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1、1,2.4.1 平面向量的数量积的 物理背景及其含义,高一年级数学组,2,向量的夹角：,当= 0时， 与 同向；,当= 180时， 与 反向；,当= 90时， 与 垂直，记作 。,3,问题：如果我们将公式中的力与位移类比推广到两个一般向量，其结果又该如何表述？,两个向量的大小及其夹角余弦的乘积。,功是力与位移的大小及其夹角余弦的乘积；,4,平面向量的数量积的定义,说明：,5,问题3：向量的数量积运算与实数同向量积的线性运算的结果有什么不同？,实数同向量积的线性运算的结果是向量 两向量的数量积是一个实数，是一个数量,问题4：影响数量积大小的因素有哪些？,这个数值的大小不仅和向量与的模有关，还和它
2、们的夹角有关。,正,负,0,数量积符号由cos的符号所决定,6,7,例1.已知 ， 的夹角=120， 求 。,解：,8,二、投影:,叫做向量 在 方向上(向量 在 方向上)的投影.,数量积的几何意义：,9,向量 在方向 上的投影是数量,不是向量,什么时候为正，什么时候为负？,探究：,10,三、平面向量数量积的几何意义:,11,练一练：,12,由向量数量积的定义，试完成下面问题：,注：常记 为 。,0,证明向量 垂直的依据,13,四、平面向量数量积的运算率:,(1)交换律：,(2)数乘结合律：,(3)分配律：,数量积不满足结合律和消去率,14,15,平面向量数量积的重要性质:,判断两个向量垂直的依据,16,求向量模的依据,求向量夹角的依据,平面向量数量积的重要性质:,17,（2）判断：,18,19,1、两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号由cos的符号确定；,注意：,2、两个向量的数量积称为内积，写成 ;与代数中的数ab不同，书写时要严格区分；,3、在实数中,若a0,且ab=0,则b=0；但在数量积中,若 ，且 ,不能推出 。因为其中cos有可能为0,4、已知实数a、b、c（b0)，则有ab=bc得a=c.但是有 不能得,5、在实数中（ab)c=a(bc), 但,20,例2.我们知道，对任意 ，恒有,对任意向量 是否也有下面类似的结论？,21,22,