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1、精品文档 2数集.确界原理（一）教学内容：实数的区间与邻域；集合的上、下界，上确界和下确界；确界原理难 点：上、下确界定义的理解、数集确界的证明二）教学目的：1）正确使用区间和邻域概念，掌握集合的有界性的证明；2）初步理解上下确界的定义及确界原理的实质。（三）基本要求：1 ）掌握实数的区间与邻域概念；分清最大值与上确界的联系与区别；结合具体集合，能指出其确界；2）能用定义证明集合 A的上确界为 即：x A 有 x ，且0, Xo A,使得 Xo（三）教学建议：（1）此节重点是确界概念和确界原理不可强行要求一步到位，对多数学生可只布置证明具体集合的确界的习题.（2）此节难点亦是确界概念和确界原理
2、对较好学生可布置证明抽象集合的确界的习题.一 区间与邻域：区间邻域设a与 是两个实数，且0，称点集 E x| |x a| 为点a的 邻域，记作U （a）称点集 U(a) x | a x a x | a x a 为点a的去心 邻域 记作U 0(a)4vAa的右邻域U(a)x|ax aa的右空心邻域U0(a)x |a xa a的左邻域U(a)x|axaa的左空心邻域u0(a) x | ax a邻域U() x|x|M 邻域 U () x1 xM 邻域 U ()x|xM 二有界数集确界原理：1.有界数集：定义(上、下有界，有界)设S为实数R上的一个数集，若存在一个数M( L )得对一切 x S都有x
3、M (x L)，则称S为有上界(下界)的数集。若集合S既有上界又有下界，则称 S为有界集。例如，区间a,b、(a,b) (a,b为有限数)、邻域等都是有界数集，集合Eyysinx, x(,)也是有界数集无界数集若对任意M0 ,存在x S, |x| M，则称S为无界集。例如，(7),(,0), (0,)，有理数集等都是无界数集，例1证明集合 Ey1y -, x x(0,1)是无界数集证明：对任意M 0,存在x1-(0,1) , y E, y M 1 MM 1x由无界集定义，E为无界集。M1确界，先给出确界的直观定义：若数集S有上界，则显然它有无穷多个上界，其中最小的一个上界我们称它为数集S的上确
4、界，记作 sups ；同样,精确定义定义2设S是R中的一个数集，若数满足以下两条：（1）对一切x S有x ，即 是数集S的上界；（2） 对任意 0,存在x0 S使得X。（即 是S的最小上界），(2)E y(1)n则 supSinf S y sinx, X (0,).则则称数 为数集S的上确界。记作supS精品文档sup E , inf E .注1由确界定义，若数集 S的上（下）确界存在，则一定是唯一的，且inf S supS注2由上面例子可知，数集 S的确界可以属于 S,也可以不属于 So例3设数集S有上确界，证明supSmax S证明（略）定理1.1 （确界原理）设S为非空数集，若S有上界，
5、则S必有上确界；若S有下 界，则S必有下确界。S,xn. n1 n2 nk1k10;2 ）存在akS, akn.nm m按上述办法无限作下去，得到实数n. n1 n2nk，可以验证 supS o例4设A和B是非空数集.若对B,都有x y,则有证明不妨设S包含非负数，S有上界存在自然数 n ，使得1)x S,x n 1 ； 2 )存在 a0S , a。n在n,n 1)内作10等分，分点分别为:n.1, n.2, n.9存在自然数 n使得1)x S,1 x n. n1; 2 )存在10S,n.n综上，有inf S min inf A,inf B证x A和yB,都有xy,y是A的上界,而sup A是
6、A的最小上界sup Ay.此式又sup A是B的下界，sup Ainf B（B的最大下界）例5A和B为非空数集，SAB.试证明：inf S mininfA, infB .证x S,有 xA或xB,由infA 和 inf B分别是A和B的下界，有x inf A或 x infB.xmin inf A, inf Bmin inf A, infB是数集S的下界，inf Smininf A, inf B .sup A inf B.即inf S是A的下界，S的下界就是 A的下界，infS是S的下界,又S A,inf Sinf A;同理有inf S inf B.于是有inf S min inf A, inf BXo定义3设S是R中的一个数集，若数满足以下两条：（3）对一切 x S有X ，即 是数集S的下界；（4） 对任意 0,存在Xo S使得Xo（即 是S的最大下界），-：* * 3 4 SXo则称数 为数集S的下确界。记作inf S