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1、1,3.1.1 方程的根与函数的零点,开鲁蒙中 数学组 备课人：朱广云,2,一元二次方程ax2+bx+c=0(a0) 与二次函数y=ax2+bx+c(a0)有什么联系？,子问题：,形式上有什么相同点？,有什么不同点？,怎样可以由函数得到方程？,思考：,3,一元二次方程,二次函数,函 数 的 图 象,方程的实数根,x1=1,x2=3,x1=x2=1,无实数根,(-1,0)、(3,0),(1,0),无交点,知识探究（一）：方程的根与函数的零点,0,=0,0,判别式 =b24ac,4,对于函数y=f(x),我们把使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点。,函数零点的定义：,注意：零点指的是一
2、个实数,函数,的零点就是方程,的根.,函数,的零点就是它的图象与 x 轴交点的横坐标。,y=f(x),f(x)=0,y=f(x),零点是一个点吗？,5,函数y=f(x)有零点,方程f(x)=0有实数根,函数y=f(x)的图象与x轴有交点.,等价关系,6,由图可知，共有三个零点，分别是：,零点不是点，而是实数！,初步运用，示例练习,方程的实数根即函数的零点，如何根据图像寻找零点呢？ 观察函数图像 ，说说有几个零点？分别是谁？,7,解题思路,判断下列函数是否有零点，若有，请求出,代数法: 令f(x)=0; 解方程f(x)=0 写出零点！ 几何法： 图像与X轴交点的横坐标即为零点！,8,观察二次函数
3、f(x)=x22x3的图象:,2,1,2,4,观察对数函数f(x)=lgx的图象:,0.5 , 1.5,怎样的条件下，函数yf(x)一定有零点？,知识探究（二）：函数零点存在定理,f(2)0 ，f(1)0，f(2)f(1)0,（2,1）x1 是 的一个根,f(2)0 f(2)f(4)0,（2,4）x3是 的另一个根,f(0.5)0 f(0.5)f(1.5)0,（0.5 , 1.5) x1 lgx=0的一个根.,9,图象不间断,图象不间断,图象不间断，,函数f(X),在区间(a,b),上存在零点.,函数f(X)在区间(a,b)上存在零点,c,零点,c,零点,一般化,10,如果函数 y=f(x)在
4、区间a, b上的图象是连续不断 的一条曲线,并且有f(a)f(b)0, 那么, 函数y=f(x) 在区 间(a, b)内有零点, 即存在c(a, b),使f(c)=0, 这个c也 就是方程f(x) = 0的根,零点“存在”定理：,11,注意： 零点存在 图像连续与f(a)f(b)0 缺一不可,12,注意：零点存在定理不可逆用！即函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点 f(a)f(b)0。,13,注意:零点存在定理只判断是否存在零点，而零点个数不确定。,a,b x,14,唯一,零点的存在性定理,15,（零点存在性） 由表3-1和图3.13可知,f(2)0，,即f(2)f(3)0，,说明这个函数
5、在区间(2,3)内 有零点。,由于函数f(x)在定义域 (0,+)内是增函数，所以 它仅有一个零点。,解：用计算器或计算机作出x、f(x)的对应值表（表3-1）和图象,4,1.3069,1.0986,3.3863,5.6094,7.7918,9.9459,12.0794,14.1972,例2 求函数f(x)=lnx+2x6的零点个数。,1,2,3,4,5,6,7,8,9,x,f（x）,的单调性判断方法：,思路：用定理判断存在； 用单调性判断零点个数。,法一：利用函数零点的存在性定理求函数零点,（零点个数）,16,（法二）将函数f(x)=lnx+2x6的零点个数转化为函数y=lnx 与y=-2x
6、+6的图像交点的个数。,y=-2x+6,y=lnx,17,函数的零点是：（ ） （-1，0）,（3，0）； x=-1； x=3； -1和3,辨析练习：,18,快速判断：下列函数有没有零点？,火眼金睛,19,2. 已知函数 的图像是连续不断的，有 如下表所对应值： 那么函数 在区间 上的零点至少有_个。,3,20,21,判断二次函数,在区间,上是否存在零点.,思路一：求根法,用求根法确定该函数另一零点的范围，并用上述方法加以验证！,图象不间断,思路二：利用零点存在性定理,形的直观、数的精细、互为印证、相得益彰.,小试牛刀,22,求证：函数,在区间,上存在零点.,证：,23,对于函数y=f(x), 叫做函数y=f(x)的零点。,方程f(x)=0有实数根,函数的零点定义：,等价关系,使f(x)=0的实数x,小 结,函数零点存在性原理,24,课后作业：,25,谢谢指导！,