故223a =1C ：2213y x -=；2C ：22132x y +=（2）由OA OB AB OB OA +=-，得OA OB ，因为OA OB ，则在1C 中，点O 到直线AB的距 离为1d ，则22211111112133d a b =-=-=，故2132d =在3C 中，点O 到AB 的距离为2d ，则22222211165d a b =+=，故2256d =12d d ，故不存在 （2014江西文数）20（本小题满分13分）如图所示，已知抛物线2:4C

17、 xy =，过点(0,2)M 任作一直线与C相交于,A B 两点，过点B 作y 轴的平行线与直线AO 相交于点D （O 为坐标原点） （1）求证：动点D 在定直线上；（2）作C 的任意一条切线l （不含x 轴），与直线2y =相交于点1N ，与（1）中的定直线相交于点2N ，求证：2221MN MN -为定值，并求此定值 解：（1）设()11,A x y ，()22,B x y ，:2AB y kx =+联立方程组224y kx x y =+?=?，消y 得2480x kx -=，故121248x x k x x +=?=-?，11OA y k x =，11:y OA y x x =，2:BD

18、 x x =，所以2121,x y D x x ? ?，又()21212211122x kx x y x kx x x x +=+，128x x -=， 所以21221228x y x kx x x =+-222222444x kx x kx -=-=()2122212244x x x x x x +-=- 因此动点D 在定直线2y =-上（2）设抛物线24x y =上任意一点200,4x x ? ?处的切线方程为：()200042x xy x x -=-，化简得22000224x x x y x =-+20024x x x =-，200224y x x y x =?=-?，得20108,22

19、x N x ?+ ? 200224y x x y x =-?=-?，得20218,22x N x ?-?22201082x MN x ?+= ?，2220218162x MN x ?-=+ ? ， 故222222002100881622x x MN MN x x ?-+-=+- ? ?2020321616884x x =-=-=为定值 （2014辽宁文数）20（本小题满分12分）如图所示，圆224x y +=的切线与x 轴正半轴，y 轴正半轴围成一个三角形，当该三角形面积最小时，切点为P （1）求点P 的坐标；（2）焦点在x 轴上的椭圆C 过点P ，且与直线:l y x =A ，B 两点，若P

20、AB 的面积为2，求C 的标准方程 解：（1）设切点坐标为()()0000,0,0x y x y ，则切线斜率为0 x y -，切线方程为()0000x y y x x y -=-，即004x x y y +=此时，两个坐标轴的正半轴与切线围城的三角形面积为000014482S x y x y =?=，由22000042x y x y +=知当且仅当00x y =00x y 有最大值，即S 有最小值，因此点P的坐标为（2）设C 的坐标方程为()222210x y a b a b+=，点()11,A x y ，()22,B x y 由点P 在C 上知22221a b +=，并由22221x y

21、a b y x ?+=?=+?，得222620b x b +-=，又1x ，2x是方程的根，因此12212262x x b x x b ?+=?-?=?，由11y x =22y x =12AB x =-=由点P 到直线l及122PAB S =得429180b b -+=，解得26b =或3，因此26b =，23a =（舍）或23b =，26a =，从而所求C 的方程为22163x y +=（2014山东文数）21（本小题满分14分）在平面直角坐标系xOy 中，椭圆()2222:10x y C a b a b+=的离心率为2，直线y x =被椭圆C截得的线段长为5（1）求椭圆C 的方程； （2）

22、过原点的直线与椭圆C 交于,A B 两点（,A B 不是椭圆C 的顶点）点D 在椭圆C 上，且AD AB ，直线BD 与x 轴、y 轴分别交于,M N 两点（i ）设直线,BD AM 的斜率分别为12,k k ，证明存在常数使得12k k =，并求出的值； （ii ）求OMN 面积的最大值解：（1）由题意知2a =，可得224a b =，椭圆C 的方程可简化为2224x y a +=将y x =代入可得x =2a =因此1b =，所以椭圆C 的方程为2214x y += （2）（i ）设()()1111,0A x y x y ，()22,D x y ，则()11,B x y -，因为直线AB

23、的斜率11AB y k x =，又AB AD ，所以直线AD 的斜率11x k y =-设直线AD 的方程为y kx m =+，由题意知0k ，0m 由2214y kx mx y =+?+=?可得()222148440k x mkx m +-=所以122814mk x x k +=-+，因此()121222214my y k x x m k +=+=+由题意知12x x -，所以1211121144y y y k x x k x +=-=+所以直线BD 的方程为()11114y y y x x x +=+令0y =，得13x x =，即()13,0M x 可得1212y k x =-所以121

