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1、4.1.1圆的标准方程 【教学目标】 （一）知识与技能 (1)掌握圆的标准方程，能根据圆心、半径写出圆的标准方程 (2)会用待定系数法求圆的标准方程 进一步培养学生能用解析法研究几何问题的水平，渗透数形结合思想，通过圆的标准方程解决实际问题的学习，注意培养学生观察问题、发现问题和解决问题的水平 （三）情感态度与价值观 通过使用圆的知识解决实际问题的学习，从而激发学生学习数学的热情和兴趣 【教学重点】 圆的标准方程 【教学难点】 会根据不同的已知条件，利用待定系数法求圆的标准方程 【教学方法】 启发、引导、讨论 【教学过程】 一、新课引入 在直角坐标系中，确定直线的基本要素是什么?圆作为平面几何
2、中的基本图形，确定它的要素又是什么呢？什么叫圆?在平面直角坐标系中，任何一条直线都可用一个二元一次方程来表示，那么，圆是否也可用一个方程来表示呢?如果能，这个方程又有什么特征呢? 二、讲授新课 确定圆的基本条件为圆心和半径，设圆的圆心坐标为，半径为（其中、都是常数，）设为这个圆上任意一点，那么点满足的条件是（引导学生自己列出）,由两点间的距离公式让学生写出点适合的条件 化简可得： 引导学生自己证明为圆的方程，得出结论 若点在圆上，由上述讨论可知，点的坐标适用方程，说明点与圆心的距离为，即点在圆心为的圆上 所以方程就是圆心为,半径为的圆的方程，我们把它叫做圆的标准方程 三、例题解析 例1：写出圆
3、心为半径长等于5的圆的方程，并判断点,是否在这个圆上 分析：能够从计算点到圆心的距离入手 点与圆的关系的判断方法： （1），点在圆外 （2），点在圆上 （3），点在圆内 解：圆心是半径长等于5的圆的标准方程是 把点的坐标代入方程，左右两边相等，点的坐标适合圆的方程，所以点在这个圆上；把点的坐标代入方程，左右两边不相等，点的坐标不适合圆的方程，所以点不在这个圆上 例2：的三个顶点的坐标是,求它的外接圆的方程 师生共同分析：从圆的标准方程可知，要确定圆的标准方程，可用待定系数法确定、三个参数（学生自己运算解决） （外接圆的圆心是的外心，即三边垂直平分线的交点） 解：设所求圆的方程是 因为都在圆上，
4、所以它们的坐标都满足方程于是 解此方程组， 得 所以的外接圆的方程是 例3：已知圆心为的圆经过点和,且圆心在上,求圆心为的圆的标准方程 师生共同分析：如图确定一个圆只需确定圆心位置与半径大小圆心为的圆经过点和,因为圆心与，两点的距离相等，所以圆心在线段的垂直平分线上，又圆心在直线上，所以圆心是直线与直线的交点，半径长等于或 解法1：因为，所以线段的中点的坐标为，直线的斜率 所以线段的垂直平分线的方程是， 即 圆心的坐标是方程组的解 解此方程组，得 所以圆心的坐标是 圆心为的圆的半径长 所以圆心为的圆的标准方程是 解法2：设所求圆的方程为由题意得 解得 所以所求圆的方程是 总结归纳：（教师启发，学生自己比较、归纳）比较例2、例3可得出外接圆的标准方程的两种求法： 根据题设条件，列出关于、的方程组，解方程组得到、得值，写出圆的标准方程 根据确定圆的要素，以及题设条件，分别求出圆心坐标和半径大小，然后再写出圆的标准方程 四、课堂练习 1、根据下列条件，求圆的方程 （1）圆心在点，并且过点； （2）圆心在点，并与直线相切； （3）过点和点，半径为 2、求过点,且圆心在直线上的圆的方程 五、课堂小结 1、圆的标准方程 2、点与圆的位置关系的判断方法 3、根据已知条件求圆的标准方程的方法