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1、湖南师大附中届高三月考试卷( 一)数学（理科）命题：湖南师大附中高三数学备课组一 . 选择题：本大题共个小题，每小题分，共分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.已 知 集 合2若N， 则 实 数 a 的 取 值 范 围 是M x x2 x 0, N x x a, M（）. 2,). (2,). (,0. (,0.下列四个命题：开始p1 :x(0, ),( 1) x(1)xp2 :x(0,1),log1 xlog1x2323输入p3 :x(0,),( 1) xlog 1 xp4 :x(0, 1),( 1) xlog1 x22323其中的真命题是（）. p1, p3. p1 , p
2、4. p2 , p3. p2 , p4否在如右图所示的程序框图中输入，结果会输出（）是.将函数 f (x)sin xcos x 的图像向左平移（)个单位长度，所得图像关于原点对称，则的最小值为（）.35.输出44441? y ? 2 x.若实数 x, y?，则 z = x +3 y 的最大值为（）结束满足条件 ? y ? x1?不全相等的五个数、 、具有关系如下： 、成等比数列，、和、都成等差数列， 则 acmn（） - 2不能确定.已知边长为的正方形位于第一象限，且顶点、分别在、的正半轴上（含原点）滑动，则OB OC 的最大值是（）2 52.一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积为（
3、）正视图侧视图33.42.3.23【解读】如图所示，四面体为正四面体.若 曲 线 C1 ： x 2y 22 x 0 与 曲 线 C 2：y( ymxm)0有个不同的交点，则实数m 的取值范围是（）.(3 ,3 ).33(3 ,0)(0,3 )33.3 ,3 . (,3 )( 3 ,)3333【解读】曲线 C1 ： ( x 1) 2y 21，图像为圆心为（） ，半径为的圆；曲线C2 ： y 0，或者 ymxm 0 ，直线 ymxm0 恒过定点 ( 1,0) ，即曲线 C2 图像为 x 轴与恒过定点 (1,0) 的两条直线。作图分析：33l1k1tan 30tan 30， k2，33又直线 l1
4、（或直线 l 2 ）、 x 轴与圆共有四个不同1的交点，结合图形可知mk(3 ,0)(0,3 )l 233.已知集合 Ax xa0a13a232a333，其中 ai0,1,2i0,1,2,3 且a30 ，则中所有元素之和等于（）、【解读】由 题 意 可 知 ， 各 有 种 取 法 （ 均 可 取 ，）， 有 种 取法 ， 由 分 步 计 数 原 理 可 得 共 有 种 方 法 ， 当 取， 时 ， 各 有 种 取 法 ， 有 种 取 法 ， 共 有 种 方 法 ， 即 集 合 中 含 有 项 的 所 有 数 的 和 为 （ ） ；同 理 可 得 集 合 中 含 有 项 的 所 有 数 的 和
5、为 （ ） ；集 合 中 含 有 项 的 所 有 数 的 和 为 （ ） ；集 合 中 含 有 项 的 所 有 数 的 和 为 （ ） ；由 分 类 计 数 原 理 得 集 合 中 所 有 元 素 之 和 ：（ ） （ ） （ ） （ ） （ ） 故 选 二 . 填空 ：每小 分，共分.在中， a ， b , 60 ， cosB6【答案】3如 ， x2y21的 1A，短 ，将坐 平面沿 折成一个二面角，使点在1612平面1A 上的射影恰好是 的左焦点， 此二面角的大小 【答案】31f ( x)dx x, 则 f (x) _. 若 f ( x)0【答案】 f ( x)x1 .41【解 】因 0f
6、 ( x)dx 是个常数，不妨设为m，所以f ( x)xm,其原函数 F ( x)1x2mx, 所以可得方程 m1m, 解得 m1. 故 f ( x) x1.2244 在 函 数 f ( x)a ln x ( x 1)2 x 0 的 图 像 上 任 取 两 个 不 同 的 点 P(x1, y1 ) 、Q( x2 , y2 ) (x1x2 ) ， 能使得f ( x1 )f ( x2 )4( x1x2 ) ， 数 a 的取 范 【答案】 1 ,)2【解 】原式等价 f ( x1 )4x1f ( x2 )4x2 ，令 g(x)f (x)4x， g( x) 在 (0,) 上 不减函数，所以g (x)0
7、 . 两千多年前，古希腊 达哥拉斯学派的数学家曾 在沙 上研究数学 ，他 在沙 上画点或用小石子来表示数，按照点或小石子能排列的形状 数 行分 ， 中的 心点的个数、 ，被称 五角形数， 其中第个五角形数 作，第个五角形数 作，第个五角形数 作，第个五角形数 作， ，若按此 律 下去， ，若， 【答案】，【解 】根据 形 化的 律可 得三、解答 ：本大 共个小 ，共分解答 写出文字 明、 明 程或演算步 . （本 分分）设 f ( x) sin(x)2cos 2x 1.468( )求 f ( x) 的最小正周期；( )若函数 y =f ( x) 与 y =g(x) 的 像关于直 x1 称，求当
