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1、2018-2019 学年第一学期期中考试高二理科数学试卷本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，共150 分，考试时间120 分钟第卷一、选择题（本大题共12 小题，每小题5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1与直线 l : 3x4 y50 平行且过点1,2的直线方程为（）ABCD4x 3y 10 04x 3y 11 03x 4 y 11 03x 4 y 11 02若一组数据 x1, x2 , xn 的方差为 1，则2x14,2 x24, 2 xn 4 的方差为（）A1B 2C 4D83已知cos3 ，且2, ，则 tan（）25A.3B.4C.43
2、34D.434若数列an为等差数列， Sn 为其前 n 项和，且 a12a51，则 S17（）A.17B.17C.1722D.175直三棱柱 ABC A1B1C1 中，若BAC90， ABACAA1 ，则异面直线 BA1 与 AC1 所成的角等于（）A.30B.45C.60D. 906在等比数列an中， a1a4 a72 ，a3 a6a98 ，则 an的前 9 项和 S9（）A. 6B.14C.6或 18D. 6 或 147半径为 R 的半圆卷成一个圆锥，圆锥的体积为（）- 1 - / 12A.3R3B.3R3C.3R3D.1R3362468某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是()A
3、2865B 3065C 56125D60 125（第八题图）9平面内与点A(2,3)距离为 3，且与点 B(1, 1) 距离为 2 的直线的条数为（）A 4B 3C 2D 110 已知两点 M (2,0), N (2,0) , 若直线 yk (x3) 上至少存在三个点 P ，使得MNP 是直角三角形，则实数k的取值范围是（）A 2,2B 4 , 4C 2 ,00, 25555D2 5 ,00, 255511 已知三棱锥PABC 的四个顶点均在半径为2 的球面上，且满足PA PB 0，PB PC0 ， PCPA0 ，则三棱锥 PABC 的侧面积的最大值为（）A 2B 4C 8D 1612如图所示
4、， 正方体 ABCD A1 B1C1D1的棱长为 23 ，动点 P 在对角线 BD1 上，过点 P 作垂直于 BD1 的平面，记这样得到的截面多边形（含三角形）的面积为y ，设 BP x ，则当x 1,5时，函数 yf ( x) 的值域为（）A3,9 3B 3 3 ,662- 2 - / 12C 3 3,9 3D 3 6,6 62（第十二题图）第卷二、选择题（本大题共4 小题，每小题5 分，共 20 分）13已知 a1 , b2 ,a (ba) 0 , 则向量 a 与 b 的夹角为x0,y1 的取值范围是14若实数 x, y 满足y0,则 z4x3y12,x115已知正方体 ABCDA1 B1
5、C1D1 棱长为 1，点 M 是 BC1 的中点， P 是 BB1 上的一动点，则AP MP 的最小值为 _16在锐角ABC 中，角 A , B , C 所对的边长分别为 a , b , c ，已知 c2 ，且a cos B b cos A3cABC 的周长的取值范围为, 则2sin C三、解答题（本大题共6 小题，共70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17（本小题满分 10 分）已知函数 f ( x) 2 sin(2x) 4 cos2 x 2 ，6（ 1）求函数 f ( x) 的单调减区间；（ 2）若 x3 , , 求函数 f ( x) 的值域418（本小题满分12分）如图，
6、E 是矩形 ABCD 中 AD 边上的点， F 为 CD 边的中点，24, 现将 ABE 沿 BE 边折至 PBE 位置，且平面 PBE 平面 BCDE AB AEAD3- 3 - / 12（ 1）求证：平面 PBE 平面 PEF ；（ 2）求四棱锥 P BEFC 的体积19（本小题满分12 分）第 31 届夏季奥林匹克运动会于2016 年 8 月 5 日至 8 月 21 日在巴西里约热内卢举行如表是近五届奥运会中国代表团和俄罗斯代表团获得的金牌数的统计数据（单位：枚）第 30 届伦敦第 29 届北京第 28 届雅典第 27 届悉尼第 26 届亚特兰大中国3851322816俄罗斯242327
