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1、1 第二章 恒定电场 Steady Electric Field 序 导电媒质中的电流 基本方程 分界面衔接条件 边值问题 导电媒质中恒定电场与静电场的比拟 电导和接地电阻 下 页 电源电动势与局外场强 返 回 通有直流电流的导电媒质中同时存在着电流场和 恒定电场。恒定电场是动态平衡下的电荷产生的，它 与静电场有相似之处。 Introduction 2.0序 本章要求: 熟练掌握静电比拟法和电导的计算。 理解各种电流密度的概念，通过欧姆定律和焦耳 定律深刻理解场量之间的关系。 掌握导电媒质中的恒定电场基本方程和分界面衔 接条件。 下 页上 页返 回 基本方程E 的旋度 边值问题边界条件 电位
2、一般解法电导与接地电阻特殊解(静电比拟) 恒定电场知识结构 基本物理量 J、E 欧姆定律 J 的散度 下 页上 页返 回 2.1.1 电流(Current) 定义：单位时间内通过某一横截面的电量。 2.1导电媒质中的电流 Current in Conductive Media 三种电流： t q I d d =A 传导电流电荷在导电媒质中的定向运动。 位移电流随时间变化的电场产生的假想电流。 运流电流带电粒子在真空中的定向运动。 下 页上 页返 回 1. 电流面密度 J = S ISJ d 电流 体电荷以速度v作匀速运动形成的电流。 vJ= 2 mA电流密度 2.1.2 电流密度（Curren
3、t Density) 下 页上 页返 回 图2.1.1 电流面密度矢量图2.1.2 电流的计算 2. 电流线密度 K mA vK= lI l d )( n =eK电流 en是垂直于 dl，且通过 dl 与曲面相切的单位矢量。 面电荷在曲面上以速度 v 运动形成的电流。 图2.1.3 电流线密度及其通量 下 页上 页 电流线密度 返 回 2 3. 元电流的概念 元电流是元电荷以速度 v 运动形成的电流 qd l l K J d(d d(d d)( d I SS VV 线电流元） 面电流元） 体电流元 工程应用 媒质磁化后的表面磁化电流； 同轴电缆的外导体视为电流线密度分布； 高频时，因集肤效应，
4、电流趋于导体表面分布。 下 页上 页 图2.1.4 媒质的磁化电流 返 回 2.1.3 欧姆定律的微分形式 (Differential Form of Ohms Law) J 与 E 共存，且方向一致。 简单证明： 欧姆定律 微分形式。EJ= 在线性媒质中 对两边取面积分EJ= 左边I S =SJ d 右边 = S SE d 欧姆定律 积分形式。RIU = 所以RIU = 下 页上 页 图2.1.5 J 与 E 之关系 返 回 GU=U l S = = S l U Sd 2.1.4焦尔定律的微分形式 (Differential Form of Joules Law) 导体有电流时，必伴随功率损
5、耗，其功率体密度为 EJ=pW/m3 RIUIVP V 2 d=EJW 焦耳定律微分形式 焦耳定律积分形式 下 页上 页返 回 提供非静电力将其它形式的 能转为电能的装置称为电源。 2.2.1 电源(Source) 2.2 电源电动势与局外场强 Source EMF and 0ther Field Intensity 电源电动势是电源本身的特征量，与外电路无关。 q f E e e= 局外场强 e f局外力 2.2.2电源电动势(Source EMF) 下 页上 页返 回 图2.2.1 恒定电流的形成 因此，对闭合环路积分 lEEd)(+ l ec 局外场Ee是非保守场。 )( ec EEJ+
6、= 图2.2.2 电源电动势与局外场强 lEd=l e e电源电动势 总场强 ec EEE+= = dlE l ee =+= 0 += ll e lElEcdd 下 页上 页返 回 2.3.1基本方程(Basic Equations) 2.3 基本方程分界面衔接条件 边值问题 Basic Equations Boundary Conditions Boundary Value Problem 在恒定电场中0= t q 恒定电场是一个无源场，电流线是连续的。 故 0= J t q S = SJd电荷守恒原理 1. J的散度 亦称电流连续性方程 0 d= SJ S 散度定理 0d= VJ V 下
