线性方程组求解.docx

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1、第三章 线性方程组1 消元法一、线性方程组的初等变换现在讨论一般线性方程组 .所谓一般线性方程组是指形式为a11X1a12 X2a1n Xnb1,a21X1a22 X2a2nXnb2 ,2 (1)as1X1as2X2asn Xnbs的方程组，其 中 X1,X2,Xn 代 表n 个 未 知量 ， s 是 方 程 的 个 数 ，aj (i 1,2, ,s; j 1,2, n)称为线性方程组的系数，bj(j 1,2,s)称为常数项.方程组中未知量的个数n与方程的个数s不一定相等.系数aj的第一个指标i表 示它在第i个方程，第二个指标j表示它是Xj的系数.所谓 方程 组(1)的 一个 解就是指 由 n

2、 个数 k1,k2, ,kn 组 成的 有序 数组(k!,k2, , kn)，当X!,X2, , Xn分别用心k?,心代入后，中每个等式都变成恒 等式. 方程组(1)的解的全体称为它的解集合 .解方程组实际上就是找出它全部的 解，或者说，求出它的解集合 .如果两个方程组有相同的解集合，它们就称为同 解的 .显然，如果知道了一个线性方程组的全部系数和常数项， 那么这个线性方程 组就基本上确定了 .确切地说，线性方程组 (1)可以用下面的矩阵a11a12a1nb1a21a22a2nb2(2)as1as2asnbs来表示.实际上，有了(2)之后，除去代表未知量的文字外线性方程组 (1)就确定了， 而

3、采用什么文字来代表未知量当然不是实质性的.在中学所学代数里学过用加减消元法和代入消元法解二元、三元线性方程组 .实际上，这个方法比用行列式解 线性方程组更有普遍性 .下面就来介绍如何用一般消元法解一般线性方程组 .例如，解方程组2x1X23x34x12x25X32x1X22X31,4,5.第二个方程组减去第一个方程的 2倍，第三个方程减去第一个方程，就变成2捲 x2 3x31,4X2 X32 ,2x2 X34.第二个方程减去第三个方程的2倍，把第二第三两个方程的次序互换，即得2x-i x2 3x31 ,2X2 X34,X36.这样，就容易求出方程组的解为(9, -1, -6).分析一下消元法，

4、不难看出，它实际上是反复地对方程组进行变换，而所用 的变换也只是由以下三种基本的变换所构成:1. 用一非零数乘某一方程；2. 把一个方程的倍数加到另一个方程；3. 互换两个方程的位置.定义1变换1，2，3称为线性方程组的初等变换.二、线性方程组的解的情形消元的过程就是反复施行初等变换的过程.下面证明，初等变换总是把方程 组变成同解的方程组.下面我们来说明，如何利用初等变换来解一般的线性方程组.对于方程组(1)，首先检查捲的系数.如果X1的系数an,a21,as1全为零，那么方程组(1)对X1没有任何限制，X1就可以取任何值，而方程组(1)可以看作X2, ,Xn的方程组来解.如果X1的系数不全为

5、零，那么利用初等变换3,可以设an0.利用初等变换2,分别把第一个方程的色1倍加到第i个方程(i 2, ,n).a11于是方程组(1)就变成a1812X2a1n Xnb1,a?2 X2a2n Xnb2,as2 X2asnXnbs,其中ai1aij aijalj , iai12,s, j 2,这样，解方程组 的问题就归结为解方程组a22x2a2nxnas2 X2asn Xn bn的问题.显然(4)的一个解，代入(3)的第一个方程就定出xi的值，这就得出(3)的一个解；(3)的解显然都是(4)的解.这就是说，方程组(3)有解的充要条件为方程组(4) 有解，而(3)与(1)是同解的，因之，方程组(1

6、)有解的充要条件为方程组(4)有解.对(4)再按上面的考虑进行变换，并且这样一步步作下去，最后就得到一个阶梯形方程组为了讨论起来方便，不妨设所得的方程组为Cn X1G2X2C1 r xrGnxnd1 ,C22 X2C2r XrC2n xnd2 ,Crr Xrcrn xndr ,0dr 100,00.其中Ci0,i1,2, ,r .方程组中的“ 0=0”这样一些恒等式可能不出现，也可能出现，这时去掉它们也不影响(5)的解.而且(1)与(5)是同解的.现在考虑的解的情况如中有方程0 dr 1，而dr 10 .这时不管X1,X2,Xn取什么值都不能使它成为等式故无解，因而无解.当dr 1是零或中根本