7、3226（ 1）根据表格中两组数据在答题卡上完成近五届奥运会两国代表团获得的金牌数的茎叶图，并通过茎叶图比较两国代表团获得的金牌数的平均值及分散程度（不要求计算出具体数值，给出结论即可） ；（ 2）如表是近五届奥运会中国代表团获得的金牌数之和y （从第26 届算起，不包括之前已获得的金牌数）随时间x 变化的数据：时间 x （届）2627282930金牌数之和 y （枚）164476127165作出散点图如图：- 4 - / 12由 可以看出，金牌数之和y 与 x 之 存在 性相关关系， 求出y 关于 x 的 性回 方程，并 从第26 届到第 32 届奥运会 中国代表 得的金牌数之和 多少？附：
8、 于一 数据x1 , y1，x2, y2，xn , yn，其回 直 ybx a 的斜率和截距nxixyi y的最小二乘估 分 ：bi 1n2i 1xixni1xi yin 2i 1xinxy，nx 220（本小 分12 分）已知数列111n2*) an 足：a2an(n Na12（ 1）求数列 an 的通 公式；（ 2）若 bnanan1， Sn 数列 bn 的前 n 和， 于任意的正整数n 都有 Sn21 恒成3立，求 数的取 范 21（本小 分12 分）如 ，在三棱柱ABCA1B1C1 中， CC1底面 ABC ，点 D 是 AB 的中点（ 1）求 ：AC1平面 CDB 1 ；（ 2） 1
9、 1M ，使得 BM1AB 2 2 AA1， AC上是否存在点BC ，在 段 A BCB ?若存在，确定点 M 的位置；若不存在， 明理由- 5 - / 1222（本小题满分 12 分）已知圆 C : x2y 320，过 A( 1,0)4 ，直线 m : x 3y 6的一条动直线 l 与直线 m 相交于 N ，与圆 C 相交于 P, Q 两点， M 是 PQ 中点(1) 当 PQ2 3 时，求直线 l 的方程；(2) 设 t AM AN ，试问 t 是否为定值 , 若为定值 , 请求出 t 的值；若不为定值，请说明理由yClMQPxA ONm- 6 - / 12高二理科数学答案一、选择题（共1
10、2 小题，每小题5 分，共 60 分）1.C 2.C 3.A 4.D 5.C6.D 7.C 8.B 9.B 10.D11.C 12.C二、填空题（共4 小题，每小题5 分，共20 分）13.14. 1 ,515.1016.223,6342三、解答题（共6 小题，每小题5 分，共70 分）17（本小题满分12 分）解 f ( x)2sin(2 x)4cos 2 x 22(sin 2x3cos 2x1)2cos 2 x6223 sin 2xcos 2x2 sin(2x)（ 4 分）6（ 1）当 2k22x2k3,( kZ) 时 f (x) 为减函数62（ 5 分）即 kxk5,( kZ ) 时 f
11、 ( x) 为减函数36则 f ( x) 为减区间为k, k5(kZ ) （ 7 分）36（ 2）当 x3,时，2x411（ 8 分）463,6 2sin2x2, 1 f (x) 的值域为2, 1 .（ 10 分）618. （本小题满分 12 分）（ 1）证明：在 RtDEF 中，由 EDDF 得 DEF 45 ,在 Rt ABE 中，由 AEAB 得 AEB45 ,BEF 90 ,EFBE （ 2 分）- 7 - / 12平面 PBE平面 BCDE ,且平面 PBE平面 BCDEBEEF平面 PBE平面 PBE平面 PEF.（ 6 分）(2) 过 P 作 POBEPO 平面 PBE , 平面
12、 PBE平面 BCDE , 且平面 PBE平面 BCDEBE ，PO 平面 BCDE ,（ 9分）四棱 PBEFC 的高 hPO2 2 ,SBCEFSABCDS ABES DEF14 ,VPBCEF114 22282. （12 分）3319. （本小 分 12 分）解：（ 1）近五届奥运会两国代表 得的金牌数的茎叶 如 ： 3 分由 可得中国代表 得的金牌数的平均数大于俄 斯代表 的金牌平均数；俄 斯代表 得的金牌数 集中，中国代表 得的金牌数 分散 5 分5（ 2）因 x28 ， y(xi x ) yi y38185.6 ， i 1，52xix10i1，- 8 - / 12n?( xi x