7、页上 页返 回 3 结论： 恒定电场是无源无旋场。 2. E的旋度 所取积分路径不经过电源，则 3. 恒定电场（电源外）的基本方程 0d = S SJ0d = l lE EJ= 0=J0= E 恒定电场是无旋场。得 0=E 积分形式 微分形式 构成方程 0 d = l lE 斯托克斯定理 0 d)(= SE S 下 页上 页返 回 2.3.2分界面的衔接条件（Boundary Conditions) 说明 分界面上E切向分量 连续，J 的法向分量连续。 折射定律 2 1 2 1 = tan tan 图2.3.1 电流线的折射 0d = l lE 0d = S SJ 由得 2t1t EE= 2n
8、1n JJ= 下 页上 页返 回 0 0 0 2 2n 2n = J E 0 n1 =E 例2.3.1导体与理想介质分界面上的衔接条件。 00 22 =J，解: 在理想介质中 空气中 = 2n21nn2 EDD 导体中 不同导体分界面？提问：0 表明 1 分界面导体侧的电流一定与导体表面平行。 表明2导体与理想介质分界面上必有面电荷。 0 1n2n =JJ故 下 页上 页返 回 图2.3.2 导体与理想介质分界面 0/ 11t2t1t =JEE 若（理想导体），导体内部电场为零，电 流分布在导体表面，导体不损耗能量。 1 yx EEeeE 2n2t2 += 导体周围介质中的电场： 表明3电场切
9、向分量不为零，导体非等位体，导体 表面非等位面。 下 页上 页返 回 图2.3.3 载流导体表面的电场 2.3.3边值问题（Boundary Value Problem) 分界面衔接条件 拉普拉斯方程0 2 =得 0 = E 由基本方程出发 由得 0 = J 2t1t EE = 2n1n JJ= 21 = nn = 2 2 1 1 常数= 恒定电场中是否存在泊松方程？思考 下 页上 页返 回 = E )( E +=E=0 = 例2.3.2试用边值问题求解电弧片中电位、电场及 导体分界面上的面电荷分布。 0 1 2 1 2 2 1 2 = = ( 区域） 1 解: 选用圆柱坐标系，边值问题为：
10、0 02 = = ( 区域） 2 0 1 2 2 2 2 2 2 = = = = 2 2 1 121 ， ，时 4 = 0 2 1 U= = 下 页上 页 图2.3.4 不同媒质弧形导电片 返 回 4 电位 21 021 21 02 1 )( )( 4 + + + = UU eEeE )( 4 )( 4 21 01 2 21 02 1 + = + = UU 电场强度 电荷面密度 )-( )( 4 21 21 00 201012 + = U EEDD nn 通解 DCBA+=+= 21 , )( 4 21 01 2 + = U 下 页上 页返 回 2.4 导电媒质中恒定电场与静电场的比拟 2.4
11、.1比拟方法(Contrast Method) Contrast of Steady Electric Field and Electrostatics 0= D ED= = S qSD d 0 2 = )(0=静电场 0=E 恒定电场（电源外） EJ= = S ISJ d 0=J 0=E 0 2 = 恒定电场 J I E 静电场 E D q 两种场各物理量满足相同的定解问题，则解也相 同。那么，通过对一个场的求解或实验研究，利用对 应量关系便可得到另一个场的解。 下 页上 页返 回 两种场可以比拟的条件 1. 镜像法的比拟 ) 2 , ( 21 2 21 21 + = + = 2.4.2比拟