7、没有“ 0=0”的方程时，分两种情况:1) r n.这时阶梯形方程组为c11X1 c12 X2c22 X2c1n Xnd1 ,c2nXnd2 ,cnn Xndn ,(6)其中Cii 0,1 1,2, ,n由最后一个方程开始，Xn ,Xn 1,X1的值就可以逐个地唯一决定了.在这个情形，方程组 (6)也就是方程组 (1)有唯一的解.例 1 解线性方程组2X1X23X314X12X25X342X1X22X352) r n.这时阶梯形方程组为c11X1c12X2c1r Xrc1,r 1Xr 1c1n Xnd1 ,c22 X2c2r Xrc2,r 1Xr 1c2nXnd2 ,crr Xrcr ,r 1

8、Xr 1crn Xndr ,其中 cii0,i 1,2, r .把它改写成c11X1c12 X2c1r Xrd1c1,r 1Xr 1c1n Xn ,c22 X2c2r Xrd2c2,r 1Xr 1c2nXn ,(7)crr Xrdrcr,r 1Xr 1crn Xn .由此可见，任给Xr 1 , , Xn 一组值，就唯一地定出Xi,X2, , Xr的值，也就是定出 方程组 (7)的一个解 .一般地，由 (7)我们可以把 x1,x2 , ,xr 通过 xr 1, ,xn 表示出 来，这样一组表达式称为方程组(1)的一般解，而Xr 1, ,Xn称为一组自由未知量例 2 解线性方程组2X1X23X31

9、,4X12X25X34,2X1X24X31从这个例子看出，一般线性方程组化成阶梯形，不一定就是 (5)的样子，但是只要把方程组中的某些项调动一下，总可以化成 (5)的样子 .以上就是用消元法解线性方程组的整个过程 .总起来说就是，首先用初等变换化线性方程组为阶梯形方程组，把最后的一些恒等式“0=0” (如果出现的话 )去掉 .如果剩下的方程当中最后的一个等式是零等于一非零的数，那么方程组无 解，否则有解.在有解的情况下，如果阶梯形方程组中方程的个数 r 等于未知量的 个数，那么方程组有唯一的解；如果阶梯形方程组中方程的个数 r 小于未知量的 个数，那么方程组就有无穷多个解 .定理 1 在齐次线

10、性方程组a11x1a12 x2a1nxn0,a21x1a22 x2a2nxn0,as1x1as2 x2asnxn0中，如果 s n ，那么它必有非零解 矩阵a11a12a1nb1a21a22a2nb2(10)as1as2asnbs称为线性方程组 (1)的增广矩阵 .显然，用初等变换化方程组 (1)成阶梯形就相当于 用初等行变换化增广矩阵 (10)成阶梯形矩阵 .因此，解线性方程组的第一步工作可 以通过矩阵来进行， 而从化成的阶梯形矩阵就可以判别方程组有解还是无解， 在 有解的情形，回到阶梯形方程组去解 .例 3 解线性方程组2x1x23x31,4x12x25x342x1x24x302 n 维向

11、量空间定义2所谓数域P上一个n维向量就是由数域P中n个数组成的有序数组(a1,a2, ,an )(1)ai 称为向量 (1)的分量 .用小写希腊字母 , , , 来代表向量.定义 3 如果 n 维向量(a1,a2, ,an ) ,(b1,b2, ,bn )的对应分量都相等，即ai bi(i 1,2, ,n).就称这两个向量是相等的，记作维向量之间的基本关系是用向量的加法和数量乘法表达的定义 4 向量(a1 b1,a2 b2, ,an bn) 称为向量(a1,a2, ,an ) ,(b1,b2, ,bn )的和，记为由定义立即推出：交换律：(2)结合律： ( ) ( )定义 5 分量全为零的向量

12、(0,0, ,0)(3)称为零向量，记为 0;向量 ( a1, a2, , an) 称为向量 记为 .显然对于所有的 ，都有0.(a1,a2, ,an) 的负向量，(4)(5)(2)(5)是向量加法的四条基本运算规律( ) 0 .定义 6 ( )定义 7 设 k 为数域 P 中的数，向量(ka1,ka2 , ,kan )称为向量(a1 ,a2,an)与数k的数量乘积，记为k由定义立即推出：k() k k ,(6)(k l) k l ,(7)k(l ) (kl) ,(8)1.(9)(6) (9) 是关于数量乘法的四条基本运算规则 .由(6)(9)或由定义不难推出：0 0, (10) ( 1) ,

