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1、1,1.3 克莱姆法则,我们已经知道,在一定条件下,二元(或三元) 线性方程组的解可以用二阶(或三阶)行列式表示出来.那么,对于n元线性方程组能否用n阶行列式来表示?,1.克莱姆法则 2.齐次线性方程组有非零解的充要条件,2,一、克莱姆法则,3,则该线性方程组有且仅有唯一解:,其中Dj (j=1,2,.,n)是把系数行列式D中第j列的元素用常数项b1,b2,bn代替后得到的n阶行列式. 即,4,定理中包含三个结论:,(1)方程组有解,(2)解是唯一的,(3)解由公式 ( j=1,2,.,n)给出,注: 用克莱姆法则解线性方程组必须有两个前提条件:,(1)未知数个数等于方程个数,(2)系数行列式
2、D0,5,例1 解线性方程组,解:,方程组的系数行列式,=27,0,6,由克莱姆法则知,方程组有唯一解,=81,= 108,=3,= 4,7,= 27,=27,= 1,=1,8,因为x1=0, x2=0, xn=0就是一个解,它称为零解.,二、齐次线性方程组有非零解的充要条件,齐次线性方程组:,显然,齐次线性方程组总是有解的.,齐次线性方程组除了零解以外还有没有其它解,即非零解?,9,定理三 如果齐次线性方程组有非零解,则齐次线性方程组的系数行列式D=0.,证,由克莱姆法则知齐次线性方程组只有唯一的零解.,与已知矛盾,若D0,D=0,10,由定理三可知,齐次线性方程组的系数行列式D=0是齐次线性方程组有非零解的必要条件.,综合上述,得到: 齐次线性方程组有非零解的充要条件是系数行列式D=0.,注:,在第四章将会看到,D=0也是齐次线性方程组有非零解的充分条件.,11,例2 取何值时,下述齐次线性方程组有非零解?,解:,=(+3)2,齐次线性方程组有非零解,D=0,= 3或0,