13、)( yiy)i 1381bn38.1( xix) 210所以，i 1 8 分a ybx85.638.128 981.2， 9 分所以金牌数之和?38.1x981.2 ， 10 分y 关于 x 的 性回 方程 y当 x32 ，中国代表 得的金牌数之和的 y? 38.1 32 981.2 238 ，故 到第32 届奥运会 中国代表 得的金牌数之和 238 枚 12 分21. （本小 分 12 分）（ 1）解：由 意得，当n=1 ， 11 ， a12 ， 1 分a12当 n2 ， 1 11 n2， 1 11( n 1)2， 3 分a1a2an2a1a2an 12两式相减得 1n2( n1)22n1
14、，即 an2n1， 5 分an2222当 n=1 ，也符合上式， an2n1. 6 分2（ 2）解：由（ 1）得 bnan an 1=224 7 分1 2(n1)1(2 n1)(2n2n1)所以 bn11) 8 分2(12n2n1所以 Sn2 (11)(11)( 11 )(111)=2(11) 10 分335572n2n12n1 Sn 是关于 n 的增函数，当n=1 ， Sn 最小 S143因 于任意的正整数n， Sn21恒成立，所以41532，解得，336故 数的取 范 是 (, 5). 12 分621.（本小 分12 分）- 9 - / 12 明：（1） C1B DE ， CB1 与 C1
15、 B 的交点 E ， DE ， D 是 AB 的中点， E 是 BC1 的中点，E DE AC1 2 分 DE平面 CDB1 ， AC1平面 CDB 1 ， AC1 平面 CDB1 5 分（ 2）在 段 A1 B1 上存在点 M 且 B1M1 B1 A1 4使得 BMCB1 .6 分 明如下：在 段A1 B1 上取点 M 且 B M1 B A ， BM .1411 AA1底面 ABC ， CD 底面 ABC ， AA1CD 7 分由已知 AC BC ， D 段 AB 的中点， CDAB 又 AA1 ABA ， CD 平面 AA1B1B 8 分 BM平面 AA1 B1 B ， CDBM 9 分由
16、已知 AB2 2 AA1 得 BD2BB1 , B1 M2 BB1 ,2在 RtBB1M 中， tan MBB1MB12同理 tanB1DB2BB12,2 B1DBDB1BMBB1DB1B即 B1DBM .2又 CDB1DD ， BM平面 B1CD 又 B1C平面 B1CD ， BM CB1 12 分22（本小 分12 分）y(1) 当直 l 与 x 垂直 ,易知 x1符合 意 ; 2 分ClMQP- 10 - / 12xA ONm当直 与 x 不垂直 , 直 l 的方程 yk(x1) ,由于所以PQ2 3 ,CMk31. 由 CM1,k 21解得 k4 4分.3故直 l 的方程 x1或 4x
17、 3y 4 0 5 分(2) 当 l 与 x 垂直 , 易得 M (1,3) ,N ( 1,5) , 又 A(1,0) 则 AM (0,3),3AN (0, 5) , 故 AM AN5 . 即 t5 6 分3当 l的斜率存在 , 直 l 的方程 yk(x 1), 代入 的方程得(1k 2 ) x 2( 2k 26k) xk 26k5 0 .则 xMx1x2k 23k,yMk (xM1)3k 2k , 8 分21k 21k 2k 23k3k 2k3k 1 3k 2k即 M (1 k2,1 k 2) ,AM(1 k 2, 1 k 2 ) . 9 分yk( x1),3k 6 ,5k ) ,又由3y6得 N (1x0,13k3k则 AN(5,15k ) . 10 分13k3k故 t AM AN15k55k (3k 2k)5(13k )(1k2 )5.k 2 )(13k )(1 k 2 )(13k )(13k )(1k 2 )(1 上 , t 的 定 , 且 t5 12 分解法二（几何法）:- 11 - / 12连结 , 延长交于点 ，计算 CA斜率 知 . 又于 ,故 . 于是有 .由得故- 12 - / 12