13、 (11) k0 0.(12)如果 k 0, 0 ，那么k 0.(13)定义8以数域P中的数作为分量的n维向量的全体，同时考虑到定义在它们 上面的加法和数量乘法，称为数域 P上的n维向量空间.在 n 3时， 3 维实向量空间可以认为就是几何空间中全体向量所成的空间 . 以上已把数域P上全体n维向量的集合组成一个有加法和数量乘法的代数 结构，即数域P上n维向量空间.向量通常是写成一行：(a1,a2, ,an ) .有时也可以写成一列：a1a2为了区别，前者称为行向量，后者称为列向量。它们的区别只是写法上的不同 3 线性相关性一般向量空间除只有一个零向量构成的零空间外， 都含有无穷多个向量， 这

14、些向量之间有怎样的关系，对于弄清向量空间的结构至关重要。一、线性相关与线性无关两个向量之间最简单的关系是成比例 . 所谓向量 与 成比例就是说有一数k使k定义9向量称为向量组1, 2, s的一个线性组合，如果有数域 P中的数 ki,k2, ,ks，使k1 1 k2 2ks s,其中Ok?,ks叫做这个线性组合的系数例如，任一个 n 维向量(a1,a2 ,an ) 都是向量组1 (1,0,0),2 (0,1,0),(1)n (0,0,1)的一个线性组合 .向量1, 2, n称为n维单位向量.零向量是任意向量组的线性组合 .当向量 是向量组 1, 2, s 的一个线性组合时，也说 可以经向量组12

15、s 线性表出 .定义10如果向量组1, 2, t中每一个向量i(i 1,2,t)都可以经向量组1, 2, s线性表出，那么向量组1, 2, t就称为可以经向量组12s线性表出.如果两个向量组互相可以线性表出，它们就称为等价由定义有，每一个向量组都可以经它自身线性表出 . 同时，如果向量组1, 2,t可以经向量组1 , 2s线性表出，向量组1, 2, s可以经向量12p线性表出，那么向量组12t 可以经向量组线性表出向量组之间等价具有以下性质：1)反身性：每一个向量组都与它自身等价 .2)对称性：如果向量组12t 等价，那么向量组123)传递性：如果向量组t等价,1212p 等价，那么向量组p

16、等价 .定义 11 如果向量组s(s2) 中有一个向量是可以由其余的向量的线性表出，那么向量组s 线性相关 .等价.从定义可以看出，任意一个包含零向量的向量组一定是线性相关的 . 向量组2线性相关就表示 1 k 2或者 2 k 1( 这两个式子不一定能同时成立 ).在P为实数域，并且是三维时，就表示向量1与2共线.三个向量1, 2, 3线性 相关的几何意义就是它们共面 .定义11向量组1, 2, s(S 1)称为线性相关的，如果有数域P中不全为零的数ki,k2, ,ks，使k1 1k2 2ks s 0这两个定义在 s 2的时候是一致的 .定义 12 一向量组 1, 2, s(s 1)不线性相关

17、，即没有不全为零的数ki,k2, ,ks ，使k1 1 k2 2就称为线性无关；或者说，一向量组 1, 2s 称为线性无关，如果由k1 1 k2 2ks s 0可以推出k1 k2ks 0由定义有，如果一向量组的一部分线性相关，那么这个向量组就线性相关 换句话说，如果一向量组线性无关， 那么它的任何一个非空的部分组也线性无关 特别地， 由于两个成比例的向量是线性相关的， 所以，线性无关的向量组中一定 不能包含两个成比例的向量 .定义11 包含了由一个向量组构成的向量组的情形.单独一个零向量线性 相关，单独一个非零向量线性无关 .不难看出，由n维单位向量!, 2, n组成的向量组是线性无关的.具体