8、 x ? 0,4 时 yg( x)3的最大 .【解 】（） f (x) sinx coscosxsincosx3 sinx3cos4x3sin(x),4646424243故 f (x) 的最小正周期 T28. 分4（2）法一：在 yg(x) 的 像上任取一点(x,g(x),它关于 x1 的 称点 (2x,g(x).由 条件，点 (2x,g(x)在 yf (x) 的 像上，从而g(x)f(2 x)3 sin4(2x)33sin24x33 cos(x3) ，4当 0x4 ，3x32，因此 yg(x) 在区 0, 43433ymax3 cos3 .32上的最大 分法二：因区 0, 4关于 x1的 称
9、区 2 , 2且 yg(x) 与 yf (x) 的 像关于直33，线 x1 称，故 yg(x)在区 0,4上的最大 yf (x) 在区 2, 2 上的最大 .33由（）知 f (x)3sin( x2x2 ，x.). 当6464333因此 yg(x) 在区 0, 4上的最大 ymax3 sin63 . 分32（本 分分）某 台 行由 手 名参加的比 型的 目， 手 入正 前需通 海 ，参加海 的 手可以参加、三个 目，只需通 一 即可停止 ，通 海 .若通 海 的人数超 定正 参 人数， 先考 参加海 次数少的 手 入正 .当某 手三 均未通 ， 被淘汰. 已知甲 手通 目、 、 的概率 分 1
10、 、1 、 1 ， 且通 各次 的事件相互独立 .532( )若甲 手先 目，再 目，后 目，求他通 海 的概率；若改 序， 他通 海 的概率是否有影响？ 明理由.( )若甲 手按某种 序参加海 ，第一 能通 的概率 ，第二 能通 的概率 ，第三 能通 的概率 ， 他 束 已参加 的次数 ，求的分布列和期望（用、表示）；并 明甲 手按怎 的 序更有利于他 入正 .【解 】 ( )依 意，甲 手不能通 海 的概率 ( 1)( 1)(1)4 ，53215故甲 手能通 海 的概率 ( 1)(1)( 1)11. 分53215若改 序 他通 海 的概率没有影响，因 无 按什么 序，其不能通 的概率均 (
11、1)( 1)( 1)4 ，1153215即无 按什么 序，其能通 海 的概率均 . 分15( )依 意，的所有可能取 、 、.() ， ( )( ) ， ( ) ( )( ) .故的分布列 ( )( )( )分() ( )( )分分 算当甲 手按CBA ，CAB ，BAC ，BCA ，ABC ， ACB 的 序参加 ，的 ，得甲 手按CBA 的 序参加 ，最小，因 参加 的次数少的 手 先 入正 ，故 手 将自己的优 势 项 目 放 在 前 面 ， 即 按 CBA 的 顺 序 参 加 测 试 更 有 利 于 进 入 正赛. 分. （本 分分）如 ， ABC的外接 的半径 ，垂直于所在的平面，,
12、且 , cos ADB101 .E101( )求 ：平面 AEC平面 BCED ;( ) 段上是否存在点，使得直 与平面所成角的正弦 221 ？若存在，确21定点的位置；若不存在， 明理由.【解 】 ( ) 明：BD面ABC101BDAB ,又因为, cosADB.101AMCDOB故101 直径 ，分ACBC .又因 EC面 ABC ,所以 ECBC .ACECC ,BC面 ACE ,又 BC面 BCED ，平面 AEC平面 BCED分( )存在，如 ，以 原点，直 ，直 ，直 建立空 直角坐 系， 有点的坐 ， (， )， (，)，( ， )， (， ).则 AD ()， DE (),z设
13、 DMDE() (, -6, 3),E故 AMADDM （ ,6-6， 1+3 ）M由（）易得面的法向量 CB (， ) ，CD 直 与平面所成角 ，则 sin| AM CB |AOB y| AM | |CB |x3636)2221 ，解得1.6436(1) 2(136213 分所以存在点，且DM1 DE ，直 与平面所成角的正弦 2 21.321分法二：（几何法）如 ，作交于， 接 ,则 MN面 AEC ,故直 与平面所成角 MAN ,且 MNAN ,NC AC .E设 x , 由直 与平面所成角的正弦 为 2 21 ，得21x，所以 AN17 x .NM21另一方面，作, 得 x , NC