24、2k k =-，即12=-因此存在常数12=-使得结论成立（ii ）直线BD 的方程为()11114y y y x x x +=+，令0x =，得134y y =-，即130,4N y ?- ?由（i ）知()13,0M x ，可得OMN 的面积11111393248S =x y x y ?=因为22111114x x y y +=，当且仅当112x y =时等号成立，此时S 取得最大值98，所以OMN 面积的最大值为98 （2014陕西文数）20（本小题满分13分）已知椭圆()222210x y a b a b+=经过点)3,0(，离心率为21，左、右焦点分别为()10F c-，()20F

25、c ，（1）求椭圆的方程；（2）若直线1:2l y x m =-+与椭圆交于A ，B 两点，与以12F F 为直径的圆交于,C D两点，且满足AB CD =求直线l 的方程 解：（1）由题设知22212b c a b a c ?=?=?=-?，解得2a =，b =1c =，所以椭圆的方程为22143x y += （2）由（1）知，以12F F 为直径的圆的方程为221x y +=，所以圆心到直线l的距离d =1d 得m ()*所以CD =()11,A x y ，()22,B x y ，由2212143y x m x y ?=-+?+=?得2230x mx m -+-=，由根与系数关系可得12x

26、 x m +=，2123x x m ?=- 所以AB =AB CD =1=， 解得3m =，满足()*所以直线l 的方程为123y x =-+或123y x =- （2014四川文数）20（本小题满分13分）已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=的左焦点为()2,0F -，离心（1）求椭圆C 的标准方程；（2）设O 为坐标原点，T 为直线3x =-上一点，过F 作TF 的垂线交椭圆于P ，Q 当四边形OPTQ 是平行四边形时，求四边形OPTQ 的面积解：（1）因为(2,0)F -，所以2c =，又e 3=， 所以a =2222b a c =-=， 即椭圆C 的方程为22162

27、x y +=（2）如图所示，由题意可设直线PQ 的方程为2x my =-当0m =时，2x =-，此时()3,0T -，P ，Q 关于点F 对称，但DF TF ，故四边形OPTQ 不是平行四边形，与题意不符，故0m 直线TF ：()2y m x =-+，令3x =-，得y m =，即()3,T m -，连接OT ，设O T P Q E= ，则3,22m E ?- ?，联立方程222162x my x y =-?+=?，消去x 整理得()22236my y -+=，即()223420m y my +-=，显然()2216830m m ?=+，令()11,P x y ，()22,Q x y 则12

28、243m y y m +=+，12223y y m -=+，则1222232E y y m m y m +=+，解得21m = 此时PQ =TF =所以四边形OPTQ的面积122S PQ TF =?= （2014天津文数）18（本小题满分13分）设椭圆()222210x y a b a b+=的左、右焦点分别为12,F F ，右顶点为A ，上顶点为B已知12AB F =（1）求椭圆的离心率；（2）设P 为椭圆上异于其顶点的一点，以线段PB 为直径的圆经过点1F ，经过点2F 的直线l与该圆相切于点M ，2MF = 解：（1）设椭圆右焦点2F 的坐标为(),0c由12AB F =，可得2223a

29、 b c +=，又222b a c =-， 则2212c a =所以，椭圆的离心率2e = （2）由（1）知222a c =，22b c =故椭圆方程为222212x y c c+=设()00,P x y 由()1,0F c -，()0,B c ，有()100,F P x c y =+uuu r ，()1,F B c c =uuu r 由已知，有110F P F B ?=u u u r u u u r ，即()000x c c y c +=又0c ，故有000x y c += 因为点P 在椭圆上，故22002212x y c c+=由和可得200340x cx +=而点P 不是椭圆的顶点，故0

30、43x c =-，代入得03cy =，即点P 的坐标为4,33c c ?- ?该圆的圆心为()11,T x y ，则1402323c x c -+=-，12323ccy c +=，进而圆的半径3r =由已知，有22222TF MF r=+，又2MF =故有22222508339c c c c ?+-=+ ? ?，解得23c =所以，所求椭圆的方程为22163x y += （2014新课标1文数）20（本小题满分12分）已知点)2,2(P ，圆C ：0822=-+y y x ，过点P 的动直线l 与圆C 交于B A ,两点，线段AB 的中点为M ，O 为坐标原点（1）求M 的轨迹方程；（2）当O