18、判断一个向量组是线性相关还是线性无关的问题可以归结为解方程组 的问题. 要判断一个向量组i (ai1,ai2 , ,ain ) i 1,2,s(2)是否线性相关，根据定义11 ，就是看方程x1 1x2 2xs s0(3)有无非零解 .(3)式按分量写出来就是a11x1a21x2as1xs0,a12 x1a22 x2as2 xs0,(4)a1nx1a2nx2asnxs0.因之，向量组!, 2, s线性无关的充要条件是齐次线性方程组(4)只有零解.例1判断P3的向量1 (1, 2,3), 2 (2,1,0), 3 (1, 7,9)是否线性相关。例 2 在向量空间 Px 里，对于任意非负整数 n2n

19、1,x,x , ,x线性无关 .例3 若向量组 1, 2, 3线性无关，则向量组 2 12, 2 5 3,4 3 3 1也线性无关 .从而，如果向量组 (2) 线性无关，那么在每一个向量上添一个分量所得到的n 1 维的向量组i(ai1,ai2,ain,ai ,n 1) , i 1,2, ,s(5)也线性无关 .定理 2 设 1, 2, r 与 1, 2, s 是两个向量组 . 如果1)向量组 1, 2, r 可以经 1, 2, s 线性表出，2) r s ，那么向量组 1, 2,r 必线性相关 .推论 1 如果向量组 1, 2, , r 可以经向量组 1, 2 , , s 线性表出，且1, 2

20、, , r 线性无关，那么 r s.推论 2 任意 n 1个 n 维向量必线性相关 .推论 3 两个线性无关的等价的向量组，必含有相同个数的向量 .定理 2 的几何意义是清楚的：在三维向量的情形，如果 s 2 ，那么可以由 向量 1, 2 线性表出的向量当然都在 1, 2所在的平面上，因而这些向量是共面 的，也就是说，当 r 2时，这些向量线性相关 . 两个向量组 1, 2 与 1, 2 等价， 就意味着它们在同一平面上 .二、极大线性无关组定义 13 一向量组的一个部分组称为一个极大线性无关组， 如果这个部分组 本身是线性无关的， 并且从这个向量组中任意添一个向量 (如果还有的话 ) ，所得

21、 的部分向量组都线性相关 .一个线性无关向量组的极大线性无关组就是这个向量组本身 . 极大线性无关组的一个基本性质是， 任意一个极大线性无关组都与向量组本 身等价.例 4 看 P3 的向量组1 (1,0,0), 2 (0,1,0), 3 (1,1,0)在这里1, 2 线性无关，而312，所以1, 2 是一个极大线性无关组另一方面， 1, 3 ,2 ,3 也都是向量组 1,2,3 的极大线性无关组.由上面的例子可以看出，向量组的极大线性无关组不是唯一的 . 但是每一个 极大线性无关组都与向量组本身等价， 因而，一向量组的任意两个极大线性无关 组都是等价的 .定理 3 一向量组的极大线性无关组都含

22、有相同个数的向量 .定理 3 表明，极大线性无关组所含向量的个数与极大线性无关组的选择无 关，它直接反映了向量组本身的性质 . 因此有定义 14 向量组的极大线性无关组所含向量的个数称为这个向量组的秩 . 一向量组线性无关的充要条件是它的秩与它所含向量的个数相同 . 每一向量组都与它的极大线性无关组等价 . 由等价的传递性可知，任意两个 等价向量组的极大线性无关组也等价 . 所以，等价的向量组必有相同的秩 .含有非零向量的向量组一定有极大线性无关组， 且任一个线性无关的部分向 量都能扩充成一极大线性无关组 . 全部由零向量组成的向量组没有极大线性无关 组. 规定这样的向量组的秩为零 .a11x

23、1a21x1a12x2a22x2a1n xna2n xnd1 ,d2 ,(A1)(A2)as1x1as2x2asnxnds ,(As)各个方程所对应的向量分别是现在把上面的概念与方程组的解的关系进行联系，给定一个方程组,d2),n1 (a11 , a12 , ,a1n ,d1),2 (a21,a22, ,a2s (as1,as2, , asn , ds ) .设有另一个方程b1x1 b2x2xnd,(B)它 对 应 的 向 量 为(b1,b2, ,bn ,d) . 则2, , s 的 线性组 合，l1 1 l2 2ls s 当且仅当 (B) l1(A1)l2 (A2)ls(As) ，即方程 (