14、4 xCD而 AC8 ,故 Rt ANC 中，由 AN 2AC 2 NC 2得 17 x264(4 x)2 ，x 2 ， MN 4, EM 2 5AO所以存在点，且EM 25221 ，直 与平面所成角的正弦 .21分B（本 分分）等比数列 an 中的前三 a1、 a2、 a3 分 是下面数 中第一、二、三行中的某三个数，且三个数任意两个数都不在同一行、同一列5436108201216（ 1）求此数列 an 的通 公式；（ 2）若数列 bn 足： bn an 1 n lg an ，求数列 bn 的前 和 Sn .【解 】 () ，当a1 或 ，不可能得到符合 中要求的等比数列；故有 a1 ， a
15、26， a312 ，等比数列公比 ,所以 an 3 2n 1. 分(2) 由 an 3 2n 1得 bn an 1 n lg an92n 1( 1) n lg 3(n 1) lg 2 .所以 Sn （9122n 1 )11 21 n (lg 3lg 2)123(1) n n lg 2. 分 偶数 ， Sn912nn lg 29(2 n1)n lg 2 .1222 奇数 ， Sn 9 12n(lg 3 lg 2) ( n 1n) lg 2 9( 2n1)n 1 lg 2 lg 3 .12229( 2n1)n lg 2， n为偶数所以 , Sn2n1 lg 2 lg 3， n为奇数9( 2n1)2
16、 分（本 分分）22已知 C : (x1)2( y1)22经过椭圆: x2y21(ab0) 的右焦点 F 和上 点 B ab（）求 的方程；（）如 ， 原点O 的射 l 与 在第一象限的交点 Q ，与 C 的交点 P ， M为 OP 的中点，求 OMOQ 的最大 .y【解 】（）在 C : ( x2( y1)22 中，1)B令 y0 得 F (2,0) ，即c2，令x0，得 B0,2)(，Cb 2Qx2y2P由2228 ， 椭 圆：1 .Mabc84OFx分（）法一：依 意射 l的斜率存在， l : ykx( x0,k0) ， P( x1 , kx1 ), Q( x2 , kx2 )ykx2
17、2x2y2得： (1 2k2 ) x28 ， x2.分84112k2ykx得： (1 k2 )x2(22k) x0， x12 2k ，( x 1)2( y 1)221 k 2 OM OQ ( x1 , kx1 )(x2 , kx2 )1k 2 x1x2 ) 2 21k. 分( x1 x21(k 0)2222k22 2(1 k) 22 2k 22k 112 k212k 2设(k)k22k1， / (k)4k22k2 ，1 2k 2(1 2 k2 )2令 / (k )4k22 k 20 ，得 1 k1 (1 2k2 ) 22又 k0 ，(k) 在 (0,1) 增，在(1,) 减 .22当 k1 ，
18、(k)max( 1 )3 ，即 OMOQ 的最大 2 3.分222法二：依 意射 l 的斜率存在， l : ykx(x0, k0) ， P( x1 , kx1 ), Q(x2 , kx2 )ykx2222x2y28 ， x2.分1得： (1 2k ) x12k284OMOQ(OC CM ) OQOC OQ(1,1) ( x2 , kx2 )(1k) x221k0)2( k分12k 222(1k ) 212 k2 .设 t1 k (t 1) ， (1 k)22t 2t23111123 .12k 24t24(12222)3( )3( )3ttt3当且 当 12, 即 OMOQ max23. 分t
19、3、（本 分分）已知函数f ( x)exax 22x1(xR) .（）当 a0 ，求 f ( x) 的 区 ；（）求 ： 任意 数a0 ，有 f ( x)a2a1.a【解 】（）当 a0 ， f ( x) ex2x1(xR) ， f (x)ex2 ，且 f ( x) 的零点 xln 2 ，当 x(,ln 2) ， f (x) 0 ；当 x(ln 2,) ， f ( x) 0即 (,ln 2)是 f ( x) 的 减区 ， (ln 2,) 是 f (x) 的 增区 . 分（）由 f ( x)exax22x 1(xR) 得： f(x)ex2ax 2 ，记 g( x)ex2ax2( x R). a0
20、， g ( x)ex2a 0 ，即 f (x)g ( x) 是上的 增函数，又 f (0)10, f (1)e2a20 ，故上存在惟一的x0(0,1) ，使得 f ( x0 )0 ， 分且当 xx0 ， f ( x)0 ；当 xx0 时 f (x) 0 .即 f (x) 在 (, x0 ) 上 减，在( x0 ,) 上 增，则 f (x)minf ( x0 )ex0ax022x01，再由 f( x0 ) 0 得 ex02ax0 2 ，将其代入前式可得 f ( x)minax022(a1)x01. 分又令(t)at 22( a1)t1a(ta1)2(a1)21aa由于a 0 , 称 x =a- 1 1 ，而 x0 ? (0,1)(x0 )(1)a 1a又 (aa2a110 ，( x0 )a2a11)aaa故 任意 数 a0 ，都有 f (x)a2a1. 分a