31、M OP =时，求l 的方程及POM ?的面积解：（1）圆C 的方程可化为()22416x y +-=，所以圆心为()0,4C ，半径为4设(),M x y ，(),4CM x y =-，()2,2MP x y =- 由题设知0CM MP ?= ，故()()()2420x x y y -+-=，即()()22132x y -+-=由于点P 在圆C 的内部，所以M 的轨迹方程是()()22132x y -+-=（2）由（1）可知M 的轨迹是以点()1,3NOP OM =，故O 在线段PM 的垂直平分线上，又P 在圆N 上，从而ON PM 因为ON 的斜率为3，所以l 得斜率为13-，故l 的方程

32、为1833y x =-+又OM OP =O 到l，PM =，所以POM 的面积为165（2014新课标2文数）20（本小题满分12分）设12,F F 分别是椭圆C ：22221x y a b+=()0a b 的左、右焦点，M 是C 上一点且2MF 与x 轴垂直直线1MF 与C 的另一个交点为N （1）若直线MN 的斜率为34，求C 的离心率；（2）若直线MN 在y 轴上的截距为2，且15M N FN =，求,a b 解：（1）根据c =2,b M c a ? ?，223b ac =将222b ac =-代入223b ac =，解得12c a =或2ca=-（舍去）故C 的离心率为12（2）由题

33、意，知原点O 为12F F 的中点，2/MF y 轴，所以直线1MF 与y 轴的交点()0,2D 是线段1MF 的中点，故24b a=，即24b a =， 由15MN F N =得112DF F N =设()11,N x y ，由题意知10y 321x c y ?=-?=-?，代入C 的方程为，得2229114c a b +=将及c =()22941144a a a a-+=解得7a =，2428b a =故7a =，b = （2014浙江文数）22已知ABP 的三个顶点都在抛物线2:4C x y =上，F 为抛物线C 的焦点，点M 为AB 的中点，3PF FM =；（1）若3PF = ，求点

34、M 的坐标；（2）求ABP 面积的最大值 解：（1）由题意知焦点()0,1F ，准线方程为1y =-设()00,P x y ，由抛物线定义知01PF y =+，得到02y =，所以()2P或()2P -由3PF FM =，分别得23M ? ? ?或23M ? （2）设直线AB 的方程为y kx m =+，点()11,A x y ，点()22,B x y ，()00,P x y 由2,4y kx m x y=+?=?得2440x kx m -=，于是216160k m ?=+，124x x k +=，124x x m =-，所以AB 的中点M 的坐标为()22,2k k m +由3PF FM =

35、 得()()200,132,21x y k k m -=+-，所以0206,463,x k y k m =-?=-?由2004x y =得214515k m =-+由0?，20k ，得1433m -又因为AB =，点()0,1F 到直线AB的距离为d =，所以48ABP ABF S S m =-= 记()321435133f m m m m m ?=-+-可得()f m 在11,39?- ?上是增函数，在1,19? ?上是减函数，在41,3? ?上是增函数又1256492433f f ?= ? ?，所以当19m =时，()f m 取到最大值256243，此时15k = 所以ABP 面积的最大值

36、为135（2014重庆文数）21（本小题满分12分）如图所示，设椭圆22221(0)x y a b a b+=的左、右焦点分别为12F F ，点D 在椭圆上，112DF F F ，121|F F DF =12DF F 的面积为2（1）求该椭圆的标准方程；（2）是否存在圆心在y 轴上的圆，使圆在x 轴的上方与椭圆有两个交点，且圆在这两个交点处的两条切线相互垂直并分别过不同的焦点？若存在，求出圆的方程，若不存在，请说明理由DF 2F 1Oyx 解：（1）设()1,0F c -，()2,0F c ，其中222c a b =-由121F F DF =12DF =从而1221121222DF F S D

37、F F F =，故1c =从而12DF =由112D F FF 得222211292DF DF F F =+=，22DF =122a DF DF =+=，故a =2221b a c =-=所求椭圆的标准方程为2212x y += （2）如图，设圆心在y 轴上的圆C 与椭圆2212x y +=相交，()111,P x y =，(22,P x =是两个交点，10y ，20y ，11F P ，22F P 是圆C 的切线，且1122F P F P 由圆和椭圆的对称性，易知21x x =-，12y y =由（1）知()11,0F -，()21,0F ，所以()11111,FP x y =+ ，()22111,F P x y =- 再由1122F P F P 得()221110x y -+=由椭圆方程得()2211112x x -=+，即211340x x +=，解得143x =-或10x = 当10x =时，1P ，2P 重合，此时题设要求的圆不存在 当143x =-时，过1P ，2P 分别与11F P ，22F P 垂直的直线的交点即为圆心C 设()00,C y ，由111CP F P ，得1011111y y y x x -?=-+而11113y x =+=，故053y =故圆C 的半径11213CP =2253239x y ?+-= ?