24、B)是方程(Ai),(A2), ,(As)的线性组合.容易验证，方程组(Ai),(A2), ,(As)的解一定满足 (B). 进一步设方程组b11x1 b12 x2b21x1 b22x2b1n xnb2nxnc1 , c2 ,(B1)(B2)br1x1 br 2x2brn xncr ,(Br)它的方程所对应的向量为1, 2, ,r . 若 1,2,r 可经1,2 ,s 线性表出，则方程组 ( A1 ), ( A2 ),(As)的解是方程组(BJ,(B2),(BJ的解.再进一步，当 1, 2, , s 与 1, 2 , r 等价时，两个方程组同解 .例 5 (1)设 1, 2, 3线性无关，证明

25、1, 1 2,1 2 3 也线性无关；对n个线性无关向量组 1, 2, n ，以上命题是否成立？(2)当 1, 2, 3 线 性无 关，证 明 12 , 2 3,3 1 也 线性 无关 ，当1,2, n 线性无关时， 12, 2 3,n 1nn 1 是否也线性无关？例 6 设在向量组 1, 2,n 中， 10 且每个i 都不能表成它的前 i 1 个向量, i 1 的线性组合，证明1212n 线性无关 .4 矩阵的秩、矩阵的秩如果把矩阵的每一行看成一个向量， 那么矩阵就可以认为是由这些向量组成矩阵的列秩就是矩阵的.同样，如果把每一列看成一个向量，那么矩阵也可以认为是由列向量组成的定义 15 所谓

26、矩阵的行秩就是指矩阵的行向量组的秩； 的列向量组的秩 .3100例如，矩阵0A00的行向量组是1 (1,1,3,1),(0,2, 1,4) ,(0,0,0,5),4 (0,0,0,0)它的秩是 3.它的列向量组是1 (1,0,0,0) , 2(1,2,0,0) , 3(3,1,0,0) ,4 (1,4,5,0)它的秩也是 3.矩阵 A 的行秩等于列秩，这点不是偶然的 .引理 如果齐次线性方程组的系数矩阵a11x1a12x2a1n xn0,a21x1a22x2a2n xn0,（1）as1x1as2x2asn xn0a11a12a1na21a22a2nA 21as1as2asn的行秩 r n ，那

27、么它有非零解 .定理 4 矩阵的行秩与列秩相等 .因为行秩等于列秩，所以下面就统称为矩阵的秩二、矩阵的秩与行列式的联系定理 5 n n 矩阵a11a12a1na21a22a2nan1an2ann的行列式为零的充要条件是A的秩小于n.推论 齐次线性方程组a11x1a12 x2a1nxn0,a21x1a22 x2a2nxn0,an1x1an2 x2ann xn0有非零解的充要条件是它的系数矩阵a11a12a1nAa21a22a2nan1an2ann的行列式等于零 .定义16在一个s n矩阵A中任意选定k行和k列，位于这些选定的行和列的交点上的k2个元素按原来的次序所组成的 k级行列式，称为A的一个

28、k级子 式.在定义中，当然有k min(s,n)，这里min(s,n)表示s ,n中较小的一个.定理 6 一矩阵的秩是 r 的充要条件为矩阵中有一个 r 级子式不为零， 同时所 有 r 1 级子式全为零 .从定理的证明可以看出，这个定理实际上包含两部分，一部分是，矩阵 A的 秩r的充要条件为有一个r级子式不为零；另一部分是，矩阵的秩r的充要条 件为的所有r 1级子式全为零.从定理的证明还可以看出，在秩为r的矩阵中，不 为零的 r 级子式所在的行正是它行向量组的一个极大线性无关组，所在的列正是 它列向量的一个极大线性无关组 .三、矩阵的秩的计算在前面， 作为解线性方程组的一个方法，对矩阵作行的初

29、等变换，把矩阵化 成阶梯形 .实际上，这也是计算矩阵的秩的一个方法 .首先，矩阵的初等行变换是把行向量组变成一个与之等价的向量组.等价的向量组有相同的秩，因此，初等行变换不改变矩阵的秩 .同样初等列变换也不改 变矩阵的秩 .其次，阶梯形矩阵的秩就等于其中非零的行的数目 . 上面的讨论说明， 为了计算一个矩阵的秩， 只要用初等行变换把它变成阶梯 形，这个阶梯形矩阵中非零的行的个数就是原来矩阵的秩 .以上的讨论还说明， 用初等变换化一个线性方程组成阶梯形， 最后留下来的 方程的个数与变换的过程无关，因为它就等于增广矩阵的秩 .例 利用初等变换求下面矩阵的秩：11257123710A13491314