12、方法的应用（Contrast Method Application) 图2.4.1 静电场与恒定电流场的镜像法比拟 静 电 场 = + 微分方程相同； 场域几何形状及边界条件相同； 媒质分界面满足 2 1 2 1 = 恒 定 电 场 ) 2 , ( 21 2 21 21 IIII + = + = = + 下 页上 页返 回 2. 恒定电场模拟静电场实验 固体模拟（如导电纸模拟）实验方法： 液体模拟（如电解槽模拟） 图2.4.2 静电场平行板造型 恒定电流场的电极表面近似为等位面 图示恒定电流场对应什么样的静电场？比拟条件是 什么？ 思考( 条件) 媒质电极 下 页上 页返 回 2.5.1电导(
13、Conductance) 1. 通过电流场计算电导 2.5 电导与接地电阻 或设 I U Conductance and Ground Resistor 思路 J /JE = = l UlE dUIG/= E EJ= = S ISJd UIG/= 设 下 页上 页返 回 当满足比拟条件时，用比拟法由电容计算电导。 UI UQ G C = 多导体电极系统的部分电导可与静电系统的部 分电容比拟。（自学） 2.比拟法 = C G 即 下 页上 页 = lS lS lESJ lESD dd dd = = S S SE SE d d 返 回 5 例2.5.1求图示同轴电缆的绝缘电阻。 解 设I 电导 1
14、 2 ln 2 l U I G= 用静电比拟法求解 由静电场, ln 2 1 2 l C =根据 = G C 关系式，得 1 2 ln 2 11 lG R=绝缘电阻 U 下 页上 页 图2.5.1 同轴电缆横截面 返 回 l I J 2 = l I E 2 = = l lE d = 2 1 d 2 l I 1 2 ln 2 l I = 0 1 2 2 2 2 = = 00 ,0U= = 通解，代入边界条件，得 21 CC += )( 0 U = 电位函数 解取圆柱坐标系，边值问题)(= 下 页上 页 eeE 0 U = = 电场强度 图2.5.2 弧形导电片 返 回 例2.5.2 已知导电片厚
15、度为h，当 ; 0 0=时， 试求电导片的电导。 0 , U=时 电流 )(d)(d 0 eeSJ= h U I S b a 电导 )mS(ln 0 a bh U I G = 电流密度 e U EJ 0 = 下 页上 页 a bhU ln 0 = 返 回 eeE 0 U = =电场强度 图2.5.3 深埋球形接地器 1. 深埋球形接地器 2.5.2接地电阻(Ground Resistor) 解法一通过电流场计算电阻 解法二比拟法 = 2 4 r I JI= 2 4r I E a I r r I U a 4 d 4 2 = a R 4 1 = = G C ,4aC=,4aG= 接地电阻越大越好吗
16、？如何改变R? 思考 下 页上 页 aI U R 4 1 = 由接地器电阻、接地器与土壤 之间的接触电阻、土壤电阻构成。 接地电阻： 返 回 2. 直立管形接地器 解: 考虑地面的影响，可用镜像法。 实际电导, 2 12 G U I G=即 d l l R 4 ln 2 1 = d l l C 4 ln 4 =在静电场中 )2( 4 ln 4 dl d l l G= 比拟法 , = G C 下 页上 页 图2.5.4 直立管形接地器 返 回 3. 非深埋的球形接地器 解 用镜像法 )2(44h I a I += ) 2 11 ( 4 1 haI R+= 接地器接地电阻 a R 2 1 = 2 2 r I J = 解 4. 浅埋半球形接地器 a2 I u a d = lE 设I 下 页上 页 图2.5.5非深埋的球形接地器 返 回 2 2r I E = 图2.5.6 浅埋半球形 接地器 I 6 0 0 2U Ib x = 为危险区半径 2.5.3 跨步电压(Step Voltage) + = bx x r r I Ud 2 2 以浅埋半球接地器为例 , 2 2 r I J = 人体的安全电压U040V 图2.5.7半球形接地 器的危险区 上 页返 回 )(2bxx bI + = 2 2 r IJ E=