30、511165线性方程组有解判别定理设线性方程组为a1 xa?1 xa2 X2a?2 X2a1 n Xna2nXnb1,b2,as1 x1as2 X2asn Xnbs引入向量a11a12a1nb1a21a22a2nb21 21,nas1as2asnbs于是线性方程组(1)可以改写成向量方程X11 X22Xn n显然，线性方程组(1)有解的充要条件为向量可以表成向量组1, 2定理7(线性方程组有解判别定理)线性方程组(1)有解的充要条件为它的系数矩阵a11a12a1n. a21a22a2nAas1as2asn的线性组合.用秩的概念，线性方程组(1)有解的条件可以叙述如下:与增广矩阵a11a12a1

31、nbiAa21a22a2nb2as1as2asnbs有相同的秩.应该指出，这个判别条件与以前的消元法是一致的用消元法解线性方程组(1)的第一步就是用初等行变换把增广矩阵 A化成阶梯形.这个阶梯形矩阵在适当调动前列的顺序之后可能有两种情形:C|10012c22c1rC2rC1nC2nd1d200CrrCrndr0000dr0000000000或者c11c12C1 rC1nd10C22C2rC2nd200CrrCrndr000000000000000其中Cii 0,i 1,2, ,r,dri 0在前一种情形，原方程组无解，而在后一种情形 方程组有解.实际上，把这个阶梯形矩阵最后一列去掉，那就是线性

32、方程组（1）的系数矩阵A经过初等行变换所化成的阶梯形这就是说，当系数矩阵与增广矩阵 的秩相等时，方程组有解；当增广矩阵的秩等于系数矩阵的秩加 1时，方程组无 解.以上的说明可以认为是判别定理的另一个证明.根据克拉默法则，也可以给出一般线性方程组的一个解法.设线性方程组（1）有解，矩阵A与A的秩都等于r，而D是矩阵A的一个不为 零的r级子式（当然它也是A的一个不为零的子式），为了方便起见，不妨设D位 于A的左上角.显然，在这种情况下，A的前r行就是一个极大线性无关组，第r 1, ,s行 都可以经它们线性表出.因此，线性方程组（1）与a11x1a1r xra1n xnb1,a21x1a2r xra

33、2n xnb2,(4)ar 1x1arr xrarn xnbr同解.当 r n 时，由克拉默法则，线性方程组 (4) 有唯一解，也就是线性方程组 (1) 有唯一解 .r n 时，将线性方程组(4)改写为a11x1a1r xrb1a1,r1xr 1a1nxn ,a21x1a2r xrb2a2,r1xr 1a2n xnar1x1arr xrbrar,r1xr 1arn xn .,xr 的一个方程组，(5)(5)作为 x1,它的系数行列式 .由克拉默法则，对于 xr 1,Xn的2任意一组值，线性方程组(5),也就是线性方程组(1),都有唯一的解人,Xn就是线性方程组 ( 1 )的一组自由未知量 .对

34、(5)用克拉默法则，可以解出 x1,xr：x1d1c1,r1xr 1c1nxn ,x2d2c2,r1xr 1c2nxnxrdrcr,r1xr 1crn xn.(6)(6)就是线性方程组 (1)的一般解.例 取怎样的数值时，线性方程组x1x2x31,x1x2x3x1x2x3有唯一解，没有解，有无穷多解？ 6线性方程组解的结构在解决线性方程组有解的判别条件之后， 进一步来讨论线性方程组解的结构 所谓解的结构问题就是解与解之间的关系问题 .一、齐次线性方程组的解的结构设a11x1a12 x2a1nxn0,a21x1a22x2a2nxn0,(1)as1x1as2x2asnxn0是一齐次线性方程组，它的

35、解所成的集合具有下面两个重要性质：1. 两个解的和还是方程组的解 .2. 一个解的倍数还是方程组的解 .从几何上看，这两个性质是清楚的在n 3时，每个齐次方程表示一个过得 点的平面.于是方程组的解，也就是这些平面的交点，如果不只是原点的话，就 是一条过原点的直线或一个过原点的平面 . 以原点为起点，而端点在这样的直线 或平面上的向量显然具有上述的性质 .对于齐次线性方程组，综合以上两点即得，解的线性组合还是方程组的解 . 这个性质说明了， 如果方程组有几个解， 那么这些解的所有可能的线性组合就给 出了很多的解 . 基于这个事实，我们要问：齐次线性方程组的全部解是否能够通 过它的有限的几个解的线

36、性组合给出？定义17齐次线性方程组(1)的一组解!, 2, t称为(1)的一个基础解系，如果1) (1)的任一个解都能表成1, 2, t的线性组合；2) 1, 2, t线性无关应该注意，定义中的条件 2)是为了保证基础解系中没有多余的解 . 定理 8 在齐次线性方程组有非零解的情况下，它有基础解系，并且基础解 系所含解的个数等于n r，这里r表示系数矩阵的秩(以下将看到，n r也就是 自由未知量的个数 ).定理的证明事实上就是一个具体找基础解系的方法 .由定义容易看出， 任何一个线性无关的与某一个基础解系等价的向量组都是 基础解系 .二、一般线性方程组的解的结构如果把一般线性方程组a11x1a

37、12 x2a1n xnb1 ,a21x1a22x2a2n xnb2 ,(9)as1x1as2x2asn xnbs的常数项换成 0，就得到齐次线性方程组(1).齐次线性方程组 (1) 称为方程组 (9)的导出组.方程组(9) 的解与它的导出组 (1)的之间有密切的关系：1. 线性方程组 (9) 的两个解的差是它的导出组 (1) 的解 .2. 线性方程组 (9) 的一个解与它的导出组 (1) 的一个解之和还是这个线性方 程组的一个解 .定理 9 如果 0是线性方程组(9)的一个特解，那么线性方程组 (9) 的任一个 解 都可以表成0其中 是导出组(1)的一个解.因此，对于线性方程组 (9)的任一个

38、特解 0，当 取 遍它的导出组的全部解时， (10) 就给出(9) 的全部解 .定理 9 说明了，为了找出一线性方程组的全部解， 只要找出它的一个特殊的 解以及它的导出组的全部解就行了 . 导出组是一个齐次线性方程组，在上面已经 看到，一个齐次线性方程组的解的全体可以用基础解系来表示 . 因此，根据定理 我们可以用导出组的基础解系来表出一般线性方程组的一般解；如果 0 是线性方程组(9)的一个特解，1,2, n r是其导出组的一个基础解系，那么(9)的任一个解 都可以表成0 k1 1 k2 2k n r n r推论 在线性方程组 (9) 有解的条件下，解是唯一的充要条件是它的导出组 (1)只有

39、零解 .线性方程组的理论与解析几何中关于平面与直线的讨论有密切的关系.来看线性方程组ai2X2ai3X3bi ,a?i Xia22 X2423X3b2.(11)(11)中每一个方程表示一个平面，线性方程组(11)有没有解的问题就相当于这两 个平面有没有交点的问题我们知道，两个平面只有在平行而不重合的情形没有 交点.(11)的系数矩阵与增广矩阵分别是a11a22*1313与Aa11a21a23a21*13b1b2它们的秩可能是1或者2有三个可能的情形:1. 秩A=a a=1.这就是的两行成比例，因而这两个平面平行.又因为a的两行也成比例，所以这两个平面重合.方程组有解.2. 秩A=1，秩A =2

40、.这就是说，这两个平面平行而不重合.方程组无解.3. 秩A=2.这时A的秩一定也是2.在几何上就是这两个平面不平行，因而 一定相交.方程组有解.下面再来看看线性方程组的解的几何意义.设矩阵A的秩为2,这时一般解 中有一个自由未知量，譬如说是X3，一般解的形式为X1aeg.X2d2C2X3从几何上看，两个不平行的平面相交在一条直线 的点向式方程(12).把(12)改写一下就是直线X1 d1C1X2d2C2X3.如果引入参数t，令x3 t，(12)就成为x1d1e1t ,(13)x2d2 e2t,X3 t.这就是直线的参数方程.(11)的导出方程组是(14)a11x1 a12 x2 a13 x30,a21x1 a22x2 a23x30.从几何上看， 这是两个分别与 (11) 中平面平行的且过原点的平面， 因而它们的交 线过原点且与直线 (12)平行.既然与直线(12) 平行，也就是有相同的方向，所以 这条直线的参数方程就是x1 c1t ,x2 c2t,(15)x3 t.(13) 与(15) 正说明了线性方程组 (11) 与它的导出组 (14) 的解之间的关系 .例 1 求线性方程组x1x25x3x40,x1x22x33x40,3x1x28x3x40,x13x29x37x40